Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H"

Katrin Becke
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Formelsammlung Lagrange-Gleichungen: ( ) d L dt q k L q k = 0 mit k = 1,..., n. (1) Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L q k. (2) Hamilton-Funktion: n H(q 1,..., q n, p 1,..., p n, t) = p k q k L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t). (3) k=1 Hamiltonsche Gleichungen: ṗ k = H q k mit k = 1,..., n (4) q k = H p k mit k = 1,..., n (5) Lorentz-Transformation eines Vierervektors (bei Relativbewegung entlang der x-achse): (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (γx 0 γ v c x1, γx 1 γ v ) c x0, x 2, x 3. (6) Näherungsformel für die Entwicklung von Potenzen: (1 + x) α 1 + αx für x 1 (7)

2 Aufgabe 1: Betrachten Sie die vier Ereignisse A, B, C und D, von denen A im System S die Koordinaten x ν = (0, 0, 0, 0) habe. Für die Quadrate der raumzeitlichen Abstände gelten folgende Aussagen: s 2 AB > 0, s 2 AC > 0, s 2 AD < 0, s 2 BC > 0, s 2 BD < 0, s 2 CD < 0. Die Koordinaten x 2 und x 3 seien für alle Ereignisse Null. Aus der Sicht eines Beobachters im System S finden die Ereignisse A und B am gleichen Ort statt, während C an einem anderen Ort stattfindet. In S sind weiterhin die Ereignisse A und D gleichzeitig. (a) Zeichnen Sie ein Koordinatensystem für S mit aufeinander senkrecht stehenden Achsen für x 0 (vertikale Achse) und x 1 (horizontale Achse). Markieren Sie in diesem Koordinatensystem vier Punkte für die Ereignisse A, B, C und D derart, dass die obengenannten Bedingungen für die Quadrate der raumzeitlichen Abstände erfüllt sind. (b) Kennzeichnen Sie graphisch jeweils die absolute Zukunft und die absolute Vergangenheit von C und D. (c) Zeichnen Sie in dieses Koordinatensystem zwei weitere Achsen, die für die Koordinaten x 0 und x 1 eines Koordinatensystems S stehen, das sich mit der Geschwindigkeit v längs der x 1 -Achse gegenüber S bewegt. Die Geschwindigkeit v soll so groß gewählt werden, dass die Ereignisse A und C in S am gleichen Ort stattfinden. (d) Welchen Wert muss diese Geschwindigkeit v in Abhängigkeit der Koordinaten von C haben? (e) Gibt es ein gegen S bewegtes Koordinatensystem S, in dem B und C am gleichen Ort stattfinden? Begründen Sie Ihre Antwort.

3 Aufgabe 2: Eine Ladung q mit der Masse m habe die potentielle Energie U = qv A. Dabei sei der Vektor A = (A x, A y, A z ) räumlich und zeitlich veränderlich, hängt also von r und t ab. Die Position der Ladung wird durch den zeitabhängigen Vektor r = (x, y, z) angegeben. (a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion L = T U für das Teilchen als L(x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) in Abhängigkeit der kartesischen Koordinaten und Geschwindigkeiten und der Zeit. (b) Wie lauten die zugehörigen verallgemeinerten Impulse p x = L ẋ, p y = L ẏ und p z = L ż? (c) Formulieren Sie die Hamilton-Funktion, die nur von den Koordinaten und Impulsen nicht aber von den Geschwindigkeiten abhängt. (d) Geben Sie die partielle Zeitableitung der Hamilton-Funktion an und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. (e) Geben Sie die totale Zeitableitung der Hamilton-Funktion an und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich.

4 Aufgabe 3: In einem Linearbeschleuniger der Länge s bewege sich ein Proton mit der Geschwindigkeit (1 ε)c. (a) Welche Länge hat der Beschleuniger aus der Sicht des Protons? (b) Nähern Sie das Ergebnis aus a) für Werte von ε 1. (c) Welche Zeit benötigt das Proton für die Strecke aus der Sicht eines neben dem Beschleuniger ruhenden Beobachters? (d) Welche Zeit vergeht aus der Sicht des Protons während des Durchlaufens der Strecke? (e) Nähern Sie das Ergebnis aus d) für ε 1.

5 Aufgabe 4: Die Hamiltonfunktion eines Satelliten, der sich in der Äquatorialebene der Erde bewegt, lautet H = 1 ( ) p 2 r + p2 φ G Mm 2m r 2 r Dabei ist r der Abstand des Satelliten zum Erdmittelpunkt, φ der Azimutwinkel in der Äquatorialebene, p r = mṙ und p φ = mr 2 φ sind die zu diesen Koordinaten gehörenden kanonischen Impulse, m ist die Masse des Satelliten und M die Masse der Erde, G die Gravitationskonstante. (a) Gewinnen Sie mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen Ausdrücke für ṗ r und ṗ φ. (b) Im Fall einer stationären Umlaufbahn gilt ṗ r = 0. Wie groß ist in diesem Fall die Bahngeschwindigkeit v = r φ in Abhängigkeit vom Radius r? (c) Aus der Sicht eines erdfesten Beobachters gehen Uhren im mit der Geschwindigkeit v bewegten Satelliten um den Faktor γ langsamer (wir vernachlässigen hier, daß es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt). Drücken Sie γ als Funktion von r aus. (d) Schreiben Sie γ als Potenzreihe von 1/r. Sie können die Potenzreihe nach dem ersten nicht-trivialen (also dem ersten nicht konstanten) Term abbrechen. (e) Selbst wenn die Erde punktförmig wäre, ergäbe der vorhergehende Ausdruck für γ für kleine Umlaufradien r doch offensichtlich keinen Sinn. Aus welchem Grund ist der hier vorgestellte Ansatz nur für nicht zu kleine r gültig? Hinweis: An der Potenzreihenentwicklung allein liegt es nicht, denn schon der Ausdruck für die Bahngeschwindigkeit wird bei zu kleinem r falsch.

Ähnliche Dokumente

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus