Mathematik 3 für Informatik

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Bella Grosse
vor 6 Jahren
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1 Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls <, falls > und f ) =. ln, falls a) Skizzieren Sie die Graphen von f und f.... b) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim f i ) und lim + f i ) für i =,. lim f ) = und lim + f ) = lim f ) = lim + f ) = 0 durch Einsetzen von = in die jeweiligen Funktionsgleichungen für < und für >. c) Sind die Funktionen f und f stetig an der Stelle =? f ist unstetig, da lim + f ) = 0 f ) =. f ist stetig, da lim f ) = lim + f ) = f 0) = a) Für welche R sind die folgenden Funktionen deniert? i) y = f) = + e / ii) y = f) = ln + ) i) e / ist für alle 0 deniert und > 0. Damit kann der Nenner + e / nie 0 werden, d. h. f) ist deniert für alle R \ {0}. ii) Damit die Wurzel deniert ist, muss gelten + 0. Damit der ln deniert ist, muss gelten + > 0 + > + > >. Also ist y = f) für ; ) deniert. b) Bestimmen Sie für beide Funktionen aus a) jeweils die Funktionsgleichung und den De- nitionsbereich der Umkehrfunktion f. Umstellung der Funktionsgleichung nach : ) i) y = = + +e / y e/ = y e/ = ln = y ln ), y d. h. es ist f ) = ln ). Damit ln ) deniert ist, muss gelten > 0 > 0 < <. Damit der Kehrwert deniert ist, muss zudem ln ) 0 sein. Damit ist f ) deniert für 0; ) \ { } = 0; ), ). ii) y = ln + ) e y = + e y + = + + = e y + ) = e y ) + e y + = e y + e y + = e y + e y + = e y + e y. Also ist f ) = e + e. Diese Funktion ist deniert für R.

2 . Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach auf. a) 6 = = 4 6 3) = = 4 = log 4 = b) = = 3 = = 9 3 = = 6 ) = = 0 = 7 ± = 7 ± 4 = 3 oder =. Im ersten und 3. Umformungsschritt wurden jeweils beide Seiten der Gleichung quadriert. Dies ist keine Äquivalenzumformung, sondern gewährleistet nur, dass jede Lösung der linken Gleichung auch Lösung der rechten Gleichung ist, aber nicht umgekehrt symbolisiert durch den Implikationspfeil ). Damit wurde gezeigt: Wenn die Ausgangsgleichung löst, dann muss gelten = 3 oder =. Aber es ist nicht gesichert, dass = 3 und = tatsächlich Lösungen sind. Dazu muss noch die Probe durch Einsetzen gemacht werden: Für = 3 erhält man = = = 9 = 3, d. h. = 3 ist tatsächlich Lösung. Für = erhält man = 4 + = 4 + = 9 3, d. h. = ist keine Lösung der Ausgangsgleichung. Somit ist = 3 die einzige Lösung. c) = 0 Mit y = > 0 und = ) = y erhält man y y = 0 y = ± ) + = ± 9 = ± 3 4 Man hat also zwei Lösungen y = und y =. Da y < 0, gibt es kein mit = y. Somit liefert nur y = eine Lösung der Ausgangsgleichung: = = log =. d) 3 3 = 4 Umformung der linken Seite mit den Rechenregeln für Potenzen ergibt 3 3 = /3 3/ 6 = = 6/ = 3 Somit wird die Gleichung zu /3 = 4 = 4 3 = 64 = 8 = 8 kommt als Lösung nicht in Frage, da die linke Seite der Gleichung nur für > 0 deniert ist) ) e) log = + 3 log Hier wird die linke Seite mit den Regeln für Potenzen und Logarithmus vereinfacht: ) log = log 33 log 3 ) = 3 log 3 log + log / + log /3 ) = 3 log / log log 3 log = 3 log log log 3 log = 3) log = 3 log Nun wird die Gleichung zu 3 log = + 3 log 3 3) log = log = = =.

