Theoretische Physik I

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1 Peter Reineker, Michael Schulz und Beatrix M. Schulz Theoretische Physik I Mechanik mit Aufgaben in Maple WILEY- VCH WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA

2 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort XV 1 Einleitung Experimentelle und Theoretische Physik Ziel der Theoretischen Physik Der Aufbau der Lehrbuchreihe Theoretische Physik Stellung der klassischen Mechanik innerhalb der Theoretischen Physik Gültigkeitsgrenzen der klassischen Mechanik Aufbau des Bands Theoretische Mechanik Modellebenen der Theoretischen Mechanik Lösung von Gleichungen 8 2 Kinematik eines Massenpunkts Grundbegriffe der Kinematik Bezugssystem und Räume Weglänge, Verrückung, Geschwindigkeit Beschleunigung Verschiedene Koordinatensysteme Zerlegung in kartesische Koordinaten Zerlegung nach Tangential- und Normalkomponenten Zerlegung in ebenen Polarkoordinaten Zerlegung in Kugelkoordinaten * Zerlegung in allgemeine krummlinige Koordinaten * Rekonstruktion von Bewegungsgleichungen 29 Aufgaben 32 * Mit einem Stern sind Themen und Kapitel gekennzeichnet, die eher zusätzlich für die Masterausbildung vorgesehen sind Theoretische Physik I: Theoretische Mechanik mit Aufgaben in Maple. Peter Reineker, Michael Schulz, Beatrix M. Schulz Copyright 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim ISBN:

3 3 Newton'sche Mechanik des einzelnen Massenpunkts Die Newton'schen Axiome Das erste Axiom: Trägheitsgesetz Das zweite Axiom: Grundgleichung der Dynamik Kraftgesetz Superpositionsprinzip Statische Kraftmessung Das zweite Newton'sche Axiom Träge Masse Dynamische Kraftmessung Das dritte Axiom: Wirkung und Gegenwirkung Bewegung eines freien Massenpunkts Bewegung eines Massenpunkts im Schwerefeld Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld Arbeit und kinetische Energie Der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie Erste Integrale Konservative Kräfte Kraftfelder Potentielle Energie und Arbeit, notwendige und hinreichende Bedingungen für konservative Kraftfelder Darstellung von konservativen Kraftfeldern Energiesatz der Mechanik Beispiele für konservative Kraftfelder Schwerefeld der Erde in der Nähe der Erdoberfläche Newton'sches Gravitationsgesetz Beispiele für nichtkonservative Kraftfelder Kraftfeld mit rotf ^ Nichtkonservatives Kraftfeld mit rot F = 0 bis auf singulare Linien Nichtkonservative Kräfte mit zeitabhängigem Potential Zentralkräfte. Drehmoment und Drehimpuls Zentralkräfte Drehmoment und Drehimpuls Die eingeschränkte Bewegung eines Massenpunkts. Dissipation Zwangsbedingungen Zwangskräfte und Bewegungsgleichung Bewegung eines Massenpunkts auf ruhender schiefer Ebene Behandlung in natürlichen Koordinaten Behandlung mit Lagrange-Gleichungen Arbeit der Zwangskraft Verallgemeinerung der Bedingungsgleichungen 83

4 IX Zweiseitige und einseitige Zwangsbedingungen Freiheitsgrade Dissipation Gleitreibung Haftreibung Stokes'sche und Newton'sche Reibung Zusammenfassung der Reibungsgesetze Gleichgewicht des Massenpunkts. Das Prinzip der virtuellen Arbeit Gleichgewicht eines Massenpunkts. Das Problem der Statik Das Prinzip der virtuellen Arbeit Freier Massenpunkt Gebundener Massenpunkt Verallgemeinerung des Prinzips der virtuellen Verrückung Prinzip der virtuellen Verrückung für konservative eingeprägte Kräfte Das d'alembert'sche Prinzip. Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik Das d'alembert'sche Prinzip Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik Bewegte Bezugssysteme (Relativbewegung). Trägheitskräfte Beschreibung der Drehbewegung. Winkelgeschwindigkeit Kinematik der Relativbewegung Zusammenhang der Ortsvektoren Zusammenhang der Geschwindigkeiten Zeitliche Änderung von Skalaren und Vektoren Zusammenhang der Beschleunigungen Bewegungsgleichung des Massenpunkts Galilei-Transformation Konstante Relativbeschleunigung Konstante Rotation 223 Aufgaben Anwendung der Newton'schen Grundgleichung auf spezielle Probleme der Dynamik eines Massenpunkts Eindimensionale Bewegungen. Freier Fall aus großer Entfernung Rein zeitabhängige Kraft Rein ortsabhängige Kraft Rein geschwindigkeitsabhängige Kraft Freier Fall aus großer Entfernung (ohne Reibung) 220

