Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 22. September 2015, Uhr

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Cathrin Walter
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1 KIT SS 15 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung. September 15, 1-14 Uhr Aufgabe 1: Kurzfragen ( Punkte (a Die erhaltenen Größen und evtl. zyklischen Koordinaten sind jeweils (i Energieerhaltung; keine zyklische Koordinate ( t (ii Drehimpuls um die zugehörige Drehachse; zykl. Koord. ϕ (iii Impuls in x-richtung; zykl. Koord. x. (b F hängt nicht von x ab, also ist F. x Wir betrachten die totale x-ableitung der linken Seite F y F y d dx ( F y F y const. F x + F y y + F y y y ( F y d F y dx y } {{ } nach Euler-Lagrange-Gl. y d F y dx y (c Das Noethertheorem besagt, dass es zu jeder infinitesimalen Transformation, die die Lagrangefunktion invariant lässt, eine zugehörige Erhaltungsgröße gibt. (d Der Zusammenhang lautet F H(q, p, t i q i (q, p, tp i L(q, q(q, p, t, t. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind q i H p i, ṗ i H q i.

richtung; zykl. Koord. x. (b F hängt nicht von x ab, also ist F. x Wir betrachten die totale x-ableitung der linken Seite F y F y d dx ( F y F y const.

2 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 Aufgabe : Federpendel (1+515 Punkte (a Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Pendelauslenkung sowie Federlänge lautet x l sin ϕ ẋ l cos ϕ ϕ + l sin ϕ z l cos ϕ ż l sin ϕ ϕ l cos ϕ. Damit ergibt sich direkt für die kinetische Energie T m (ẋ + ż m [ ( l cos ϕ ϕ + l ( sin ϕ + l sin ϕ ϕ l ] cos ϕ m [ l cos ϕ ϕ + l sin ϕ + l l cos ϕ sin ϕ ϕ + l sin ϕ ϕ + l cos ϕ l l ] sin ϕ cos ϕ ϕ m (l ϕ + l. Die potentielle Energie setzt sich aus zwei Teilen zusammen, der Gravitationsenergie sowie der Federenergie U Grav mgz mgl cos ϕ U Feder κ (l l. Damit ergibt sich für die Lagrangefunktion L T U Grav U Feder m (l ϕ + l + mgl cos ϕ κ (l l. Die Bewegungsgleichungen erhält man durch Einsetzen in die Lagrangegleichungen d. Art, : dt q q l: ϕ: m l d m l l dt l l ml ϕ + mg cos ϕ κ(l l l l ϕ + g cos ϕ κ m (l l ϕ ml ϕ d dt ϕ ml ϕ + ml l ϕ mgl sin ϕ ϕ ϕ g l sin ϕ l l ϕ. / 9

Damit ergibt sich direkt für die kinetische Energie T m (ẋ + ż m [ ( l cos ϕ ϕ + l ( sin ϕ + l sin ϕ ϕ l ] cos ϕ m [ l cos ϕ ϕ + l sin ϕ + l l cos ϕ sin ϕ ϕ + l sin ϕ ϕ + l cos ϕ l l ] sin ϕ cos ϕ ϕ

3 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 (b In der Gleichgewichtslage ξ gilt l ξ + ξ l ξ l ξ. Die Bedingung für ξ, dass keine Kraft auf die Masse wirkt, bedeutet, dass die Masse nicht beschleunigt werden darf, ϕ l für l ξ. In die Bewegungsgleichungen eingesetzt ergibt sich g ξ sin ϕ ϕ ϕ ξ ϕ + g cos ϕ κ m (ξ l g κ m (ξ l ξ mg κ + l. Damit folgt für die Bewegungsgleichungen ξ (ξ + ξ ϕ + g cos ϕ κ ( ξ + mg m κ + l l (ξ + ξ ϕ κ ξ g(1 cos ϕ, m ϕ g sin ϕ ξ ϕ. ξ + ξ ξ + ξ 3 / 9

für l ξ. In die Bewegungsgleichungen eingesetzt ergibt sich g ξ sin ϕ ϕ ϕ ξ ϕ + g cos ϕ κ m (ξ l g κ m (ξ l ξ mg κ + l.

