Grundlagen der Analytischen Mechanik

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1 Höhere Technische Mechanik Grundlagen der Analytischen Mechanik Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010

2 Übersicht 1. Grundlagen der Analytischen Mechanik Kinematische Grundlagen - Freiheitsgrade - Bindungen - Generalisierte Koordinaten - Virtuelle Verrückungen Prinzipe der Mechanik - Prinzip der virtuellen Arbeit - Prinzip von d Alembert - Lagrangesche Gleichungen 2.Art - Lagrangesche Gleichungen 1.Art Analyse nichtholonomer Systeme 2. Schwingungen linearer Systeme mit einem Freiheitsgrad 3. Schwingungen linearer Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 4. Schwingungen linearer kontinuierlicher Systeme Prof. Dr. U. Zwiers STME 2/35

3 Kinematische Grundlagen 1/13 Begriffe & Definitionen Synthetische Mechanik Teilgebiet der Mechanik, das unter Anwendung des Schnittprinzips die Bewegung von Körpern und von Systemen von Körpern mit Hilfe von Impuls- und Drehimpulsbilanzen untersucht Analytische Mechanik Teilgebiet der Mechanik, das ein mechanisches System als Ganzes behandelt, d.h. ohne Einzelkörper durch Freischneiden von ihren Bindungen zu isolieren Prof. Dr. U. Zwiers STME 3/35

4 Kinematische Grundlagen 2/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Freiheitsgrad Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), die unabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eine unabhängige Koordinate beschrieben werden kann freie Objekte Freiheitsgrade Massenpunkt Starrer Körper in der Ebene 2 im Raum 3 in der Ebene 3 im Raum 6 Prof. Dr. U. Zwiers STME 4/35

5 Kinematische Grundlagen 3/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Bindung Einschränkung der Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems gemäß des Typs und der Wertigkeit einer Bindung f = N f frei n w k, f Freiheitsgrade eines Systems k=1 N f frei n w k Anzahl der Körper eines Systems Freiheitsgrade der freien Körper Anzahl der Bindungen eines Systems Wertigkeit einer Bindung Prof. Dr. U. Zwiers STME 5/35

6 Kinematische Grundlagen 4/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Klassifizierung von Bindungen geometrisch Beschränkung der Lage einseitig Ungleichungsbedingung skleronom nicht explizit zeitabhängig holonom geometrische oder integrierbare kinematische Bindung kinematisch Beschränkung der Geschwindigkeit zweiseitig Gleichungsbedingung rheonom explizit zeitabhängig nichtholonom einseitige oder nicht integrierbare kinematische Bindung Prof. Dr. U. Zwiers STME 6/35

7 Kinematische Grundlagen 5/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiele zur Klassifizierung von Bindungen a) Φ k (q 1,...,q 3N ) = 0 geometrisch, zweiseitig, skleronom, holonom b) Φ k (q 1,...,q 3N, t) 0 geometrisch, einseitig, rheonom, nichtholonom c) Φ k (q 1,...,q 3N, q 1,..., q 3N, t) = 0 kinematisch, zweiseitig, rheonom 3N a ki q i + b k = 0, a ki = a ki (q 1,...,q 3N, t) i=1 b k = b k (q 1,...,q 3N, t) holonom, falls a ki = a kj und a ki q j q i t = b k q i Prof. Dr. U. Zwiers STME 7/35

8 Kinematische Grundlagen 6/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Geometrische Bindung ϕ l l m v m v x 2 + y 2 = l 2 zweiseitig x 2 + y 2 l 2 einseitig Prof. Dr. U. Zwiers STME 8/35

9 Kinematische Grundlagen 7/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Kinematische Bindung z Koordinaten x, y, θ, ψ, φ ψ Bindungsgleichungen ẋ = r φsinθ φ ẏ = r φcos θ nichtholonomes System x r v θ y Prof. Dr. U. Zwiers STME 9/35

