Übungsaufgaben zu Mathematik 2

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1 Ü17 FH-Studiengang Angewandte Elektronik, SS 018 Übungsaufgaben zu Mathematik 6. Differentialrechnung in mehreren Variablen 11. (a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte (1,, 1), (1,1,1) und (3,,0) geht, in der Form z = f(,), wobei die Koordinaten der gegebenen Punkte der Reihe nach die -, - bzw. z-koordinate bezeichnen. (b) Welche Lage haben Ebenen, deren Gleichung von der Form a + b = 0 mit (a,b) R \{(0,0)} ist? Kann man solche Ebenengleichungen in der Form z = f(,) schreiben? 1. Man stelle den Definitionsbereich und Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien: (a) z f (, ) (b) z g(, ) Gegeben sei die Polnomfunktion z = Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen = 0 bzw. = 0 sowie die Höhenlinien für z = z0 und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasstems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion. 14. Eine Funktion f(1,...,n) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste > 0 und alle (1,...,n) aus dem Definitionsbereich von f, für die auch (1,...,n) aus dem Definitionsbereich von f ist, gilt f(1,...,n) = r f(1,...,n). Man zeige, dass die Nachfragefunktionen von drei Waren A, B, C B pc pa A pc 5pC pa p pc 10pA pb C p homogene Funktionen vom Grad r = 0 in den Preisen pa, pb, pc sind. Man berechne weiters deren numerische Werte für pa =, pb = 1, pc = 10, erhöhe (bzw. verringere) anschließend alle Preise um 0% und vergleiche die Funktionswerte. (Anleitung: Für den Nachweis der Homogenität von A beispielsweise ist zu zeigen, dass A(pA,pB,pC) = 0 A(pA,pB,pC) = A(pA,pB,pC) gilt.) 15. Man prüfe nach, ob die Funktionen (a) f(,,z) = + (z) 1/ (für,z 0) (b) g(,) = + (c) h(,) = a b c (mit a,b,c R,, > 0) C B

2 Ü18 homogen sind. 16. Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen p(,) = c 1 (hier ist 0 < < 1) und q(,) = (c + d ) 1/ ( Arbeit, Kapital, c,d, konstant und positiv) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad r = 1 sind. 17. Für die Funktion f(,) = 1 berechne man die partiellen Ableitungen f, f und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (0,0) = (0,; 0,3). 18. Durch die Gleichung ln Q = 0, ,481 ln R 0,133 ln p 0,00067 ln t + 0,1 ln S (Q Menge, R Prokopfeinkommen, p Preis, t Zeit, S Eporte) sei eine Nachfragefunktion für Tetilien festgelegt. Man bestimme die partiellen Ableitungen Q/R, Q/p und damit die so genannten partiellen Elastizitäten (R/Q) Q/R, (p/q) Q/p der Menge nach dem Einkommen bzw. nach dem Preis. 19. Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion f(,) = sin() + cos( + ) Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen f und f für die folgenden Funktionen f(,) übereinstimmen: (a) f (, ) (b) 1 f (, ) 3 e (c) f (, ) Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch Q 1 1(,,z) 4 0 gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment p = (p,0,0) gilt 0 z 1 p (,,z). 3/ 4 ( z ) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektrische Feld gemäß E grad. 13. Die Randfläche eines Ellipsoids in Hauptlage ist durch die Gleichung z 1 a b c mit a,b,c R + gegeben. Berechnen Sie daraus die Gleichung der oberen Hälfte dieser Fläche in der Form z = f(,). Berechnen Sie weiters den Gradienten von f. In welchen Punkten des Definitionsbereiches von f ist dieser Gradient nicht definiert bzw. gleich dem Nullvektor? In welche Richtung zeigt der Gradient von f im Fall a = b? 133. Durch z = /( + ) ist eine Fläche im R 3 gegeben. Die Beschränkung von und auf die Werte = e t und = e t (t R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme dz/dt mittels der Kettenregel für mehrstellige Funktionen und mache die Probe, indem man zuerst und in z einsetzt und anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

