Klassische und Relativistische Mechanik

Transkript

1 Klassische und Relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion Technorama

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Konstantes äusseres Drehmoment Wirkt ein konstantes äusseres Drehmoment T so gilt T = L = I ω oder ω = 1 I T ω = 1 I T t und φ = I Tt2

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Rollender Zylinder Rollender Zylinder

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Rollender Zylinder A ist die momentane Drehachse des Zylinders (Warum ist die Drehachse die Auflagelinie?). Nach dem Satz von Steiner ist I = I s + mr 2 Also ist T = m r g = mgr sin α = ( I s + mr 2) ω mgr sin α a = s = r ω = r I s + mr 2 = 1 g sin α 1 + Is mr 2 Massivzylinder I S = 1 2 mr 2 Hohlzylinder I S = mr 2 Kugel I S = 2 5 mr 2 Rutschender Körper a = 2 3 g sin α a = 1 2 g sin α a = 5 7 g sin α a = g sin α

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kippen eines starren Körpers Kippen eines starren Körpers

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kippen eines starren Körpers Hier ist für kleine Auslenkungen T ϕ und nicht bei beim Pendel T ϕ. Die Drehmomentengleichung lautet Sie hat die Lösungen T = Dϕ = I ϕ ϕ = ϕ 0 e ωt + ϕe ωt D mit ω = I. Wenn zu Beginn der Bewegung ϕ = 0 ist (Anfangsbedingung) ist die Lösung ϕ (t) = 1 2 ϕ 0 ( e ωt + e ωt) = ϕ 0 cosh ωt

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kippender Kamin Beispiel: Kippender Kamin Das Trägheitsmoment eines Kamins, der um seinen Fuss rotiert, ist I = 1 3 ml2 Dann ist die Drehmomentengleichung T = m g l 2 sin ϕ 1 mglϕ = Dϕ 2 Daraus folgt für den Betrag der Drehfrequenz ω = 1 2 mgl 3 1 = g 3 ml2 2 l

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Physikalisches Pendel Physikalisches Pendel

21 Seite 21 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Physikalisches Pendel Die Drehmomentengleichung für das physikalische Pendel lautet T axial = r 0S mg = mgr 0S sin ϕ Der Drehimpuls ist L p = Iω = ( ) I s + mr0s 2 ω Mit T axial = I ω wird sin ϕr 0S mg = ( ) ( ) I s + mr0s 2 ω = I s + mr0s 2 ϕ

22 Seite 22 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kreisel Definition: Ein Kreisel ist ein starrer Körper, dessen Bewegung durch einen Fixpunkt festgelegt ist.

23 Seite 23 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kreisel Kreisel

24 Seite 24 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kreisel Polkegel

25 Seite 25 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Trägheitstensor L = r p Für ein Massenelement dm gilt dl = r (dmv) Mit v = ω r wird dl = r (ω r) dm = (r r) ωdm (r ω) rdm Also wird L = ω r 2 dm r (r ω) dm

26 Seite 26 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Trägheitstensor Wir setzen r = x y z und betrachten die x-komponente: L x = ω x r 2 dm x (xω x + yω y + zω z ) dm ( = ω x x 2 + y 2 + z 2 x 2) dm ω y xydm ω z xzdm also ist I xx = ( y 2 + z 2) dm und I xy = xydm und I xz = xzdm, wie behauptet. Die Grösse I xy = xydm heisst Deviationsmoment.

27 Seite 27 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Trägheitstensor oder L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z L = I 0 ω oder L i = I ij ω j. I 0 heisst der Trägheitstensor des Kreisels (des starren Rotators) bezüglich dem Fixpunkt 0. Die Komponenten von I 0 sind (y I xx = 2 + z 2) (x dm I yy = 2 + z 2) (x dm I zz = 2 + y 2) dm I xy = xydm I xz = xzdm I yz = yzdm

28 Seite 28 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Eigenschaften des Trägheitstensors Die Spur von I 0 ändert sich nicht bei einer Drehung des Koordinatensystems ( I0 ) ( spur = I xx +I yy +I zz = 2 x 2 + y 2 + z 2) dm = 2 r 2 dm = Weiter gilt und zyklisch. I xx + I yy I zz = 2 z 2 dm 0

29 Seite 29 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kräftefreier Kreisel Definition: Ein Kreisel heisst kräftefrei, wenn T 0 bezüglich des Fixpunktes 0 verschwindet. Kräftefreier Kreisel

30 Seite 30 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Mögliche Bahnkurven Bei einem reibungsfreien Kreisel ist sowohl seine kinetische Energie wie auch der Betrag seines Drehimpulses erhalten. Die Winkelgeschwindigkeit ω bestimmt zusammen mit dem Trägheitstensor beide Grössen. Im Hauptachsensystem folgt aus der Erhaltung der kinetischen Energie, dass ω sich auf dem Poinsot-Ellipsoid P bewegen muss. Die Erhaltung des Drehimpuls- Quadrates L 2 0 bedingt, dass im Hauptachsensystem ω sich auf dem Drallellipsoid D befinden muss. Die möglichen Bahnkurven sind also die Schnittmenge von P und D.

31 Seite 31 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Präzession Präzedierender Kreisel