10 Kinematische Grundlagen 8/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Generalisierte Koordinaten Die Konfiguration eines holonomen Systems mit f Freiheitsgraden kann durch f voneinander unabhängigen (generalisierten) Koordinaten q i, i = 1,...,f eindeutig beschrieben werden, sofern die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Die Ortsvektoren sind durch die generalsierten Koordinaten q i bestimmt: r i = r i (q 1,...,q f, t). Die p Bindungen Φ k (r 1,...,r N, t) = 0, k = 1,...,p sind für jede beliebige Wahl der generalisierten Koordinaten q i erfüllt. Die generalisierten Koordinaten q i sind voneinander unabhängig, d.h. es besteht kein funktionaler Zusammenhang der Form g(q 1,...,q f, t) = 0. Prof. Dr. U. Zwiers STME 10/35

11 Kinematische Grundlagen 9/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Ergänzende Anmerkungen Der f-dimensionale Raum, der durch die generalisierten Koordinaten q i aufgespannt wird, bildet den Konfigurationsraum, in dem jeder Punkt q = [q 1,q 2,...,q f ] einem möglichen Zustand des Systems entspricht. Die zeitlichen Ableitungen der generalisierten Koordinaten, q 1, q 2,..., q f, werden als generalisierte Geschwindigkeiten bezeichnet. Die Wahl der generalisierten Koordinaten q i ist nicht eindeutig. Bei bekannten Anfangsbedingungen q(t 0 ) = q 0 und q(t 0 ) = q 0 ist der Zustand des Systems im Konfigurationsraum für alle Zeiten über noch festzulegende Bewegungsgleichungen berechenbar. Prof. Dr. U. Zwiers STME 11/35

12 Kinematische Grundlagen 10/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Doppelpendel mit masselosen Stäben und Punktmassen Ortsvektoren y [ ] [ ] x1 l r 1 = = 1 sinϕ 1 l 1 cos ϕ 1 r 2 = y 1 [ x2 y 2 ] [ = Bindungen Φ 1 = x y2 1 l2 1 = 0 l 1 sinϕ 1 + l 2 sin ϕ 2 l 1 cos ϕ 1 l 2 cos ϕ 2 Φ 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 l 2 2 = 0 Freiheitsgrade f = 2 Wahl der generalisierten Koordinaten q 1 = ϕ 1, q 2 = ϕ 2 ] ϕ 1 x l 1 l 2 ϕ 2 m 2 m 1 Prof. Dr. U. Zwiers STME 12/35

13 Kinematische Grundlagen 11/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiel: Doppelpendel mit homogenen Stäben ohne Punktmassen Ortsvektoren r 1 = r 2 = [ x1 y 1 [ x2 y 2 ] = ] = Bindungen Φ 1 = x y2 1 l2 1 /4 = 0 [ ] (l1 /2)sin ϕ 1 (l 1 /2)cos ϕ 1 [ ] l1 sinϕ 1 + (l 2 /2)sinϕ 2 l 1 cos ϕ 1 (l 2 /2)cos ϕ 2 Φ 2 = (x 2 2x 1 ) 2 + (y 2 2y 1 ) 2 l 2 2 /4 = 0 Φ 3 = tanϕ 1 + x 1 /y 1 = 0 Φ 4 = tanϕ 2 + (2x 1 x 2 )/(2y 1 y 2 ) = 0 Freiheitsgrade f = 2 q 1 = ϕ 1, q 2 = ϕ 2 y ϕ 1 x l 1, m 1 ϕ 2 l 2, m 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 13/35

14 Kinematische Grundlagen 12/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Virtuelle Verrückungen Bewegung eines mechanischen Systems mit den folgenden Merkmalen: gedachte Verschiebung oder Drehung, infinitesimal klein, mit den Bindungen des Systems verträglich. r = r(q 1, q 2,...,q f ) δr = r q 1 δq 1 + r q 2 δq r q f δq f δϕ verträglich unverträglich Prof. Dr. U. Zwiers STME 14/35