4 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 Aufgabe 3: Ruckmechanik (8+1 Punkte (a Nach dem Hamiltonschen Prinzip muss die Wirkung stationär sein, bzw. die Variation der Wirkung verschwinden: δs δ t t dt L(q, q, q, t ( dt δq i + δ q i + δ q i. q i q i q i Die Variation der Ableitungen von q kann mittels partieller Integration jeweils auf die Variation von q zurückgeführt werden: t dt δ q i t t ( d δq i dt δq i q i q i t } {{ } 1 dt q i sowie t t ( d dt dt q i ( t d t δ q i δq i q i t } {{ } 1 dt q i } {{ } dt q i δ q i q i δ q i t δ q i t + dt ( d δq dt i. q i Dabei haben wir eingesetzt, dass die Variation sowohl von q i als auch q i an den Endpunkten verschwindet: δq i ( δq i (t δ q i ( δ q i (t. t ( δs dt d + d δq q i dt q i dt i. q i Dies muss für alle Variationen δq i gelten, also muss der Ausdruck innerhalb der Klammer verschwinden, und zwar für jede verallgemeinerte Koordinate separat, was n Gleichungen liefert d d dt q i dt (b Aus der Lagrangefunktion folgt +, i 1,..., n. q i q i q m q d dt q m q, q, q m q kq. Eingesetzt in die Euler-Lagrange-Gleichungen ergibt sich also m q m q kq q k m q, die Bewegungsgleichung für einen harmonischen Oszillator. 4 / 9

q i q i q i Die Variation der Ableitungen von q kann mittels partieller Integration jeweils auf die Variation von q zurückgeführt werden: t dt δ q i t t ( d δq i dt δq i q i q i t } {{ } 1 dt q i

5 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 Aufgabe 4: Geodäte auf Kreiskegelmantel ( Punkte (a Die Parametrisierung lässt sich z.b. finden, indem wir in einem Zwischenschritt zunächst Zylinderkoordinaten einführen: x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ z z. Der Ursprung, P und der z-achsenabschnitt von P bilden dann ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α, Kathete ρ, Ankathete z und Hypotenuse r, also cos α z r und sin α ρ r. Damit folgt für die Parametrisierung und folglich die Infinitesimalelemente x r sin α cos ϕ y r sin α sin ϕ z r cos α dz cos α dr. Damit gilt für das Linienelement (b Für die Länge L gilt ds dx + dy + dz dx sin α cos ϕ dr r sin α sin ϕ dy sin α sin ϕ dr + r sin α cos ϕ sin α cos ϕ dr + r sin α sin ϕ + sin α sin ϕ dr + r sin α cos ϕ + cos α dr ds dr + r sin α. L J[r] F E S ϕe ϕ S ds r sin α + r sin α + ( dr ( dr minimal. F hängt nicht explizit von ϕ ab, damit kann direkt die integrierte Form benutzt 5 / 9

Damit folgt für die Parametrisierung und folglich die Infinitesimalelemente x r sin α cos ϕ y r sin α sin ϕ z r cos α dz cos α dr.

6 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 werden: F r F const. r r sin α + r r r r sin α + r r sin α r sin α + r r 4 sin 4 α ( r sin α + r r r4 sin 4 α r sin α r r4 sin 4 α ± r sin α r r sin α r sin α. In der letzten Zeile haben wir dabei das Vorzeichen in die noch zu bestimmende Konstante absorbiert. (c Nochmaliges Integrieren via Separation der Variablen liefert dann: r dr r sin α r sin α 1 dr sin α r r sin α ϕ + D dr sin α [ sin α sin α ϕ + D 1 sin α arccos Dies lösen wir schließlich nach r auf: sin α (ϕ + D arccos sin αr r(ϕ r ( sin αr cos (sin α (ϕ + D sin α 1 r sin α ( ] arccos sin αr (. sin αr 1 cos (sin α (ϕ + D. Die beiden Konstanten und D erhält man schließlich durch Einsetzen des Anfangsund Endpunkts: r S 1 sin α cos (sin α (ϕ S + D und analog für (r E, ϕ E. 6 / 9

In der letzten Zeile haben wir dabei das Vorzeichen in die noch zu bestimmende Konstante absorbiert.