3 4. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen und geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie dabei benutzt haben. a) f) = ln, b) f) = cos + ) a) mit der Produktregel: f ) = / ln + = ln + = b) mit der Kettenregel: f ) = sin + ) = sin + ), c) f) = ln cos + ) ln + Mit der Produktregel und der Kettenregel für den. Faktor mit innerer Ableitung ): f ) = cos + ) + ln sin + )) = cos+) sin + ) ln, d) f) = e sin ) +4 Mit der Quotientenregel, der Produktregel im Zähler und der Kettenregel für den Faktor v = sin ) v = cos + ): ) u v = e sin ) u v) = u v + u v = e sin ) + cos + ) und damit f ) = e. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. ) sin ) + cos + ) + 4) e sin ) + 4) Mit der Regel von l'hospital erhält man bei jeweils zweimaliger Anwendung in c) und d)) a) lim 0 e cos = lim 0 e + sin = + 0 =, ln b) lim = lim + /. Jetzt ist der Grenzwert im Zähler gleich 0, während der Grenzwert im Nenner immer noch 0 ist. Es folgt, dass der Grenzwert des Quotienten nicht eistiert und stattdessen eine Polstelle vorliegt. + 4 c) lim sin π = lim π cos π = lim π sin π = π sin π = π, d) lim e = lim e = lim e = 0

4 6. Sei f) = + 4. b) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f ). f) = / + f ) = / + ) =. c) Geben Sie die Gleichung für die Tangente T ) an der Stelle 0 = an und zeichnen Sie diese in den Graphen aus a) ein. Mit f) = + 4 = 3 und f ) = = erhält man die Tangente T 0) = 3 + ). a) Skizzieren Sie den Graphen von f im Bereich 0 <. Man erkennt, dass die Tangente T ) die Achse bei = 4 schneidet. Die dortige Tangente T ) verläuft in der Nähe von sehr dicht am Graphen von f), so dass deren Nullstelle schon eine gute Näherung für eine Nullstelle von f) ist. d) Bestimmen Sie, so dass T ) = 0 gilt mit der Tangente aus c). T ) = 0 ) = 3 = 3 = 4. e) Geben Sie die Gleichung für die Tangente T ) an der Stelle an und berechnen Sie, so dass T ) = 0 gilt. Mit f4) = = und f 4) = = = erhält man T ) ). 8 3 Es folgt ) = 0 3 4) = 8 4 = 8 3 = 4 = 4 4 = 3. f) Stellen Sie die Rekursionsformel für das NewtonVerfahren zur Berechnung von Näherungslösungen der Gleichung f) = 0 auf. Die Rekursionsformel ist mit Hilfe von b)) n+ = n f n) f n ) = n n + n 4 n n = n / n + n 4 n 3/ n Zur Auösung des Doppelbruchs wurde mit erweitert dieser Schritt ist nicht zwingend notwendig, er dient der schöneren Darstellung). g) Berechnen Sie mit dem NewtonVerfahren Näherungslösungen und, wenn der Startwert 0 = ist. = 0 / / 0 und = / + 4 3/ = + 4 =, 0, = +3 = 4 = / + 4 3/ = 4 4/ / = 4 8 = 4 7, = 3. Die Werte stimmen mit den in d) und e) berechneten und überein, was nach der Konstruktion des NewtonVerfahrens klar ist.

5 7. Sei f) = a) Bestimmen Sie alle lokalen Etremwerte und alle Wendepunkte von f. Es ist f ) = = 0 = ± +, d. h. f hat die Nullstellen = 3 und = + 3. Mit f ) = ist f ) = 3 < 0 und f ) = 3 > 0. Es folgt, dass f) an der Stelle ein lokales Maimum und bei ein lokales Minimum hat. Die zugehörigen Funktionswerte sind Berechnung mit Taschenrechner) f ), 80 und f ), 3. Weiter ist f ) = ) = 0 = mit f ) = f ) 0. Mit f) = 3 hat y = f) im Punkt ; f)) = ; 3) einen Wendepunkt. Weitere lokale Etrema und Wendepunkte gibt es nicht, da f ) und f ), keine weiteren Nullstellen haben. b) Bestimmen Sie alle Teilintervalle, auf denen f streng) monoton wachsend, streng) monoton fallend, konve bzw. konkav ist. Zwischen den beiden Nullstellen und von f ist f ) < 0, für < und für > ist f ) > 0. Also ist f) auf den Intervallen ; ] = ; 3] und [ ; ) = [ + 3; ) streng monoton wachsend und auf dem Intervall [ ; ] = [ 3; + 3] streng monoton fallend. Weiter ist f ) < 0 für < und f ) > 0 für >, d. h. f) ist auf dem Intervall ; ] konkav und auf [, ) konve. c) Geben Sie die Tangentengleichung von f) an den Stellen 0 = 0 sowie = 3 an. Mit f0) = und f 0) = erhält man die Tangente T ) = 0) =. An der Stelle = 3 ist f3) = = und f 3) = 9 6 =, was die Tangentengleichung T ) = + 3) = 8 liefert.

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