Wirtschaftsmathematik. Studienskript.

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1 y y = f() F F3 a F b Wirtschaftsmathematik. Studienskript. Betriebswirtschaftslehre (B.A.) BWMA0

2 Impressum Impressum Herausgeber: Internationale Hochschule Bad Honnef Bonn International University of Applied Sciences Fernstudium Zenostr Bad Reichenhall BWMA0. Semester Bachelor Version Nr.: Internationale Hochschule Bad Honnef GmbH Dieser Lehrbrief ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten. Dieser Lehrbrief darf in jeglicher Form ohne vorherige schriftliche Genehmigung der Internationalen Hochschule Bad Honnef nicht reproduziert und/oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

3 Wissenschaftliche Leitung Wissenschaftliche Leitung Prof. Dr. Karsten Leibold Professor Leibold studierte und promovierte an der Universität Frankfurt und sammelte anschließend umfassende Berufserfahrungen als Controlling Specialist bei der Deutschen Lufthansa und im Management sowie als Strategieberater bei Roland Berger und McKinsey. An der IUBH leitet er unter anderem das Aviation Management Department und ist in zahlreichen Logistikprojekten mit eternen Unternehmen eingebunden. Professor Leibold ist Prorektor der Internationalen Hochschule Bad Honnef Bonn. 3

4 Inhalt Inhaltsverzeichnis Wirtschaftsmathematik Wissenschaftliche Leitung... 3 Inhaltsverzeichnis... 4 Einleitung Wirtschaftsmathematik 7 Wegweiser durch das Skript... 8 Übergeordnete Lernziele...0 Weiterführende Literatur... Lektion Grundlagen der Analysis 3. Arithmetische und algebraische Grundlagen...4. Summen und Produkte Gleichungen Ungleichungen... 3 Lektion Funktionen 35. Einführung Darstellungsformen Eigenschaften von Funktionen Grundlegende Funktionstypen Ausgewählte ökonomische Anwendungen

5 Inhaltsverzeichnis Lektion 3 Differenzialrechnung I Differenzen- und Differenzialquotient Differenzieren Höhere Ableitungen Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung Lektion 4 Differenzialrechnung II: Anwendungen Marginalanalyse Kurvendiskussion Cournot-Punkt...04 Lektion 5 Multivariate Funktionen 5. Lineare und nicht lineare multivariate Funktionen Partielle Ableitungen Etremwertbestimmung Etremwertbestimmung unter Nebenbedingungen...0 5

6 Inhalt Lektion 6 Folgen und Reihen 5 6. Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische und geometrische Reihen Finanzmathematische Anwendungen...33 Lektion 7 Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral...5 6

7 y Einleitung Wirtschaftsmathematik

8 Einleitung Wegweiser durch das Skript Herzlich willkommen! Dieses Skript enthält den gesamten Lernstoff Ihres Kurses und bildet damit die inhaltliche Grundlage Ihres Fernstudiums. Ergänzend zum Skript stehen Ihnen zahlreiche weitere Medien wie Podcasts, Vodcasts oder Web Based Trainings (WBT) zur Verfügung, mit deren Hilfe Sie sich Ihren individuellen Lern-Mi zusammenstellen können. Auf diese Weise können Sie sich den Stoff in Ihrem eigenen Tempo aneignen und dabei auf lerntypspezifische Anforderungen Rücksicht nehmen. Die Inhalte sind nach didaktischen Kriterien in Lektionen aufgeteilt, wobei jede Lektion aus mehreren Lernzyklen besteht. Jeder Lernzyklus enthält jeweils nur einen neuen inhaltlichen Schwerpunkt. Auf diese Weise können Sie neuen Lernstoff schnell und effektiv zu Ihrem bereits vorhandenen Wissensgrundstock hinzufügen. Am Ende eines jeden Lernzyklus finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. Mit Hilfe der Selbstkontrolle können Sie eigenständig und ohne jeden Druck überprüfen, ob Sie die neuen Inhalte schon verinnerlicht haben. Die Lösungenzu den Fragen finden Sie auf der Lernplattform CLIX. Wenn Sie eine Lektion komplett bearbeitet haben, können Sie Ihr Wissen in CLIX unter Beweis stellen. Über automatisch auswertbare Fragen erhalten Sie ein direktes Feedback zu Ihren Lernfortschritten. Die Wissenskontrolle gilt als bestanden, sobald Sie mindestens 80 % der Fragen richtig beantwortet haben. Sollte das einmal nicht auf Anhieb klappen, können Sie die Tests so oft wiederholen, wie Sie wollen. Es gibt keinerlei Beschränkungen und die Ergebnisse der Wissenskontrolle haben keinen Einfluss auf Ihre Endnote. Sie können also ganz unverkrampft lernen, üben und Ihre Fortschritte elektronisch überprüfen. Haben Sie die Wissenskontrolle für sämtliche Lektionen gemeistert, gilt der Kurs als abgeschlossen. Sobald Sie alle Kurse eines Moduls abgeschlossen haben, können Sie sich für die Abschlussklausur anmelden. 8

