7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie

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1 7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton schen Bewegungsgleichungen q k = H(q, p) p k ṗ k = H(p, q) q k zu vereinfachen, führten wir die kanonischen Transformationen ein. Durch diese wurden die alten Orte und Impulse durch neue Orte und neue Impulse ausgedrückt, derart dass p k = p k (α, β) und q k = q k (α, β) und H(p, q) H(p(α, β), q(α, β)) H(α, β) mit H(α, β) β k = α k und H(α, β) α k = β k Ziel dieses Kapitels ist es, zu der alten Hamiltonfunktion, die von den alten Orten und alten Impulsen abhängt, eine erzeugende Funktion S(q, α) zu konstruieren, die sie in eine neue Hamiltonfunktion, die nur noch von den neuen Impulsen abhängen soll, kanonisch transformiert, d.h. H(p(α, β), q(α, β)) = H(α) 7.2 Die Hamilton-Jacobi-Theorie für nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Für dieses H(α) muss dann gelten 165

2 α k = H(α) β k = 0 α k = const. β k = H(α) α k = const. = γ k nur Fkt. von α i β k = γ k t + δ k wobei δ k = const. Finden wir also die erzeugende Funktion S(q, α), die H(p, q) auf H(α) transformiert, so sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung; die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit ( kräftefreie Bewegung). Wir suchen nun die erzeugende Funktion S(q, α). Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir, dass für S(q, α) [zeitunabhängig] gelten muss: p k = β k = q k α k Einsetzen führt dann zu ( ) H(p, q) H, q k = q H(α k ) = E(α k ) k Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitunabhängigen Fall. Aus dieser Differentialgleichung lässt sich dann S(q, α) bestimmen. Die physikalische Bedeutung von S: Wir bilden die totale Ableitung von der Zeit von S. Es ist 166

3 d s { S dt S(q, α) = q k + S } α k q k α k k=1 = k=1(p k q k + β k α k ) (und wegen α k = 0) = = = s p k q k k=1 s k=1 s k=1 L q k q k T q k q k = 2T Integration über die Zeit liefert dann S = t2 t 1 2T dt = W Es ist also S(q, α) identisch mit dem Wirkungsintegral. 7.3 Die Hamilton-Jacobi-Theorie für explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Es gilt Sei E = H(p, q, t) Wir definieren nun p 0 E q 0 t κ = H(p k, q k, q 0 ) + p 0 = 0 167

4 In diesem Fall suchen wir nun eine erzeugende Funktion S, die auch von den Koordinaten mit dem Index 0 abhängt. Wegen S(q k>0, α k>0, p 0, α 0 ) S(q k, α k ) (k = 0, 1,..., s) und Einsetzen in κ folgt q k = p k (k = 0, 1,..., s) ( ) H, q k>0, q 0 + = 0 oder q k>0 q 0 ( ) H, q k>0, t + = 0 t q k>0 Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitabhängigen Fall. Die physikalische Bedeutung von S(q k>0, α k>0, t, α 0 ): Hierzu bilden wir das totale Differential von S nach der Zeit. Es ist d s dt S(q, α) = (wegen α k = 0) = = = k=0 s k=0 s k=1 α k + q k α k q k q k q k q k q k + s p k q k + k=1 = 2T + p 0 (wegen p 0 = E = H) = 2T H (wegen H = T + U) = 2T T U = T U = L t q 0 q 0 q 0 168

5 Es ist also die totale Ableitung von S(q k>0, α k>0, t, α 0 ) identisch mit der Lagrange-Funktion. Integration über die Zeit liefert dann die Wirkung S: S = t2 t 1 L(q, q)dt 7.4 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Grenzfall der Schrödingergleichung in der Quantenmechanik Für ein Teilchen im Raum mit der potentiellen Energie U(q) und dem Impuls p lautet die Hamiltonfunktion wegen E = H H(p, q) = p2 2m + U(q) In der Quantenmechanik geht in Cartesischen Koordinaten der generalisierte Impuls p über in Einsetzen in H(p, q) führt zu [ 2 2 ( i ) q + U(q) ψ(q) = Eψ(q) (101) 2m q2 Dies ist eine Differentialgleichung zur Bestimmung von ψ(q). Substitution ψ = e is/ (S von q abhängig)! Es ist 2 q 2 eis/ = ( i S ) q q eis/ = i 2 S q 2 eis/ 1 ( S ) 2e is/ 2 q Einsetzen in (101) und Division durch e is/ führt dann zu 1 2m ( S ) 2 i q 2m 2 S + U(q) = E (102) q2 169