7 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 Aufgabe 5: Rollender Zylinder ( Punkte ϕ S R ϑ ϑ ϕ (a Für das Trägheitsmoment des Zylinders berechnen wir zunächst seine Masse als Funktion der Dichte ρ ρ (S r und des Volumens: m d 3 rρ V S πρ H πρ H π dr S m π ρ HS 4. (S S H H dr(rs r 3 S4 4 dzrρ (S r Das benötigte Trägheitsmoment ist dann gegeben durch: Θ zz d 3 rρ(x + y V S πρ H m 4 ( S 4 Θ zz m 3 S. π dr S S S4 H H dr(r 3 S r 5 4 S6 6 dzrρ (S r r 7 / 9

Volumens: m d 3 rρ V S πρ H πρ H π dr S m π ρ HS 4.

8 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 (b Die abgerollte Länge auf dem Außenzylinder und dem Rollzylinder muss gleich groß sein: Rϕ Sϑ. Der hier verwendete Winkel ϑ entspricht allerdings noch nicht dem für die Rotationsenergie benötigten Winkel ϑ. Hier muss zusätzlich noch berücksichtigt werden, dass sich durch die Krümmung des Außenzylinders der Auflagepunkt um den Winkel ϕ verschoben hat. Die abgerollte Strecke ist also länger als eigentlich durch die Drehung verursacht, also ϑ ϑ + ϕ. Also gilt für die Relation Rϕ S(ϑ + ϕ ϑ R S S ϕ ϑ R S ϕ. S Für die Rotationsenergie verschieben wir den Trägheitstensor mit dem Satz von Steiner in den Auflagepunkt am Rand des Rollzylinders: Damit folgt für die Rotationsenergie Θ Θ zz + ms 4 3 ms. T 1 Θ ϑ 1 4 (R S ms ϕ 3 S 3 m(r S ϕ. Alternativ führt die Berechnung als Rotation um den Schwerpunkt plus Translation des Schwerpunkts auf dasselbe Ergebnis. Für die potentielle Energie reicht es, den Schwerpunkt des Rollzylinders zu betrachten: U mgh mg(r S(1 cos ϕ. Damit folgt für die Lagrangefunktion L T U 3 m(r S ϕ mg(r S(1 cos ϕ. (c Einsetzen in die Lagrange-Gleichungen. Art liefert dann die Bewegungsgleichung d dt ϕ ϕ 4 3 m(r S ϕ + mg(r S sin ϕ. 8 / 9

Hier muss zusätzlich noch berücksichtigt werden, dass sich durch die Krümmung des Außenzylinders der Auflagepunkt um den Winkel ϕ verschoben hat.

9 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 15 Im Grenzfall kleiner Auslenkungen gilt sin ϕ ϕ und damit ϕ 3 g 4 R S ϕ. Dies ist die Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator und wir können einen Schwingungsansatz machen: ϕ(t A cos(ωt + ϕ S. Einsetzen in die Bewegungslgeichung bestimmt die Kreisfrequenz 3 g ω 4 R S. Mit den Startbedingungen ϕ(t ϕ A cos(ϕ S ϕ(t Aω sin(ϕ S ϕ S, A ϕ ergibt sich dann als Lösung ( 3 g ϕ(t ϕ cos 4 R S t. 9 / 9

Dies ist die Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator und wir können einen Schwingungsansatz

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