9 Wegweiser durch das Skript Im Skript werden Sie immer wieder auf Icons stoßen, die auf zusätzliches Material hinweisen oder Ihnen die Orientierung erleichtern. Diese Icons umfassen: Zu diesem Thema gibt es einen Podcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX. Zu diesem Thema gibt es einen Vodcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX.? B Prüfen Sie Ihren Wissensstand! Hier finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. So wird's gemacht! Hier finden Sie ein Beispiel. e Dieser Tet ist auch als E-Book erhältlich. Für diese Lektion gibt es ein WBT. Sie finden es auf der Lernplattform CLIX. CLIX Sie haben die Lektion fertig bearbeitet. Nun ist es an der Zeit, auf der Lernplattform CLIX die Wissenskontrolle zu meistern und sich für die Klausur zu qualifizieren. Und jetzt viel Erfolg und SpaSS beim Lernen! 9

10 Einleitung Übergeordnete Lernziele Mathematik gehört im Bereich der Betriebswirtschaftslehre zu den Grundlagenfächern. Sie stellt als Querschnittsfunktion fächerübergreifend quantitative Methoden bereit. Diese Grundlagen werden in sehr vielen Kursen und Modulen benötigt, z. B. für die Investitions- und Finanztheorie, Mikro- und Makroökonomie, Logistik und Marketing. Die Wirtschaftsmathematik ist für Betriebs- und Volkswirtschaftler somit ein hilfreiches Werkzeug, ohne jedoch eine Kerndisziplin der Betriebswirtschaftslehre zu sein. Diesem Verständnis folgend, konzentriert sich dieser Kurs primär auf die ökonomische Anwendung von mathematischen Methoden und verzichtet weitestgehend auf die Führung mathematischer Beweise. Anfangs wiederholen wir mathematische Grundlagen, um für das Selbststudium gerüstet zu sein. Wir besprechen folgende Themenschwerpunkte: Grundlagen der Analysis, Funktionen, Differenzialrechnung: Multivariate Funktionen, Folgen und Reihen und Integralrechnung. Bei Durchsicht des Curriculums werden Sie feststellen, dass ein Großteil des hier behandelten Stoffes bereits Bestandteil Ihrer mathematischen Schulausbildung bis zum Abitur war. Neu ist die ökonomische und betriebswirtschaftliche Anwendung der jeweiligen Methode. Verstehen Sie diesen Sachverhalt vor allem als Motivation, sich dem Thema Mathematik zu widmen. Erfahrungsgemäß gehört sie zu den Fächern innerhalb eines BWL-Studiums, das vielen Studierenden Kopfschmerzen bereitet. Das ist gänzlich unnötig. Trotzdem erfordert das Fach gerade von Studierenden mit weniger ausgeprägter Vorliebe für mathematische Themen eine intensive Beschäftigung mit den Inhalten. 0

11 Weiterführende Literatur Weiterführende Literatur Falls Sie tiefer einsteigen wollen, empfehlen wir die folgende Fachliteratur: Ohse, D. (004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Bd.. Analysis, 6. Auflage, Vahlen, ISBN Sydsaeter, K., Hammond, P.J. (008): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Auflage, Pearson Studium, ISBN

12

13 c Lektion Grundlagen der Analysis Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... wie Sie die grundlegenden arithmetischen und algebraischen Regeln sicher und fehlerfrei anwenden. wie Sie mit Summen- und Produktzeichen arbeiten. wie Sie Gleichungen und Ungleichungen umformen und auflösen. wie Sie Gleichungssysteme lösen.

