Fehlerabschätzung für Taylorpolynome der e-funktion

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1 Fehlerabschätzung für Talorpolnome der e-funktion f() = e R () = e g() = Wir approimieren die Funktion f() = e durch g() = +! +! und schätzen den Fehler R() auf dem Intervall [,] ab. Sei also e = +! +! + R() wir leiten beide Seiten ab: = e = + + R () e = + R () R () e = R () =. Aus einer Abschätzung für R () auf dem Intervall [,] leiten wir eine Abschätzung für R() her. Es ist R () < = (beachte R () = ) R () < = (beachte R () = ) R () < = (beachte R() = ) R() <. Beispielhafte Begründung für: R () = R () R () verläuft durch den Ursprung und hat eine Ableitung (nämlich R ()), die größer als ist. R () steigt also stärker als = an, verläuft daher oberhalb von =, es gilt daher R (). k() =! R() k() = Aufg. Schätze den Näherungsfehler R() für das Talorpolnom 4. Grades (5. Grades, n-ten Grades) ab, das die e-funktion approimiert. Brook Talor (685-7)

2 Fehlerabschätzung (durch Integration) für Talorpolnome der e-funktion. Wir approimieren die Funktion f() = e durch g() = +! +! und schätzen den Fehler R() auf dem Intervall [,] ab. f() = e Sei also e = +! +! + R() Wir leiten beide Seiten ab: e = + + R () e = + R () g() = ++ e = R () - -. Aus einer Abschätzung für R () auf dem Intervall [,] leiten wir eine Abschätzung für R() durch Integration her. R () < = (beachte R () = ) R () = e R () < = (beachte R () = ) R () < = (beachte R() = ) R() < Begründung für den ersten Übergang: R () < = (rechte Grenze, Integrationsvariable wird umbenannt) dt R (t) dt < R () < dt = (beachte R () = ) Aufg. Schätze den Näherungsfehler R() für das Talorpolnom 4. Grades (5. Grades, n-ten Grades) ab, das die e-funktion approimiert.

3 Talorpolnome und Talorreihen Die bestmögliche lineare Approimation einer Funktion an einer Stelle ist die Tangente. Bessere Näherungen sind durch Parabeln zu erzielen. Die Krümmung der Funktion an einer Stelle wird durch ganzrationale Funktionen höheren Grades - den Talorpolnomen - besonders gut erfasst. Soll die ganzrationale Funktion vom Grad n p n () = a +a +a a n n im Funktionswert und den ersten n Ableitungen an der Stelle = mit der Funktion f übereinstimmen, f() = p n () = a ; f () = p n() = a ; f () = a ; f () = a ;... ; f (n) () = n!a n so erhalten wir das n-te Talorpolnom: p n () = f()+ f ()! + f ()! f(n) () n! Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Fehler f() p n () abzuschätzen. n Für Funktionen, die beliebig oft (stetig) differenzierbar sind, eistiert eine Talorreihe, z. B.: e = ++! ! +... sin = + 5 5! ! cos =! + 4 4! ! + = Talorreihen können differenziert, integriert, multipliziert und substituiert werden: (e ) = e, (sin) = cos Mit der Reihe für e erhalten wir e = + + 4! ! +... e = + 4! ! +... Das vielfältige Verwenden der Talorreihen in Grenzwert-Berechnungen, Beweisen, DGLn, Verallgemeinerungen im Kompleen oder Abschätzungen in der Phsik liegt außerhalb der Schule. SchülerInnen dürfen sich aber an der math. Ästhetik dieser Reihen erfreuen und an der Erkenntnis, dass sich transzendente Funktionen (z.b. e, sin) durch einfache und regelmäßige Funktionen beliebig genau approimieren lassen. Die obigen Talorpolnome sind gute Näherungen für f in der Umgebung von =. Für eine Näherung an der Stelle = a wird f verschoben, g() = f(+a), das Talorpolnom für g (beachte g() = f(a), g () = f (a) usw.) wird sodann um a in umgekehrte Richtung verschoben. Ergebnis: p n () = f(a)+ f (a)! ( a)+ f (a)! ( a) f(n) (a) n! ( a) n

4 Talorentwicklung von f() = 8e Ordne den Graphen die Funktionen zu. f () = 8 f () = 8 8 f () = f 4 () = f 5 () = f 6 () = f 7 () = f 8 () =

5 Fehlerabschätzung für die Approimation mit Talorpolnomen. Wir approimieren die Funktion f() = e durch g() = +! +! und schätzen den Fehler R() auf dem Intervall I = [,] ab. f() = e Sei also e = +! +! + R() Wir leiten beide Seiten ab: e = + + R () g() = ++ e = + R () f () = e = R () - -. Aus einer Abschätzung für R () auf dem Intervall I leiten wir eine Abschätzung für R() durch Integration her. R () < = R () < = R () < = R() < Allgemeiner: Sei f() = a +a +a +R() (R() = R () = R ()) = R () = f () Mit der Abschätzung (auf dem Intervall I) c f () c, d.h. c R () c, folgt c R() c. Wird f() durch ein Polnom.Grades approimiert... n = I k() = c R() k() = c 5

6 Optimale Approimation durch Talorpolnome, Fehlerabschätzung Ist f() in einer Umgebung von a (n+)-mal differenzierbar, so approimiert das n-te Talorpolnom p n () = f(a)+ f (a)! ( a)+ f (a)! ( a) f(n) (a) n! f an der Stelle a besser als jedes andere Polnom n-ten Grades. ( a) n Kann auf einer Umgebung von a die (n+)-te Ableitung durch c f (n+) () c abgeschätzt werden, so liegt die Abweichung f() p n () zwischen c (n+)! ( a)n+ und c (n+)! ( a)n+. Für die Approimation mit der Tangentenfunktion f() = f(a)+f (a)( a)+r() bedeutet dies: R() ( a) ma a z f (z) Die Talor-Entwicklung n-ten Grades einer Funktion f setzt sich zusammen aus dem Talor-Polnom n-ten Grades und dem Restglied: f() = p n ()+r n (). Für das Restglied r n () gilt: Ist die Funktion f (wenigstens) (n+)-mal auf [a, ] stetig differenzierbar, so gibt es ein b [a, ] mit f() = p n () + f(n+) (b) (n+)! ( a) n+ und f() = p n () + n! a ( t) n f (n+) (t)dt. Bestätige durch partielle Integration: f() = f()+ f ()+ e = ++ + ( t) f (t)dt ( t) e dt 6