5 4.1.5 Fall in einem widerstehenden Medium Schwingungen Harmonische Schwingungen ohne Dämpfung Verwendung des Energiesatzes Lösung mit Exponentialansatz Rückführung auf eine komplexe Differentialgleichung 1. Ordnung Phasenraum Matrixdarstellung der Bewegungsgleichung Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator Gedämpfte Schwingung Gedämpfte oszillierende Bewegung Aperiodische Kriechbewegung oder überdämpfte Schwingung Aperiodischer Grenzfall Erzwungene Schwingung. Resonanz Methode der Green'schen Funktion Beschreibung einer stoßartigen Kraft: Dirac'sche ^-Funktion Green'sche Funktion der Schwingungsgleichung Erzwungene Schwingung mit beliebiger Störkraft Resonanz des ungedämpften Oszillators Bewegung eines Massenpunkts im Gravitationsfeld Flächensatz und Energiesatz Formulierung des Problems in ebenen Polarkoordinaten Qualitative Diskussion der Bewegung Berechnung der Bahnkurve Berechnung der Umlaufzeit Zeitabhängigkeit der Bahnbewegung 259 Aufgaben Newton'sche Mechanik von Punktsystemen Punktsysteme und darauf wirkende Kräfte Äußere und innere Kräfte Eingeprägte und Zwangskräfte Impulssatz und Schwerpunktsatz Impulssatz Schwerpunktsatz Satz von der Erhaltung des Gesamtimpulses Bewegung durch Rückstoß Der Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten Drehimpulssatz Drehimpulserhaltungssatz Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugssystem 278

6 XI Zwei ruhende Bezugspunkte O und O' Bewegter Schwerpunkt als Bezugssystem Energiesatz Satz über die Änderung der kinetischen Energie Der Energiesatz A3 Zerlegung der potentiellen und kinetischen Energie Die zehn ersten Integrale eines abgeschlossenen, konservativen System Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden * Potentielle und kinetische Energie. Gleichgewicht * Bewegungsgleichung. Eigenwerte und Eigenvektoren * Allgemeine Lösung, Normalkoordinaten, Normalschwingungen * Beispiel: gekoppelte Pendel 297 Aufgaben 202 / 6 Lagrange-Formulierung der Mechanik Das Prinzip der virtuellen Arbeit und das d'alembert'sche Prinzip Das d'alembert'sche Prinzip für Punktsysteme Gleichgewicht eines Systems von Massenpunkten Lagrange-Gleichungen 1. Art für Punktsysteme Einteilung der Zwangsbedingungen Lagrange-Gleichungen 1. Art Energiesatz Das Hamilton'sche Prinzip Differential- und Integralprinzipien Festlegung der zulässigen Vergleichsbahnen Ableitung des Hamilton'schen Prinzips aus dem d'alembert'schen Prinzip Hamilton'sches Prinzip bei Kräften mit Potential Grundaufgabe der Variationsrechnung Mathematische Beispiele für Extremalprobleme Zurückführung des Variationsproblems auf Euler-Lagrange-Gleichungen Variationen und Variationsableitungen Variationsprobleme mit Nebenbedingungen Nebenbedingungen in integrierter Form Nebenbedingungen in differentieller Form Anwendungen der Euler-Lagrange-Gleichung Kürzeste Verbindung zweier Punkte in der Ebene Seil der Länge / unter dem Einfluss der Schwerkraft 236