14 Lektion. Grundlagen der Analysis. Arithmetische und algebraische Grundlagen Bei den arithmetischen und algebraischen Grundlagen handelt es sich primär um Themengebiete, die Sie in Ihrer Schullaufbahn kennengelernt haben. Sie beinhalten beispielsweise grundlegende Rechenregeln, die Verwendung unterschiedlicher Zahlenräume, das Arbeiten mit sowie das Lösen von einfachen algebraischen Ausdrücken oder das Arbeiten mit Variablen, Konstanten und Parametern. Zahlenbereiche Durchzuführende Rechenoperationen können in unterschiedlichen Zahlenbereichen stattfinden. Die folgende Abbildung veranschaulicht die typischen Zahlenbereiche, die im Rahmen betriebswirtschaftlicher Anwendungen relevant sind. Zahlenbereiche betriebswirtschaftlicher Anwendungen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Wir unterscheiden die folgenden Zahlenräume: Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen wird typischerweise mit dem Buchstaben bezeichnet und umfasst die Zahlen,,3,4,5, Die formale Schreibweise ist = {,,3, } Menge der natürlichen Zahlen

15 Grundlagen der Analysis Menge der ganzen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen und enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch die Zahl 0 sowie negative ganze Zahlen. Zur Bezeichnung wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen m Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch der Form q = n darstellen lassen, wobei die Zahlen im Nenner aus dem Bereich der ganzen Zahlen und im Zähler aus dem Bereich der natürlichen Zahlen stammen ( m Z, n N). Durch die Verwendung rationaler Zahlen lassen sich im Gegensatz zu natürlichen oder ganzen Zahlen auch Zahlen mit Dezimalstellen darstellen. Rationale Zahlen werden mit den Buchstaben bezeichnet. Die formale Denition lautet: Menge der rationalen Zahlen Menge der irrationalen Zahlen Ähnlich wie bei rationalen Zahlen, sind die irrationalen Zahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie Dezimalstellen aufweisen. Im Unterschied zu rationalen Zahlen lassen sich irrationale Zahlen aber nicht als Bruch darstellen. Beispiele für irrationale Zahlen sind z.b. π, e, 5

16 Lektion Die folgende Darstellung zeigt die Herleitung der irrationalen Zahl Über den Satz des Pythagoras lässt sich die Länge der Kante c herleiten; diese beträgt Projiziert man die Länge der Kante c auf den Zahlenstrahl, so erhält man den Wert der irrationalen Zahl Auf den Nachweis, dass sich dieser Wert nicht als Bruch darstellen lässt, wird an dieser Stelle verzichtet. Beispiel für die irrationale Zahl c Menge der reelle Zahlen Die Menge der reellen Zahlen wird durch die Vereinigung aller rationalen und irrationalen Zahlen gebildet und ist somit deniert als Für das betriebswirtschaftliche Studium ist die Menge der reellen Zahlen der wichtigste und am häugsten verwendete Zahlenbereich. Menge der komplee Zahlen = { isteinerationale oder irrationalezahl } Der Vollständigkeit halber soll noch kurz die Menge der kompleen Zahlen erwähnt werden, obwohl diese für betriebswirtschaftliche Anwendungen von untergeordneter Bedeutung sind. Komplee Zahlen werden in der Form z = + iy dargestellt, wobei und y reelle Zahlen sind und es sich bei i um die so genannte imaginäre Einheit handelt, für die gilt i =. Für die Bezeichnung der kompleen Zahlen wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Grundlegende Rechenoperationen und Begriffe Die grundlegendsten Rechenoperationen sind die Addition und die Subtraktion. Sie werden auch als Rechenarten erster Stufe bezeichnet. Die Addition eines Summanden a mit dem Summanden b bildet eine Summe s: a + b = s Die Subtraktion eines Subtrahenden b von einem Minuenden a bildet eine Differenz d: a b = d Als Rechenarten zweiter Stufe werden die Multiplikation und die Division bezeichnet. 6

17 Grundlagen der Analysis Ein Faktor a multipliziert mit einem Faktor b ergibt als Ergebnis das Produkt p: a b = p Dividend a (Zähler) geteilt durch Divisor b (Nenner) ergibt den Quotienten q: Beim Ausführen von Rechenoperationen erster und zweiter Stufe muss berücksichtigt werden, dass innerhalb eines Terms immer die Multiplikation und Division zuerst ausgeführt werden müssen, bevor das Ergebnis einer Summe oder Differenz bestimmt wird: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: = = 9 Für Divisionen und Multiplikation mit der Zahl 0 ist Folgendes zu beachten: Ist innerhalb eines Produkts ein Faktor gleich 0, dann ist auch das Produkt gleich 0. a 0 = 0 Wenn innerhalb eines Quotienten der Zähler gleich 0 ist, dann ist der ganze Quotient gleich 0. 0 = 0 a Falls innerhalb eines Quotienten der Nenner den Wert 0 annimmt, dann ist der Quotient nicht definiert. a istnicht definiert 0 Wenn innerhalb eines mathematischen Ausdrucks Klammern verwendet werden, dann sind die Klammerwerte zuerst zu bestimmen; die restlichen Ausdrücke werden dann entsprechend der Rechenhierarchie bearbeitet. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: (5 + 3) = 8 = 6 = 4 Weitere grundlegende mathematische Operationen werden durch die folgenden Gesetze geregelt: Kommutativgesetz Das Kommutativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe die Reihenfolge der Summanden bzw. innerhalb eines Produkts die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauscht werden darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert: Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a Kommunikativgesetz der Multiplikation: a b = b a Beachten Sie, dass das Kommutativgesetz nicht auf Differenzen oder Quotienten angewendet werden darf. 7