15 Kinematische Grundlagen 13/13 Begriffe & Definitionen (Forts.) Beispiele zu virtuellen Verrückungen a F 1 δy A ϕ b F 2 ϕ+δϕ l δϕ δw 1 δw 2 y A = lcos ϕ x B = lsin ϕ δx B δw 1 = a δϕ δw 2 = b δϕ δy A = dy A δϕ = lsin ϕ δϕ dϕ δx B = dx B dϕ δϕ = lcos ϕ δϕ Prof. Dr. U. Zwiers STME 15/35

16 Prinzipe der Mechanik 1/16 Hauptproblem der Dynamik Bewegungsgleichungen eines gebundenen Systems m i r i = F i + R i, i = 1,...,N (*) N Anzahl der Massenpunkte m i Masse r i Ortsvektor F i Vektor der eingeprägten Kräfte R i Vektor der Reaktionskräfte Unbekannte: 6N Komponenten von r i und R i Gleichungen: 3N Bewegungsgleichungen (*) p holonome Bindungsgleichungen 3N p fehlende Beziehungen (=Anzahl Freiheitsgrade) Prof. Dr. U. Zwiers STME 16/35

17 Prinzipe der Mechanik 2/16 Hauptproblem der Dynamik (Forts.) Ideale Bindung Eine Bindung ist ideal, wenn die Reaktionskräfte zu beliebigen virtuellen Verrückungen keine virtuelle Arbeit leisten, d. h. N δw = R T i δr i = 0. i=1 N (R x,i δx i + R y,i δy i + R z,i δz i ) = 0 i=1 Formulierung in f generalisierten Koordinaten q i g 1 (...)δq 1 + g 2 (...)δq g f (...)δq f = 0 }{{} = 0 }{{} = 0 }{{} = 0 f Bedingungen Prof. Dr. U. Zwiers STME 17/35

18 Prinzipe der Mechanik 3/16 Fundamentalgleichung der Dynamik Fundamentalgleichung der Dynamik Bei der Bewegung eines mechanischen Systems mit idealen Bindungen ist die Summe der Arbeiten, die von den eingeprägten Kräften F i und den Trägheitskräften m i r i auf beliebigen virtuellen Verschiebungen geleistet werden, gleich null, also N (F i m i r i ) T δr i = 0. i=1 Prof. Dr. U. Zwiers STME 18/35

19 Prinzipe der Mechanik 4/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Prinzip der virtuellen Arbeit Ein mechanisches System befindet sich im Gleichgewicht, wenn bei einer virtuellen Verschiebung aus der Gleichgewichtslage heraus die dabei von den eingeprägten Kräften geleistete virtuelle Arbeit verschwindet, also N F T i δr i = 0. Prinzip von d Alembert i=1 Jede Lage eines Systems während der Bewegung kann als eine Gleichgewichtslage aufgefasst werden, wenn zu den eingeprägten Kräften die Trägheitskräfte hinzugenommen werden. Prof. Dr. U. Zwiers STME 19/35

20 Prinzipe der Mechanik 5/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Annahme: holonomes System r i = r i (q 1,...,q f, t), δr i = k=1 f k=1 i=1 r i q k δq k, i = 1,...,N i = 1,...,N [ f N ( ) ] T r i F i m i r i δq k = 0 q k f Bewegungsgleichungen: N i=1 ( F i m i r i ) T r i q k = 0 k = 1,...,f Prof. Dr. U. Zwiers STME 20/35

21 Prinzipe der Mechanik 6/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Beispiel: Gleichgewicht einer Hebebühne Prinzip der virtuellen Arbeit G T δr G + F T δr F = 0 Ortsvektoren [ ] [ 2 cos α r F =, r 0 G = a 2 sin α Virtuelle Verschiebungen δr F = r [ ] F 2 sinα α δα = δα 0 δr G = r [ ] G α δα = 0 δα 2 cos α Hebekraft: F = G cot α ] l a G l l α l F Prof. Dr. U. Zwiers STME 21/35

