Klausur zur T1 (Klassische Mechanik)

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1 Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte erreichbar. Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Aufgabenblatt, vor allem auf jedes Extrablatt! Bei einigen Aufgaben sind wichtige Zwischenergebnisse angegeben. Damit können Sie insbesondere spätere Aufgabenteile bearbeiten, ohne vorhergehende Aufgabenteile vollständig gelöst zu haben. Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Summe / 40P

2 1 [10P] Zweidimensionaler anharmonischer Oszillator Wir betrachten einen zweidimensionalen isotropen anharmonischen Oszillator mit Masse m. Als Koordinatensystem verwenden wir Polarkoordinaten (r, φ). Die potentielle Energie lautet dann V (r) = k 4 r4. a. [3P] Berechnen Sie explizit die Hamiltonfunktion H als Funktion der generalisierten Koordinaten (r, φ) und kanonischen Impulse. Dabei ist auch die kinetische Energie ausgehend von der Koordinatentransformation explizit zu berechnen. b. [2P] Identifizieren Sie in H die zyklische Koordinate und geben Sie die zugehörige Erhaltungsgröße explizit an. Welche physikalische Interpretation hat diese Erhaltungsgröße? c. [3P] Reduzieren Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf ein effektiv eindimensionales Problem m r = dv eff(r) dr und geben Sie das effektive Potential V eff (r) explizit an. Interpretieren Sie die verschiedenen Terme im effektiven Potential und machen Sie eine Skizze. d. [2P] Wir interessieren uns für die Periode der Radialbewegung r(t) für eine vorgegebene Gesamtenergie E. Reduzieren Sie diese Fragestellung auf ein Integral, dessen Integranden und Definition der Integrationsgrenzen Sie explizit angeben, das Sie aber nicht mehr geschlossen ausrechnen sollen. 2

3 2 [10P] Normalschwingungen Wir betrachten das unten skizzierte lineare dreiatomige Molekül aus drei Massen m, 2m und m in harmonischer Näherung mit Federkonstante k. x 1, x 2, x 3 bezeichnen die Auslenkungen aus der Ruhelage. a. [8P] Berechnen Sie die Frequenz der Normalschwingungen und geben Sie die zugehörigen Normalmoden explizit an. Skizzieren Sie die Normalmoden. b. [2P] Eine der Normalmoden ist direkt mit einem Erhaltungssatz verknüpft. Welche ist dies und warum? 3

4 3 [10P] Massenpunkte auf Kreis Zwei Massenpunkte mit Massen m 1 und m 2 (m 2 > m 1 ) sind durch eine masselose starre Stange der Länge l verbunden und bewegen sich reibungsfrei auf einem Kreis mit Radius R (siehe Skizze). Das Schwerefeld zeigt in der Skizze nach unten. a. [3P] Geben Sie die Lagrangefunktion explizit als Funktion der generalisierten Koordinate φ an. Dabei ist auch die kinetische Energie ausgehend von der Koordinatentransformation explizit zu berechnen. b. [4P] Stellen Sie die Lagrangesche Bewegungsgleichung auf. Durch welche Gleichung ist die stabile Gleichgewichtslage φ bestimmt? Berechnen Sie die Schwingungsfrequenz bei kleinen Auslenkungen davon. Sie können die Schwingungsfrequenz dabei einfach als Funktion von φ und φ 0 angeben, ohne diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen. Hinweis: (Additionstheorem für trigonometrische Funktionen) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β c. [3P] Betrachten Sie speziell den Fall l = 2R. Zeigen Sie, daß die Lagrangesche Bewegungsgleichung konsistent ist mit der Bewegungsgleichung, die Sie mittels d L dt = M erhalten. L ist hier der Drehimpuls und M das angreifende Drehmoment. 4

5 4 [10P] Störungstheorie mit kanonischen Transformationen Gegeben sei ein harmonischer Oszillator (m = ω = 1) mit einem anharmonischen Term: H = 1 2 p q2 g 4 p4. Der anharmonische Term wird als kleine Störung angenommen, d.h. 0 < g 1 (Randbemerkung: Ein Term dieser Struktur ist die führende relativistische Korrektur für den harmonischen Oszillator). Terme höherer Ordnung O (g 2 ) können in dieser Aufgabe konsequent vernachlässigt werden. Mit der Erzeugenden F 2 (q, P ) = qp g ( c 1 P q 3 + c 2 P 3 q ) mit H = H + F 2 t, p = F 2 q und Q = F 2 P wird eine kanonische Transformation durchgeführt. c 1 und c 2 sind vorerst zwei beliebige Konstanten. a. [6P] Verwenden Sie obige kanonische Transformation, um die Hamilton-Funktion auf folgende Form H = H 0 gαh O(g 2 ) mit H 0 P 2 /2 + Q 2 /2 (1) zu bringen. Dabei ist α eine geeignete Konstante. Verwenden Sie diesen Ansatz, um c 1, c 2 und α eindeutig zu bestimmen. Ergebnis: c 1 = 3 32, c 2 = 5 32, α = 3 8 b. [1P] Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen für Q und P aus der Hamilton-Funktion in Gl. (1). c. [3P] Die Hamilton-Funktion in Gl. (1) hat H 0 E 0 als Erhaltungsgröße. Beweisen Sie dies. Verwenden Sie diese Erhaltungsgröße zum Lösen der Bewegungsgleichungen für q und p (bis auf Terme in Ordnung g 2 ). 5