18 Lektion Assoziativgesetz Das Assoziativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe oder eines Produkts beliebige Summanden bzw. Faktoren in Klammern gesetzt werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz der Multiplikation: (a b) c = a (b c) Distributivgesetz Das Distributivgesetz besagt, dass ein Ausdruck mit einem ausgeklammerten Faktor vor einer Klammer derart erweitert wird, dass jeder Term innerhalb der Klammer mit dem gemeinsamen Faktor multipliziert wird: a (b + c) = a b + a c Grundlegende Rechenoperationen natürlicher Zahlen Eine natürliche Zahl a wird als Teiler der natürlichen Zahlen n bezeichnet, wenn es eine weitere natürliche Zahl b gibt, für die gilt: a b = n. Beispiel: Bestimmen Sie die Teiler der Zahl 4: Die Zahl 4 besitzt folgende Teiler: ; ; 3; 4; 6; 8; Natürliche Zahlen die den Teiler besitzen, werden als gerade Zahlen bezeichnet, alle anderen als ungerade. Eine natürliche Zahl, die nur durch und sich selbst teilbar ist, wird als Primzahl bezeichnet. Primzahlen sind zum Beispiel: ; 3; 5; 7; ; 3;... Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich in ein Produkt bestehend aus Primzahlen zerlegen. Diese Technik wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Beispiel: Zerlegen Sie die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren: 36 = 8 = 9 = 3 3 = ² 3 ² 75 = 3 5 = = 3 5² 9 = 46 = 3 = ² 3 40 = 70 = 35 = ² = 575 = 3 55 = 3² 75 = 3³ 5 35 = 3³ 5² 7 Wenn Sie die Primfaktoren zweier natürlicher Zahlen kennen, so können Sie einfach das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen bestimmen. Bei der Primfaktorzerlegung der beiden natürlichen Zahlen 36 und 75 aus dem obigen Beispiel kamen die gemeinsamen Primzahlen, 3 und 5 vor. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich aus dem Produkt der höchsten Potenzen sämtlicher vorkommenden Primfaktoren und ist folglich ² 3² 5² = 900. Neben dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen kann auch die Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen von Interesse sein. Sie finden den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen, indem Sie sämtliche gemeinsame Primfaktoren multiplizieren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Um beispielsweise den 8

19 Grundlagen der Analysis größten gemeinsamen Teiler der beiden natürlichen Zahlen 40 und 350 zu bestimmen, identifizieren Sie als erstes die gemeinsamen Primfaktoren; diese sind und 5 und 7. Der größte gemeinsame Teiler ist folglich 5 7 = 70. Grundlegende Rechenoperationen ganzer Zahlen Durch Erweiterung des Zahlenraumes auf negative Zahlen gibt es zusätzliche Rechenregeln, die berücksichtigt werden müssen, um Fehler zu vermeiden. Multiplizieren wir beispielsweise eine in Klammern stehende Summe mit einem negativen Faktor, so ist zu berücksichtigen, dass die einzelnen Summanden ihr Vorzeichen umkehren: c (a + b) = c a c b. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 5= = + 3 = = = 6 Multiplizieren wir zwei ganzzahlige Faktoren, ist das Ergebnis immer dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen besitzen; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Für Divisionen gilt diese Regel analog: Das Ergebnis eines Quotienten ist immer positiv, wenn der Term im Nenner und im Zähler dasselbe Vorzeichen haben; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: 53 = 5 ( 5)( 3) = 5 (4) = 8 ( 3) () = 6 4 = 4 = Grundlegende Rechenoperationen rationaler Zahlen Multiplizieren wir den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl, so ändert sich durch diese Erweiterung das Ergebnis nicht. Wenn im Zähler und Nenner eines Bruchs derselbe Faktor c vorkommt, kann der Bruch um diesen Faktor gekürzt werden. Der Wert des Bruchs ändert sich in diesem Fall nicht. a c a = c a = b c c b mitc = = = = = 4 4 9