6 Führt man nun den Grenzübergang zur klassischen Physik durch ( 0), so geht (102) in 1 ( S ) 2 + U(q) = E 2m q die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung über. Der Grenzübergang klassische Mechanik zur Quantenmechanik geht nicht, da die klassische Mechanik zwar ein Grenzfall der Quantenmechanik ist ( 0), aber nicht umgekehrt! 7.5 Beispiele zur Hamilton-Jacobi-Theorie (zeitunabhängig) a) Der 1-dimensionale harmonische Oszillator: Zunächst diskutieren wir den 1-dimensionalen Fall mit beliebigem Potential U(q). Somit gilt für die Hamiltonfunktion H(p, q) = p2 2m + U(q) und damit lautet die Hamilton-Jacobigleichung 1 ( ) 2 + U(q) = E 2m q Beim 1-dimensionalen Oszillator ist E die einzige Konstante der Bewegung. Da α (der neue Impuls) ebenfalls Konstante der Bewegung sein muss, setzen wir α E (Beim zeitunabhängigen Fall lässt isch immer ein α k gleich E setzen.) Somit erhalten wir ( ) 2 + 2mU(q) = 2mα q (102) S(q, α) = 170 q q 0 2m(α U( q))d q

7 Da β = S(q,α) α folgt hieraus (102) β = q q 0 m 2m(α U( q)) d q Wegen der Hamilton schen Bewegungsgleichungen ist aber auch β = H(α) α = E α = α α = 1 β = t t 0 (103) Unser Ziel ist es nun, die neuen Koordinaten in die alten Koordinaten zurück zu transformieren, damit wir die Bewegung in p(t) und q(t) darstellen können. p(t) = q (wegen 1) = 2m(α U(q)) = 2m(E U(q)) (104) Aus (102) und (103) folgt t t 0 = q q 0 m 2m(E u( q)) d q (105) Um diesen Ausdruck näher zu bestimmen, gehen wir nun zu dem speziellen Fall des harmonischen Oszillators mit U(q) = 1 2 αq2 über und erhalten aus (104) p(t) = (105) t t 0 = Ausführung des Integrals führt zu 2m(E 1 2 αq2 ) q q 0 und aus m d q 2m(E 1 2 α q2 ) 171

8 t t 0 = m a arc sin a 2E q und somit q(t) = 2E a sin a m (t t 0) und damit p(t) = 2mE cos a m (t t 0) Dies ist die wohlbekannte Lösung des harmonischen Oszillators. b) Der 3-dimensionale anisotrope harmonische Oszillator Hier ergibt sich die Hamilton-Funktion zu H(p, q) = mit p i = 3 i=1 ( p 2 i 2m + a ) i 2 q2 i q i führt dies zur Hamilton-Jacobi-Gleichung 3 i=1 { } ( S ) 2 + mai qi 2 = 2mE(α i ) q i Um diese Differentialgleichung zu lösen, machen wir folgenden Separationssatz S(q 1, q 2, q 3, α 1, α 2, α 3 ) = S 1 (q 1, α) + S 2 (q 2, α) + S 3 (q 3, α) Einsetzen in die Hamilton-Jacobi-Gleichung führt dann zu 172

9 [ 3 ( Si (q i, α) ) 2 ] + mαi qi 2 = 2mE(α i ) q i i=1 Da die Funktionen S i (q i ) von verschiedenen Variablen abhängen, müssen die einzelnen Summanden konstant sein: Setze daher ( Si (q i, α) ) + mα i qi 2 q i S i (q i, α) q i + mα i q 2 i = 2mα i mit E = Damit erhalten wir drei unabhängige lineare Oszillatoren und wegen Beispiel (a) somit die Lösungen: 3 i=1 α i 2αi ai q i (t) = sin a i m (t t 0) p i (t) = ai 2mα i cos m (t t 0) (i = 1, 2, 3) c) Teilchen im homogenen Schwerefeld: Gegeben: homogenes Schwerefeld in negativer z-richtung mit p = x y z p x p y p z = = x 0 y 0 z 0 p x0 p y0 p z0 für t = t 0 und für t = t 0 173

