= = > > Aufgabe 1 (6 Punkte) Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard / M. Hanss WS 2014/15 K 2

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1 Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard / M. Hanss WS 014/15 K 1. Februar 015 Klausur in Technische Mechanik IV Nachname, Vorname -Adresse (Angabe freiwillig) Aufgabe 1 (6 Punkte) Die Längsschwingungen (,) eines Dehnstabes (Dehnsteifigkeit und Länge ), welche durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben werden, sollen untersucht werden. Das linke Stabende ist fest eingespannt (Randbedingung (=0,)=0). Für das rechte Ende (= ) sind drei verschiedene Fälle gegeben. = = Fall I Fall II Fall III = Matr.-Nummer Fachrichtung a) Formulieren Sie die Randbedingungen für die gegebenen Fälle. I) Freies Ende 1. Die Klausur umfasst 5 Aufgaben auf 5 Blättern.. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Klausur dürfen nicht getrennt werden. 5. Als Hilfsmittel sind ausschließlich 6 Seiten Formelsammlung (entspricht 3 Blättern DIN A4 doppelseitig) zugelassen. Elektronische Geräte sind ausdrücklich nicht zugelassen. 6. Bearbeitungszeit 0 Minuten.. Unterschreiben Sie die Klausur erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. II) Feder am Stabende (Federsteifigkeit 0) III) Masse am Stabende (Masse 0) b) Bezüglich der Eigenfrequenzen des Stabes sind für die verschiedenen Randbedingungen Aussagen gegeben. Der hochgestellte Index kennzeichnet den zugehörigen Fall, d.h. bezeichnet die erste Eigenfrequenz zum zweiten Fall. Kreuzen Sie Zutreffendes an... (Unterschrift) Punkte Korrektur = wahr falsch Keine Aussage möglich

2 Aufgabe (11 Punkte) Ein masseloser Hebel (Biegesteifigkeit ) ist auf der linken Seite fest eingespannt und zusätzlich über ein verschiebliches Gelenklager gelagert, wodurch die Lagerung statisch unbestimmt ist. Das Ende des Hebels ist um 0 abgewinkelt. Unter der Einwirkung der Kraft verformt sich der Hebel. Mit Hilfe der Sätze von Menabrea bzw. Castigliano sollen die Lagerkräfte sowie die horizontale Verschiebung des Hebelendes ermittelt werden. b) Geben Sie die Lagerreaktionen des linken Lagers in Abhängigkeit der Lagerkraft des rechten Lagers an. c) Geben Sie die Momentenverläufe für die beiden Abschnitte an. Verwenden Sie dazu die lokalen Koordinaten und. ( )= = d) Bestimmen Sie die zur Berechnung der Lagerkraft und der Verschiebung notwendigen partiellen Ableitungen der Momentenverläufe und. a) Vervollständigen Sie zunächst die Freischnittskizze. Tragen Sie alle Kräfte und Momente ein und benennen Sie diese. e) Berechnen Sie die Lagerkraft. = f) Berechnen Sie die Verschiebung am Ende des Hebels. =

3 Aufgabe 3 (1 Punkte) Das abgebildete Tragwerk soll mit Hilfe der Methode der finiten Elemente untersucht werden. Die Stäbe besitzen alle denselben Querschnitt und denselben Elastizitätsmodul, die jeweils konstant sind. Die Positionen und Längen der Stäbe sind der Skizze zu entnehmen. d) Geben Sie die lokale Steifigkeitsmatrix des Stabes () an. +,-./, '# = 0 1 ( ) * a) Geben Sie die Zahl der Freiheitsgrade des Systems an. e) Geben Sie die Substeifigkeitsmatrix für das Stabelement () im globalen Koordinatensystem an. 5,-4/, + 34,'# = f) Stellen Sie die Verteilungsmatrix des Stabes () auf. < '# = 6 6 g) Ergänzen Sie die globale Steifigkeitsmatrix um den Anteil von Stab (). Die Anteile der anderen beiden Stäbe sind durch die Matrix + gegeben. = b) Wie lautet der Vektor der unabhängigen Knotenpunktsverschiebungen?!=" # $ % &!=" $ $ # % &!=" ' $ # % &!=" ' # # % & c) Geben Sie die Richtungskosinusse für die Stäbe () und (* an.,'# =,'# = +=+ + mit + = C 0 4 F?B 0 1 h) Welche Kraft wirkt bei einer Verschiebung G=H0 1 1I &?,'$ =,'$ = & J=K L

4 Aufgabe 4 ( Punkte) Ein Torsionsstab (Länge, Schubmodul M, polares Flächenträgheitsmoment N ) ist durch ein Moment belastet und an der linken Seite fest eingespannt. b) Geben Sie die Näherungslösung O() an. O()= ()= f () Für einen zweigliedrigen Ritz-Ansatz zur Bestimmung einer Näherungslösung O= P ()+ P () für den Torsionsverlauf werden die folgenden Ansatzfunktionen verwendet Hinweis P ()=sint U V W und P ()=sint XU V W. Ycos ()d= sin() Ysin()d= 1 sin() 1 cos() () c) Um die Näherungslösung zu verbessern, soll eine zusätzliche Ansatzfunktion zur Basis hinzugefügt werden. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen zulässige Kandidaten sind. cos g 1 cos g Aufgabe 5 (1 Punkte) ja nein ja nein T 1W Eine prismatische Scheibe (Körper I, Masse =, Trägheitsmoment 3 bzgl. Schwerpunkt) und eine Kreisscheibe (Körper II, Masse =3, Trägheitsmoment h bzgl. Schwerpunkt) stoßen aufeinander. Beide Körper sind drehbar gelagert. Der Stoß ist glatt. a) Vervollständigen Sie die Matrix ] und den Vektor ^ des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten und nach dem Ritz schen Verfahren. j 3h _`a U b 0 c V ]= 6 V d e U b ^= 6 j h

5 a) Charakterisieren Sie den Stoß. Der Stoß ist zentral exzentrisch gerade schief b) Schneiden Sie die beiden Körper frei, tragen Sie alle wirkenden Kraftstöße ein. Zeichnen Sie die Normalen- und Tangentialrichtungen ein, kennzeichnen Sie diese und markieren Sie den Kontaktpunkt auf beiden Körpern. Mittels Messung konnte die Differenz der Drehgeschwindigkeiten des Körpers I vor und nach dem Stoß zu f = X Ω ermittelt werden. Außerdem sind die kinetischen Energien vor dem Stoß n f f = o Ω und n f f = c o Ω. Die Körperdrehungen sind vor dem Stoß jeweils positiv in eingezeichneter Richtung. e) Berechnen Sie die beim Stoß wirkenden Lager- und Kraftstöße. f) Geben Sie die Drehgeschwindigkeiten der Körper an. c) Geben Sie für die prismatische Scheibe und die Kreisscheibe jeweils die Impulsbilanzen in Normalenrichtung und die Drallbilanzen an. d) Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge für die Schwerpunktsgeschwindigkeiten in Normalenrichtung. f = = f = = g) Wie groß sind die Normalengeschwindigkeiten im Kontaktpunkt vor und nach dem Stoß? k p, fl = k p, l = k p, fl = k p, l = h) Bestimmen Sie die aus dieser Messung resultierende Stoßzahl q. q = k l = k l =