7 Xll I Inhaltsverzeichnis 6.5 Lagrange'sche Bewegungsgleichung 2. Art Euler-Lagrange-Gleichungen der Mechanik Euler-Lagrange-Gleichungen mit holonomen Nebenbedingungen Allgemeine Koordinaten und Geschwindigkeiten Lagrange-Gleichungen 2. Art für holonome Systeme mit Potential Lagrange-Gleichungen 2. Art für nichtkonservative holonome Systeme Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld * Integrale der Lagrange-Gleichungen. Allgemeine Impulskoordinaten. Erhaltungssätze * Zyklische Variable, verallgemeinerte Impulse * Explizit zeitunabhängige Lagrange-Funktion * Nichtholonome Systeme. Zwangsbedingungen. Zwangskräfte * Zwangsbedingungen. Freiheitsgrade * Bewegungsgleichungen * Symmetrien und Erhaltungssätze (Theorem von E. Noether) 259 Aufgaben Die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen Systeme mit einer Lagrange-Funktion (einem kinetischen Potential) Hamilton-Funktion. Kanonische Gleichungen Physikalische Bedeutung der Hamilton-Funktion 271 7A Beispiele Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kartesische Koordinaten Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kugelkoordinaten Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld * Poisson-Klammern Erhaltungssätze. Zyklische Variable Energieerhaltungssatz Zyklische Variable * Kanonische Transformationen * Punkttransformation und kanonische Transformation * Kanonische Transformationen * Beispiele für kanonische Transformationen * Identische Transformationen * Vertauschung von Koordinaten und Impulsen 282

8 XIII * Punkttransformation als Spezialfall einer kanonischen Transformation A * Harmonischer Oszillator A * Infinitesimale kanonische Transformation * Invarianz der Poisson-Klammern * Liouville-Gleichung. Bewegung im Phasenraum * Konfigurationsraum und Phasenraum * Bewegungsgleichungen im Phasenraum * Symplektische Matrizen * Jacobi-Matrix für kanonische Transformationen * Benachbarte Bahnkurven * Liouville-Gleichung * Liouville-Theorem * Hamilton-Jacobi'sche partielle Differentialgleichung * Ableitung der Gleichung * Bedeutung der Hamilton-Jacobi-Gleichung * Zusammenhang mit der Wirkungsfunktion * Wirkungsfunktion bei zeitunabhängiger Hamilton-Funktion * Beispiel: Freier Massenpunkt in der Ebene * Geometrische Bedeutung der Wirkungsfunktion * Periodische Bewegung. Wirkungs- und Winkelvariable * Systeme mit einem Freiheitsgrad * Separable Systeme mit mehreren Freiheitsgraden * Reguläre und Irreguläre Bewegung konservativer Systeme IIA * Charakterisierung der Dynamik im Phasenraum * Integrable Systeme * Störungstheorie * Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem * Das Poincare-Birkhoff-Theorem 326 Aufgaben Mechanik des starren Körpers Definition und Freiheitsgrade des starren Körpers Koordinatensysteme und Bewegung eines starren Körpers Koordinatensysteme Euler'sche Winkel Infinitesimale Verschiebung des Körpers Wechsel des Bezugssystems Kinetische Energie des starren Körpers. Trägheitstensor Kinetische Energie des starren Körpers Der Trägheitstensor Definition des Trägheitstensors 329

9 Hauptträgheitsachsen Trägheitsellipsoid Der Satz von Steiner Berechnung des Trägheitstensors Beispiele Drehimpuls und Drehmoment. Bewegungsgleichungen eines starren Körpers Energie- und Drehimpulssatz des kräftefreien Kreisels Die Bewegungsgleichungen eines in einem Punkt festgehaltenen Körpers Diskussion von Sonderfällen Isotroper Trägheitstensor Euler'sche Gleichungen im Hauptachsensystem für einen kräftefreien Kreisel Allgemeine Lösung Untersuchung der Stabilität der Rotation um Hauptträgheitsachsen Freie Rotation des symmetrischen Kreisels Freie Rotation um eine beliebige Achse 347 Aufgaben 349 A Zusammenhang zwischen den Ellipsenparametern in kartesischen und Polarkoordinaten 353 Literaturverzeichnis 355 Sachverzeichnis 357