10 Für die Hamiltonfunktion ergibt sich H = p2 x + p2 y + p2 z 2m + mgz wegen p x = S(x, y, z, α 1, α 2, α 3 ) x (für p y, p z analog) ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung zu ( S x ) 2 + ( S y ) 2 ( S ) m 2 gz = 2mE(α) z Diese Differentialgleichung versuchen wir wieder durch einen Separationssatz zu lösen. Es sei so folgt S = S 1 (x) + S 2 (y) + S 3 (z) ( S1 x ) 2 + ( S2 y ) 2 ( S3 ) m 2 gz = 2mE(α) (106) z Da wir wissen, dass die Impulse in x-richtung und y-richtung und die Energie Konstanten der Bewegung sind, setzen wir S 1 x = α 1 p x = p x0 (107) und E α 3, damit aus (106) S 2 y = α 2 p y = p y0 (108) 174

11 S 3 z = ± 2m(α 3 mgz) α 2 1 α2 2 (109) aus (107) folgt S i (x) = aus (108) folgt S 2 (y) = aus (109) folgt S 3 (z) = Hiermit bestimmen wir die β i : x x 0 α 1 d x = α 1 (x x 0 ) y α 2 dỹ = α 2 (y y 0 ) y 0 2m(α 3 mg z) α1 2 α2 2 d z z z 0 β 1 = β 2 = β 3 = 3 i=1 3 i=1 3 i=1 S z [ 1/2 i = (x x 0 ) α 1 2m(α 3 mg z) α1 2 α α 2] 2 (110) d z 1 z 0 [ S i α 2 = (y y 0 ) S i α 3 = ±m z z 0 z z 0 α 2 1/2 2m(α 3 mg z) α1 2] 2 α2 (111) d z [ 2m(α 3 mg z) α 2 1 α2 2] 1/2 d z (112) Aus den Hamilton schen Bewegungsgleichungen gewinnen wir β 3 = H(α) = E = α 3 = 1 α 3 α 3 α 3 β 3 = t t 0 (113) β 2 = H(α) = E = α 3 = 0 α 2 α 2 α 2 β 2 = const. (114) β 1 = H(α) = E = α 3 = 0 α 1 α 1 α 1 β 1 = const. (115) 175

12 Aus (113) und (114) und (115) erkennt man, dass β 1 = (x x 0 ) α 1 m β 3 β 2 = (y y 0 ) α 2 m β 3 und Mit den Anfangsbedingungen und β 3 = t t 0 folgt β 1 = β 2 = 0 und somit x x 0 = α 1 m (t t 0) y y 0 = α 2 m (t t 0) und Aus (115) und β 3 = t t 0 folgt aber z t t 0 = ±m z 0 [ 2m(α 3 mg z) α 2 1 α 2 2] 1/2 d z = 1 [ ] 1/2 2m(α 3 mg z) α1 2 mg z α2 2 Multiplikation mit mg, Einsetzen der Grenzen, Ausdruck mit unterer Grenze z 0 auf linke Seite und Quadratur der so gewonnen Gleichung ergibt: m 2 g 2 (t t 0 ) 2 2mg(t t 0 ) 2m(α 3 mgz 0 ) α1 2 α m(α 3 mgz 0 ) α 2 1 α 2 2 = 2mα 3 2m 2 gz α1 2 α2 2 m 2 g 2 (t t 0 ) 2 2mg (t t 0 ) 2m(α 3 mgz 0 ) α1 2 α2 2 2m 2 gz 0 Daraus ergibt sich dann = 2m 2 gz z z 0 = 1 2 g(t t 0) 2 ± t t 0 2m(α 3 mgz 0 ) α1 2 α2 2 m 176 z 0