3 Ü Mit Hilfe der Kettenregel für mehrstellige Funktionen berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion F(,) = f(g(,),h(,)) nach an der Stelle (0,0), wobei ist. f(,) = +, g(,) = cos + sin und h(,) = Man bestimme d/d für folgende implizit gegebene Kurven mit Hilfe impliziten Differenzierens: (a) /3 + /3 = 1 für 0 = 0,5 (b) = 0 für 0 = Aus der Spannung u = 30 V und der Stromstärke i = 0,0 0,5 A soll der Widerstand R = u/i berechnet werden. Wie groß ist dabei (näherungsweise) der maimale Fehler? 137. Man berechne die Ableitung von f(,) = + 4 im Punkt P0(3,) (a) in Richtung der Koordinatenachsen, (b) in Richtung von (1,1) sowie (c) in Richtung von grad f In welcher Richtung erfolgt die maimale Änderung von f(,,z) = sin(z) cos(z) vom Punkt P0(4,/4,) aus und wie groß ist sie annähernd? 139. Wo liegen die relativen Etrema der Funktion f(,) = 4( )( + 10) + 3 3? 140. Man berechne alle relativen Etremwerte der Funktion f(,) = Berechnen Sie die relativen Etrema bzw. Sattelpunkte der Funktion f: R R mit dem Funktionsterm f(,) = ( + ) + ( ). 14. Besitzt die Funktion f(,) = e + relative Etrema? 143. Man zeige, dass die Funktion f(,) = an der Stelle (0,0) einen Sattelpunkt hat, indem man einerseits das Verhalten der Funktion entlang der Schnittkurve mit der Fläche =, andererseits entlang der Schnittkurve mit der Fläche = ², und zwar jeweils beim Durchgang durch den Ursprung, betrachtet. (Hinweis: Man gehe dazu von der Parameterdarstellung (t) = t, (t) = t bzw. t², z(t) = f((t),(t)) der beiden Raumkurven aus.) 144. Gesucht ist das absolute Maimum der Funktion f(,) = (3 ) auf dem Definitionsbereich D = {(,) 0, 0, 3 }. (Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (,)-Ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maimum ist dann unter den Stellen im Inneren von D, an denen f und f zugleich verschwinden, sowie unter den Randpunkten von D zu suchen.) 145. Die Produktionskosten eines Monopolisten für die Herstellung zweier Güter A und B mögen K(1,) = betragen, die beiden Nachfragefunktionen seien

4 Ü0 gegeben durch p1(1) = 8 31 und p() =. Man maimiere den Gewinn des Monopolisten und berechne die Produktpreise im Gewinnmaimum Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion 1 1 f (1, ) 5 (NB) beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch G(1,,) = p0 1p1 p gegeben. Man maimiere den Gewinn für die Preise p0 =, p1 = 1, p = 8 unter Berücksichtigung der Nebenbedingung (NB) mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren und ermittle die im Gewinnmaimum benötigten Faktormengen 1,, die Produktmenge sowie den Unternehmergewinn G Man leite die unendlichen Reihen für sin() und cos() durch Entwicklung der beiden Funktionen in eine Talorreihe mit dem Entwicklungspunkt 0 = 0 her Gesucht ist die Talorentwicklung der Funktion f() = e sin() mit dem Entwicklungspunkt 0 = 0 (bis zur fünften Potenz einschließlich) Man berechne die Talorreihe der Funktion f() = 1/ mit dem Entwicklungspunkt 0 = sowie den Konvergenzradius dieser Reihe Unter Verwendung der Talorreihen für sin() und cos() und gliedweises Differenzieren und Integrieren weise man nach, dass (sin()) = cos() und sin( )d co() C, CR Man approimiere die Funktion f() = 8( + 1) 3/ im Punkt 0 = 0 durch eine lineare bzw. quadratische Polnomfunktion. Wie groß ist jeweils der Fehler? 15. Wie viele Glieder der Talorreihe von 1 + muss man mindestens berücksichtigen, damit der Fehler, wenn man nur diesen Teil der Talorreihe auswertet, für alle [0,1] sicher kleiner als 0.05 bleibt? 153. Man entwickle 1/(1-)² in eine Talorreihe mit dem Entwicklungspunkt 0 = 0 und berechne damit den Wert der unendlichen Reihe 1 k k 154. Wie weit muss man in der Reihendarstellung k e für = 1 summieren, damit die k0 k! Abweichung dieser Summe von e kleiner als 10-6 / ist? 155. Bestätigen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion f() = mit a = und b = 5 (Skizze) Man approimiere die Funktion k=1

5 Ü1 f(,) = cos( + ) + ( 1) ep( ) im Punkt (0,0) durch eine lineare bzw. quadratische Polnomfunktion Man bestimme die quadratische Approimation der Funktion im Entwicklungspunkt (1,0). f (, ) ( 1) e