22 Grundlagen der Analytischen Mechanik Prinzipe der Mechanik 7/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Beispiel: Rollende Seiltrommel Kinematische Beziehungen δx S = r 2 δϕ δx A = δy = (r 2 r 1 )δϕ Virtuelle Arbeiten δw e = m 2 g δy δw T = (m 1 ẍ S δx S + m 1 k 2 ϕ δϕ + m 2 ÿ δy) Prinzip von d Alembert δw e + δw T = 0 Winkelbeschleunigung (r 2 r 1 )m 2 g ϕ = (r2 2 + k2 )m 1 + (r 2 r 1 ) 2 m 2 r 2 r 1 m 1, k m 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 22/35

23 Prinzipe der Mechanik 8/16 Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.) Kochrezept zur Anwendung des Prinzips von d Alembert 1. Aufstellen der Bindungsgleichungen Φ i = 0 2. Ermitteln der Anzahl an Freiheitsgraden und Festlegen der verallgemeinerten Koordinaten q i 3. Aufstellen der Ortsvektoren als Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten (2) 4. Bestimmen der virtuellen Verschiebungen 5. Bestimmen der Beschleunigungskomponenten 6. Formulieren der virtuellen Arbeit δw 7. Substituieren der virtuellen Verschiebungen (4) und der Beschleunigungskomponenten (5) in die Gleichung δw = 0 8. Extrahieren der Bewegungsgleichungen aus (7) für δq i 0 Prof. Dr. U. Zwiers STME 23/35

24 Prinzipe der Mechanik 9/16 Generalisierte Kräfte Annahme: holonomes System r i = r i (q 1,...,q f, t), i = 1,...,N δr i = δw e = f k=1 r i q k δq k, [ f N k=1 i=1 F T i ] r i δq k q k i = 1,...,N }{{} = Q k generalisierte Kraft Im Gleichgewicht sind alle generalisierten Kräfte gleich null. Die generalisierten Kräfte besitzen nicht notwendigerweise die Dimension einer Kraft. Prof. Dr. U. Zwiers STME 24/35

25 Prinzipe der Mechanik 10/16 Generalisierte Kräfte (Forts.) Zur Bestimmung der generalisierten Kraft Q k wird die generalisierte Koordinate q k variiert und die entsprechende virtuelle Arbeit δw ek bestimmt: Q k = δw ek δq k, k = 1,...,f Allgemein gilt Q k = Q k (q 1,...,q f, q 1,..., q f, t) Wichtiger Sonderfall: (gewöhnliche) Potentialkräfte Q k = Π q k, Π = Π(q 1,...,q f, t) Q k = Q k (q 1,...,q f, t) Prof. Dr. U. Zwiers STME 25/35

26 Prinzipe der Mechanik 11/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art N 1 Kinetische Energie: T = 2 m ivi 2 i=1 Allgemeine Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art ( ) d T T = Q k, k = 1,...,f dt q k q k Gültigkeit: beliebige holonome Systeme Lagrange-Funktion: L = T Π Spezielle Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art ( ) d L L = 0, k = 1,...,f dt q k q k Gültigkeit: holonome Systeme mit auschließlich Potentialkräften Prof. Dr. U. Zwiers STME 26/35

27 Prinzipe der Mechanik 12/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Beispiel: Massenpunkt auf Parabelbahn Bindungsgleichung Φ = y cx 2 = 0 Kinetische Energie T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) Potentielle Energie Π = mgy Lagrange-Funktion L = T Π = 1 2 m(ẋ2 + 4c 2 x 2 ẋ 2 2gcx 2 ) Bewegungsgleichung ẍ(1 + 4c 2 x 2 ) + 4c 2 xẋ 2 + 2gcx = 0 y m x Prof. Dr. U. Zwiers STME 27/35