13 wobei α 3 mgz 0 = E U 0 = T 0 Wir betrachten nun den Wurzelausdruck: 2mT 0 α 2 1 α 2 2 : = wegen α1 2 = p 2 x = p2 x 0 und α2 2 = p 2 y = p2 y 0 und T 0 = p2 x 0 2m + p2 y 0 2m + p2 z 0 2m [ ist = 2m( p 2 x0 2m + p2 y 0 2m + p2 z 0 2m = (p 2 x 0 + p 2 y 0 + p 2 z 0 p 2 z 0 p 2 y 0 ) 1/2 = (p 2 z 0 ) 1/2 = p z0 Die tabellarische Übersicht der gewonnen Ergebnisse ) p 2x0 p 2y0 ] 1/2 z z 0 = 1 2 g(t t 0) 2 + p z0 /m(t t 0 ) x x 0 = p z m (t t 0) y y 0 = p y m (t t 0) p x = α 1 = const. p y = α 2 = const. zeigt, dass das die Bewegung einer Wurfparabel ist. d) Teilchen unter Einfluss einer konservativen zentralen Kraft: Zur Aufstellung der Hamiltonfunktion in Polarkoordinaten benötigt man die Impulse. Man erhält sie aus der Lagrangefunktion L(q, q) = T U = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 ) U(r) 177

14 damit folgt für die generalisierten Impulse p r = L ṙ = mṙ p ϑ = L ϑ r 2 ϑ m p ϕ = L ϕ = mr2 sin 2 ϑ ϕ = J z Für die Hamiltonfunktion ergibt sich somit H = p2 r 2m + p2 ϑ 2mr 2 + p 2 ϕ 2m sin 2 ϑr 2 + U(r) Da es sich um ein Zentralpotential handelt, ist das Problem eben. Wir legen die x-, y-ebene in diese Bewegungsebene, d.h. ϑ = π 2 ϑ = 0 Daraus folgt für die Hamiltonfunktion H = p2 r 2m + p2 ϕ 2mr + U(r) = E 2 Dies führt dann zur Hamilton-Jacobi-Gleichung [ S(r, ϕ, α1, α 2 ) ] 2 1 [ S(r, ϕ, α1, α 2 ) ] 2 2mE = + + 2mU(r) r r 2 ϕ Wir machen wiederum einen Separationssatz: S = S 2 (ϕ) + S 1 (r) und es folgt [ S1 (r, α 1, α 2 ) ] 2 1 [ S2 (ϕ, α 1, α 2 ) ] 2 2mE = + + 2mU(r) r r 2 ϕ 178

15 Konstanten der Bewegung sind hier die Energie E und der Drehimpuls in z-richtung J z = p ϕ. Wir setzen daher Es ist aber: α 1 E α 2 J z = p ϕ S 2 ϕ = α 2 S 2 (ϕ) = α 2 ϕ (mit der Anfangsbedingung ϕ 0 = 0) Daraus folgt dann 2mα 1 = S 1 r = S 1 = [ S1 ] 2 + α r r + 2mU(r) 2 τ 2mα 1 α2 2 r 2mU(r) 2 τ 0 2m(α 1 + U( r)) α2 2 r 2 d r Bestimmung von β 2 : β 2 = (S 1 + S 2 ) τ α 2 = ϕ + α 2 τ 0 r 2 2m(α 1 U( r) α2/r d r 2 2 Zur Berechnung spezialisieren wir nun auf das spezielle Gravitationspotential U(r) = γ r. Es folgt dann durch Substitution 1 r = µ µ dµ β 2 = ϕ + α 2 µ 0 2m(α1 + γµ) α2 2µ2 Ausführung des Integrals führt zu 179

16 mit µ = 1 r folgt ϕ β 2 π 2 = arc sin { µ mγ/j z 2 m 2 γ 1 + 2mE Jz 4 Jz 2 } r(ϕ) = mit: ε i = Jz 2 /mγ 1 + ε cos(ϕ β 2 ) 1 + 2EJ z mγ 2 Dies ist die bekannte Lösung des Problems: ein Kegelschnitt! 180