Aufgabe 1 (7 Punkte) Prüfung Optimierung dynamischer Systeme ( 6) = lim p. Techn. Mechanik & Fahrzeugdynamik

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1 Techn. Mechanik & Fahrzeugdynamik Optimierung Prof. Dr.-Ing. habil. Hon. Prof. (NUST) D. Bestle 8. September 7 Aufgabe (7 Punkte) Die Ableitung der Funktion f ( p) p 5sin p soll mithilfe des Vorwärtsdifferenzenverfahrens bestimmt werden. Familienname, Vorname Prüfung Optimierung dynamischer Systeme Matrikel-Nummer Fachrichtung Die Prüfung umfasst 7 Aufgaben auf 6 Blättern.. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden. 5. Zugelassene Hilfsmittel: Fachliteratur, eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet sein! 6. Bearbeitungszeit: 9 min 7. Unterschreiben Sie die Prüfung bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. a) Machen Sie zunächst die Ableitung der Funktion am Punkt p 6 durch eine Tangente in diesem Punkt sichtbar. b) Stellen Sie das Ergebnis einer numerischen Vorwärtsdifferentiation mit einer Parameterstörung p 4 an der Stelle p 6 zeichnerisch dar. c) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion an der Stelle p 6 analytisch. f ( 6). d) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion mit Vorwärtsdifferentiation an der Stelle p 6 mit einer Parameterstörung p (Unterschrift) f ( 6) e) Welcher Effekt führt bei der numerischen Differentiation auch für Fehlern? lim p zu Gesamtpunktzahl: 7 zum Bestehen erforderlich: 36 Punkte Note

2 Aufgabe (5 Punkte) Für den Kauf einer Kamera steht ein maximales Budget von 3 Euro zur Verfügung. Eine Recherche ergibt für die führenden Modelle nebenstehende Preise P i und jeweilige Bewertungen W i, wobei die ideale Kamera % erreichen würde. a) Formulieren Sie ein sinnvolles Optimierungsproblem: Entwurfsvariable: Entwurfsziele: Nebenbedingung: b) Tragen Sie alle Angebote in den Kriterienraum ein und bezeichnen Sie die Punkte jeweils durch den Index i der entsprechenden Kamera. i Wi in [%] Pi in [ ] 93, , 5 9,8 6 9, 7 89,7 8 89, ,5 c) Machen Sie die Nebenbedingung im Kriterienraum sichtbar. d) Welche Kaufoptionen sind optimal? { } i e) Führen Sie eine Dominanzsortierung aller zulässigen Angebote entsprechend dem genetischen Mehrkriterienoptimierungsalgorithmus NSGA-II durch. F { } { }, F, F 3 { }, F { } 4 T f) Zeichnen Sie die utopische Lösung f W P unter Beachtung aller zulässigen Angebote in den Kriterienraum ein. g) Wie lautet die Ersatzgütefunktion für die Distanzmethode mit relativen Abweichungen von der utopischen Lösung unter Verwendung der euklidischen Norm? i W i W P P ui + W P ui w Pi wwi i Wi + W P + P ui + W P u i i w P i w W + W P h) Machen Sie das Ersatzkriterium im Kriterienraum sichtbar und bestimmen Sie die optimale Lösung im Sinne dieses Kriteriums. i

3 Aufgabe 3 ( Punkte) Der Gradient der Funktion p p f ( p ) ( p + p ) soll mithilfe des Automatischen Differenzierens berechnet werden. a) Erstellen Sie zunächst den Funktionsgraphen mit geeigneten Elementarfunktionen und Kanten. c) Erstellen Sie einen vollständigen Graphen zur Berechnung von f im Vorwärtsmodus des Automatischen Differenzierens. d) Wie lautet der Gradient in Abhängigkeit der Eingangsvariablen? b) Schreiben Sie jeweils die entsprechenden partiellen Ableitungen der Elementarfunktionen an die Kanten des obigen Funktionsgraphen. f

4 Aufgabe 4 ( Punkte) Ein Optimierungsproblem mit zwei Entwurfsvariablen lautet in Standardform p 7 min ( p 5sin p + p ) mit P p 8, p p 4 p P p p R 5 p f ( p) g( p) h( p) a) Nebenstehendes Bild zeigt die Höhenlinien der zu minimierenden Funkti- f ( p, p ). Berechnen Sie die Funktionswerte an folgenden Stellen on f (,), f (5,) b) Zeichnen sie alle Nebenbedingungen in nebenstehendes Bild ein. c) Bestimmen Sie graphisch die Lösung p * des Optimierungsproblems. d) Welchen Status haben die Nebenbedingungen am Lösungspunkt p *? NB h h h 3 g verletzt aktiv inaktiv

5 Aufgabe 5 ( Punkte) Das Minimum der Funktion f p + p soll durch einen PSO-Algorithmus mit zwei Schwarmmitgliedern gefunden werden. Mit der Entwicklungsgleichung i ( ν ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),5 i ν ν r PB i ν ν r GB i ν v v p p p p i i sollen aus Entwürfen der vierten Generation die der fünften Generation erzeugt werden a) Welches sind die in den ersten vier Generationen individuell gefundenen besten Lösungen? (4) p PB, p (4) PB b) Welcher ist der bisher beste vom Schwarm gefundene Entwurfspunkt? p (4) GB c) Bestimmen Sie den Mutationsvektor beider Schwarmmitglieder für die fünfte Generation mit den Faktoren r r 3 8. (5) v, (5) v d) Zeichnen Sie die daraus resultierenden Entwürfe Bild ein. ( 5) p und ( 5) p in das e) Welche zwei Populationsmitglieder würden bei einer Selektion für die fünfte Generation übernommen werden mit der Komma-Strategie? Plus-Strategie? f) Welche Selektionsstrategie nutzt der PSO-Algorithmus tatsächlich? Komma-Strategie Plus-Strategie g) Nennen Sie jeweils einen Vor- und Nachteil von evolutionären Algorithmen gegenüber deterministischen Optimierungsalgorithmen. Vorteil: Nachteil:

6 Aufgabe 6 (8 Punkte) Es sollen optimale Entwürfe ermittelt werden, welche f ( p ) und f ( p ) minimieren. Diese Funktionen wurden dazu an den Stellen p... p 8 ausgewertet. Aufgabe 7 (7 Punkte) Eine zu minimierende Gütefunktion lautet f 3p + p p p p. 3 a) Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion. f () b) Welche Suchrichtung liefert der Punkt p [ ] T im ersten Schritt des konjugierten Gradientenverfahrens. a) Führen Sie eine Wettkampfselektion durch, bei der zunächst nur die Funktionswerte der Funktion f bewertet werden. Wettkampf unentschieden bzw. Gewinner p4 p6 p p8 b) Führen Sie eine Wettkampfselektion durch, wenn jeweils der im Sinne f f, f dominierende Entwurf gewinnt. des Vektorkriteriums [ ] Wettkampf unentschieden bzw. Gewinner p3 p7 p5 p8 c) Markieren Sie zunächst die Abschnitte, welche lokal Pareto-optimal sind. s () c) Führen Sie ausgehend von () s durch. p ( α), f ( α ), f ( α ) Notwendige Bedingung. Ordnung: () p [ ] T eine Liniensuche entlang Minimierer: α * d) Welcher Abschnitt ist im dargestellten Bereich global Pareto-optimal?