28 Prinzipe der Mechanik 13/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Dissipation Übergang einer umwandelbaren (entropiefreien) Energie in (entropiebehaftete) Wärmeenergie Wesentliche Reibungstypen Haftreibung Gleitreibung Rollreibung Reibung in Fluiden F R F R,max = µ 0 F N v F R = µf N v v F R = µ R F N v F R = 1 2 c waρ v 2 v v Prof. Dr. U. Zwiers STME 28/35

29 Prinzipe der Mechanik 14/16 Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.) Generalisierte Reibungskraft Q Rk = Dissipationsfunktion P = N i=1 F T r i Ri q k mit F Ri = h i (v i ) v i N v i i=1 0 = P q k v i h i ( v i )d v i Modifizierte Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art ( ) d L L + P = 0, k = 1,...,f dt q k q k q k Gültigkeit: holonome Systeme mit Dissipation (Reibung) Prof. Dr. U. Zwiers STME 29/35

30 Prinzipe der Mechanik 15/16 Lagrangesche Gleichungen 1. Art p Bindungen Φ k (r 1, r 2,...,r N, t) = 0 N ( ) T Φk δr i = 0, k = 1,...,p i=1 Reaktionskräfte R i = r i p k=1 λ k Φ k r i, i = 1,...,N Erste Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art p Φ k m i r i = F i + λ k, i = 1,...,N r i k=1 Gültigkeit: holonome und nichtholonome Systeme Prof. Dr. U. Zwiers STME 30/35

31 Prinzipe der Mechanik 16/16 Lagrangesche Gleichungen 1. Art (Forts.) p Bindungsgleichungen Φ k (q 1, q 2,...,q 3N, t) = 0 3N i=1 verallg. Reaktionskräfte Q i = Φ k q i δq i = 0, p k=1 λ k Φ k q i, k = 1,...,p i = 1,...,3N Zweite Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art ( ) L L p Φ k = λ k, i = 1,...,3N dt q i q i q i k=1 Gültigkeit: holonome und nichtholonome Systeme Prof. Dr. U. Zwiers STME 31/35

32 Analyse nichtholonomer Systeme 1/4 Systemeigenschaften Räumliches System mit N Massenpunkten p holonome Bindungen: Φ k = 0 mit Φ k = Φ k (q 1, q 2,...,q 3N, t) g nichtholonome Bindungen: 3N i=1 a ki q i + b k = 0 mit a ki = a ki (q 1, q 2,...,q 3N, t) b k = b k (q 1, q 2,...,q 3N, t) Die Anzahl der generalisierten Koordinaten eines räumlichen Systems mit p holonomen und g nichtholonomen Bindungen beträgt f = 3N p Prof. Dr. U. Zwiers STME 32/35

33 Analyse nichtholonomer Systeme 2/4 Systemeigenschaften (Forts.) f generalisierte Koordinaten: q 1,...,q f kinematische Bindungen: ã T k d q = 0 ã k = a k1. a kf b k, d q = dq 1. dq f dt Bedingung für Holonomität: ã ki q j = ã kj q i, i, j = 1, 2,...,l l = f + 1 rheonome Systeme l = f skleronome Systeme Prof. Dr. U. Zwiers STME 33/35

34 Analyse nichtholonomer Systeme 3/4 Systemeigenschaften (Forts.) Ein skleronomes System mit f 2 generalisierten Koordinaten ist immer holonom. Für die Anzahl der Bedingungen, die eine kinematische Bindung erfüllen muss, damit sie integrierbar und damit holonom ist, gilt ( ) l l! z = = 3 3!(l 3)! l z Prof. Dr. U. Zwiers STME 34/35

35 Analyse nichtholonomer Systeme 4/4 Bewegungsgleichungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren Die Bewegung jedes mechanischen Systems mit endlich vielen Freiheitsgraden kann durch ein System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben werden. Bewegungsgleichungen für nichtholonome Systeme ( ) d T T g Q i µ k a ki = 0, i = 1,...,f dt q i q i f a ki q i + b k = 0, i=1 k=1 k = 1,...,g Prof. Dr. U. Zwiers STME 35/35