Einführung in die Physik für Maschinenbauer

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1 Einführung in die Physik für Maschinenbauer WS 011/01 Teil / Universität Rostock Heinrich Stolz heinrich.stolz@uni-rostock.de 6. Dynamik von Massenpunktsystemen Bis jetzt: Dynamik eines einzelnen Massenpunktes: Newtonsches. Axiom: Grundgesetz der Mechanik Ziel: Erweiterung auf makroskopische Körper Jeder Körper ist aus vielen Massenpunkten zusammengesetzt, die durch gegenseitige Kräfte zusammengehalten werden: System von Massenpunkten m j 1 N j 1

2 6.1 Der Begriff des Impulses Bewegung einer Rakete: Massenverlust! dv dmv F m Impuls: p mv dt dt F dp dt. Form des Grundgesetzes der Mechanik Treibgase Raketengleichung Bewegung einer Rakete: Massenverlust! dp dv dm F m v dt dt dt Treibgase Raketengleichung (Konstantin Ziolkowski 1903)

3 Anwendung. Newton: Kraftstoß Beispiele: Ball auf Ebene 6.: Impulserhaltung 3

4 6.3 Massenmittelpunkt Massenmittelpunkt dv m dt S F ext F ext N Fi i1 Grundgesetz der Mechanik für Massenpunktsysteme 6.4 Stoßgesetze Stoß: kurzzeitiger Kontakt zweier Körper Billiard-Kugeln Zentraler Stoß: Stoßrichtungen (d.h. Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren) fällt mit der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte zusammen v 1 v Keine externen Kräfte Impulserhaltung c1, c : Geschwindigkeiten nach dem Stoß 4

5 Inelastischer Stoß Körper kleben nach Stoß zusammen! Knet-Kugeln v 1 v c c c 1 Verletzung des Energieerhaltungssatzes! Inelastischer Stoß: ballistisches Pendel Messung von Projektil-Geschwindigkeiten c gh v 0 5

6 Elastischer Stoß Energieerhaltungssatz erfüllt! v 1 v 7. Starre Körper Ein starrer Körper ist ein System von starr gekoppelten Punkmassen Idealisiertes Bild, gibt es in Wirklichkeit nicht: elastisch, plastisch Freiheitsgrade: Zahl der Parameter um den Zusatand eines Systems vollständig zu beschreiben: ein starrer Körper hat 6 Freiheitsgrade (3 Translation, 3 Rotation) 6

7 7.1 Kräfte am starren Körper Wirkungslinie: Gerade in Kraftrichtung Kräfte können längs der Wirkungslinie beliebig verschoben werden! 7. Zusammensetzung von Kräften: Gleichgewicht 7

8 Drehmoment 7.3 Kräftepaare Drehmoment Ein Kräftepaar sind zwei entgegengesetzt gleichgroße Kräfte, die keine gemeinsame Wirkungslinie haben Ein Kräftepaar bewirkt eine Rotation um den Massenmittelpunkt 8

9 7.4 Massenmittelpunkt Berechnung von Massenmittelpunkten 9

10 7.5 Gleichgewichtsbedingungen Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Kraft im Schwerpunkt und das Drehmoment Null sind F i 0 D i 0 3 Arten des Gleichgewichtes: a) stabil b)indifferent c) labil Kippen eines Quaders auf der schiefen Ebene? 10

11 7.6 Bewegung starrer Körper Bewegung des Schwerpunktes Rotation 6 Freiheitsgrade Kraft im Schwerpunkt: Translation Drehmoment: Rotation Rotationsbewegung Drehschemel-Versuch v i = ωr Kinetische Energie der Rotation E kin 1 mv E mv Vv d r( r) r kin i i i i i i i Trägheitsmoment : E kin I I d r ( r) r 3 α: Drehachse 1

12 Berechnung von Trägheitsmomenten r = x + y r 0 Energiebilanz R ω I R ω II E ( I) ( mr MR ) kin Situation I I Situation II E ( II) ( mr MR ) kin II II I 1 R r M m 1 4 M m 1, 4 Falsch, Experiment: >

13 7.7. Neue Erhaltungsgröße: Drehimpuls Kreuzprodukt Determinantenregel: ex ey ez a a a e ( a b a b ) e ( a b a b ) e ( a b a b ) x y z x y z z y y x z z x z x y y x b b b x y z ab absin( a, b) Neue Erhaltungsgröße: Drehimpuls 3

14 Drehimpuls und Drehmoment Wenn D = 0, dann L = const Drehimpulserhaltung Beispiel: Gravitation L r r r d dt / r rd. Keplersches Gesetz 4

15 Drehimpuls eines rotierenden Körpers Winkelgeschwindigkeit : Vektor Drehachse e ~ω i = ~r,i ~v i e Drehachse ~r,i ~v i Zyklische Vertauschung ~v i = ~ω i ~r,i! Gilt nur für rotationssymmetrische Körper! 3 L rìmiv i d r( r) r r i 3 L d r( r) r I r 0 Drehimpulserhaltung beim Drehschemel-Versuch R ω I R ω II L ( mr MR ) I Situation I I Situation II LII ( ) ( mr MR) II

16 Drehimpulserhaltung Weiteres Beispiel: Rollen eines Zylinders auf schiefer Ebene Energiesatz: 1 1 E Ekin Erot Mv IS v=r Rollen: Rotation um Auflagepunkt A! 1 ( ) E I Mr S Trägheitsmoment: 6

17 7.8 Verallgemeinerung: Steinerscher Satz! Rotiert ein Körper um eine außerhalb des Schwerpunktes S liegende Achse A, so gilt für das Trägheitsmoment um diese Achse: JA JS ms wobei M die Gesamtmasse und s der Abstand der Achsen ist. 7.9 Kreisel Kreisel: Körper, der um eine Achse rotiert Kugelkreisel: alle Achsen gleich ~ω Symmetrischer Kreisel: Figurenachse Rechte-Hand-Regel 7

18 Bewegung im verschiedene Achsen Verschiedene Trägheitsmomente Stabil: nur Drehung um Achse mit dem größten (kleinsten) Trägheitsmoment Der symmetrische Kreisel unter dem Einfluß von Kräften: Präzession 8

19 Genauere Beobachtung: Nutation Kardanische Aufhängung eines Kreisels 9

20 Der Kreiselkompaß Der Kreiselkompaß 10

21 Die Erde als Kreisel Verschiebung des Nordpols der Himmelssphäre um den ekliptischen Pol: T= Jahre 11