Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik III Prof. Dr.-Ing. Prof. E. h. P. Eberhard WS 08/09 K 2. Aufgabe 1 (5 Punkte)

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1 Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik III Prof. Dr.-Ing. Prof. E. h. P. Eberhard WS 8/9 K 6. Februar 9 Klausur in Technische Mechanik III Nachname Vorname Aufgabe (5 Punkte) Der skizzierte Balken (Biegesteifigkeit EI änge ) ist wie dargestellt gelagert. Am rechten Ende greift das Moment M an. Formulieren Sie die Randbedingungen für die transversalen Biegeschwingungen w (t) des Balkens. w M Matr.-Nummer Fachrichtung. Die Klausur umfasst 6 Aufgaben auf 5 Blättern.. Nur vorgelegte Fragen beantworten keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. Aufgabe (6 Punkte) 4. Die Blätter der Klausur dürfen nicht getrennt werden. 5. Außer elektronischen Geräten sind alle Hilfsmittel zugelassen. 6. Bearbeitungszeit: 9 Minuten. 7. Unterschreiben Sie die Klausur erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Die zweite Eigenfrequenz einer Saite ist stets doppelt so hoch wie die erste Eigenfrequenz. Alle Eigenfunktionen zu einem Schwingungsproblem sind stets orthogonal zueinander. Ja Nein.. (Unterschrift) Mit dem. Satz von astigliano ist die Berechnung von statisch bestimmten Systemen möglich. Der. Satz von astigliano kann nur für schlanke Balken angewandt werden. Punkte Korrektur Die Methode der Finiten Elemente ist eine Näherungsmethode zur ösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei einer instabilen Gleichgewichtslage eines konservativen elastischen Systems ist die zweiten Variation des Potentials negativ.

2 Aufgabe 3 ( Punkte) Die Verformung des skizzierten Fachwerks soll mit der Finite Elemente Methode untersucht werden. Die Stäbe haben die Querschnittsflächen A 5A A A 4 A A 3 A und die Elastizitätsmodule E E E E E 4 E. E 3 a) Welcher Vektor y beschreibt die Verschiebungen der freien Knoten des Fachwerks? [ u u u u ] [ u u u u ] y A B D D y [ u B u B u u y B D A y [ u B u B u D u D ] ] b) Geben Sie für die Stäbe und ihre ängen sowie die zugehörigen Richtungskosinusse an. A D B d) Ergänzen Sie die Verteilungsmatrizen γ der Stäbe und. e) Bestimmen Sie die Elementsteifigkeitsmatri von Stab im globalen Koordinatensystem. T K Stab : Stab : c c c c Die globale Steifigkeitsmatri K des Gesamtsystems lautet K AE c) Vervollständigen Sie die Submatrizen K sub γ der Stäbe und. K sub K sub f) Berechnen Sie den Kraftvektor der die Verschiebung y 3 4 zur Folge hat. [ ] F

3 Aufgabe 4 ( Punkte) Zwei Rollen (homogene Vollzylinder Masse 3m und m Radius r und r) sind über eine masselose Feder (Federsteifigkeit c) miteinander verbunden. Die Positionen der Rollenschwerpunkte werden durch die Winkel ϕ und ϕ beschrieben. Beide Zylinder rollen ohne zu gleiten auf einem Halbzylinder (Radius R) ab. Im Anfangszustand ( ϕ π und ϕ π 3 ) ist die Feder ungespannt. Das System ist Eben. a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System? f Rolle m r b) Wie lautet der Vektor der verallgemeinerten Koordinaten? R c φ φ 3m r Rolle g y e) Geben Sie die kinetische Energie von Rolle an. T f) Bestimmen Sie die potentielle Energie von Rolle. Es gilt V für ϕ ϕ. V g) Wie lautet die agrange-funktion * des Systems? Verwenden Sie hierbei T T V V und V F wobei V F die potentielle Energie der Feder ist. * h) Geben Sie die zur Herleitung der Bewegungsgleichungen benötigten agrangeschen Gleichungen. Art in Abhängigkeit der agrange-funktion * an. q c) Bestimmen Sie die Trägheitsmomente der Rollen bezüglich ihrer Schwerpunkte. J J d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω R von Rolle und der Koordinate ϕ&? ω R

4 Aufgabe 5 ( Punkte) Eine Balkenkonstruktion besteht aus drei gleichen schlanken fest miteinander verschweißten Rechteckeckbalken (änge Elastizitätsmodul E Schubmodul G Trägheitsmomente I y y 6 I I z z 3 I I p 3 4 I Querschnittsfläche A). An der Stelle ist die Konstruktion über eine feste Einspannung mit der Wand verbunden. Die Konstruktion wird an der Stelle B durch eine Kraft F B in y-richtung belastet. Es ist die Verschiebung des Trägers an Stelle B in y-richtung zu bestimmen. b) Die Schnittmomente in den drei Balkenstücken sind in nachfolgender Tabelle symbolisch gegeben. Kennzeichnen Sie die Schnittmomente welche ungleich Null sind. Bereich -Richtung y-richtung z-richtung Balken M M y M z Balken M M y M z Balken 3 M 3 M 3y M 3z y z Balken Balken B F B c) Ergänzen Sie die Formel zur Bestimmung der Formänderungsenergie der Balkenkonstruktion. Geben Sie nur Ausdrücke ungleich Null an. Π Mz E 3 d I E d Balken 3 3 Balken mit lokalem KOS y z d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Verschiebung w By im Punkt B in y-richtung und der Formänderungsenergie der Balkenkonstruktion? a) Wie lautet der Arbeitssatz für elastische Körper? w By ( Π) W

5 Aufgabe 6 (7 Punkte) Die zweite Eigenkreisfrequenz der wie dargestellt eingespannten Saite liege bei ω 65 rad/s. π a) Bestimmen Sie die erste Eigenkreisfrequenz. rad ω s b) Welcher Zusammenhänge bestehen zwischen der Kreisfrequenz ω der Periodendauer T und der Frequenz f? Mit einem Oszilloskop sollen nun alle Eigenfrequenzen im menschlichen Hörbereich Hz f 6kHz gemessen werden. c) Welche Aufzeichnungsdauer T ist notwendig um eine komplette Periode der ersten Eigenschwingung aufzuzeichnen. T d) Welche der folgenden Eigenkreisfrequenzen sind für den Menschen hörbar? ω 335 rad/s ω 345 rad/s 9 π 3 π 5 495π ω 45 rad/s ω rad/s 37 π