20 Lektion Wenn zwei Brüche addiert bzw. subtrahiert werden sollen, müssen diese zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden. Einen gemeinsamen Nenner können Sie beispielsweise finden, indem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache suchen. Sobald einzelne Brüche gleichnamig sind, d. h. sie besitzen einen gemeinsamen Nenner, können die erweiterten Werte im Zähler addiert bzw. subtrahiert werden = + = + = + 5 = Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils ihre Ausdrücke im Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden = 5 = Ein Ausdruck wird durch einen Bruch dividiert, indem der Ausdruck mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert wird. a c a d a = = d : b d b c b c 4 3 : = = = Grundlegende Rechenoperationen reeller Zahlen Wird die reelle Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert, können Sie als Abkürzung eine Potenz schreiben. a a a = a n Dabei wird a als Basis und n als Eponent bezeichnet. Die Umkehroperation zum Potenzieren ist das Wurzelziehen (Radizieren). Dabei bezeichnet b den Wurzeleponenten (Radikand). n n b = a a = b Beachten Sie, dass für b nur nichtnegative Werte eingesetzt werden dürfen, solange n gerade ist. Für ungerade Wurzeleponenten darf b auch negativ sein. Beispiel: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: 0 0

21 Grundlagen der Analysis Merken Sie sich, dass a⁰ = immer gilt. Jeder Wurzelausdruck kann in eine Potenz umgeschrieben werden. Es gilt: n a = a n Für das Rechnen mit reellen Zahlen gilt eine Reihe von elementaren Regeln, die im Folgenden zusammengefasst werden. ( ) ( ) ( )( ) ( a) = a a+ b = a + ab+ b. binomische Formel a b = a ab+ b. binomische Formel a+ b a b = a b 3. binomische Formel a = ( ) a ab = ( a b) = a b = a b a = a b b a = a a = b b b ( ) ( ) Für das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln sind folgende Regeln zu beachten:

22 Lektion? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: ( 7 4) a) 0 ( 6) = b) c) 9 0 = d) 0 3 = ( ) e) 3 + ( ) ( + ) = Vereinfachen Sie die folgenden Terme: a) a { b + c [d a + (b + c)] d} = b) (4m n) (m + n)(m n) (5m + 3n) = c) (a + b) (a 3b) 4(a + b)(a b) = d) ( + 3y) ( 4y) + ( + y)( y) 0y = e) [ 3( + 4)] 5( + ) = = 3. Zerlegen Sie jeweils die Zahl im Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und kürzen Sie soweit wie möglich: a) c) 05 3 e) 5 77 = = b) = d) 05 3 = 4. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) (8a 3) (a + ) = b) ( 3) 3 = c) (m n )(m n + ) = d) (6 y)(4 5y) = e) (z 7)(z + z ) = =

23 Grundlagen der Analysis 5. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner und addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Brüche: a) a = b) = 3y 4 c) a b + 3 c d 3 = d) = e) =. Summen und Produkte Summenzeichen Das Summenzeichen wird häufig im Rahmen mathematischer Formulierungen verwendet und ist eine nützliche Kurzschreibweise für Summen. So ist es beispielsweise möglich, statt der epliziten Summe = 8 die durchaus kürzere Schreibweise i= 8 zu verwenden. Diese Summenschreibweise bedeutet nichts anderes, als dass wir für i nacheinander die Werte bis 7 einsetzen und diese einzelnen Werte aufsummieren. m ai = ak + ak+ + + am Bei der allgemeinen Schreibweise i= k bezeichnet ai das allgemeine Summenglied, i ist der Summationsinde, k und m sind die untere und obere Summationsgrenze. Für die Verwendung des Summenzeichens gelten ein paar Regeln, die im Folgenden dargestellt werden: Da die Reihenfolge, in welcher die Summenglieder ai und bi aufsummiert werden, beliebig ist, ist folgende Schreibweise zulässig: In der Summe m ( i + i) = i + m a b a b i i= k i= k i= k ist c ein konstanter Faktor, der ausgeklammert werden kann. Das bedeutet, dass er auch bei Summenschreibweise ausgeklammert werden kann. Manchmal ist es hilfreich, eine Summe aufzuspalten. Hierfür lassen wir eine erste Summe von bis l und eine zweite Summe von l + bis n laufen. n m 7 i= ( n) c a + c a + c a + + c a = c a + a + a + + a 3 n 3 m m c a = c a i i= k i= k ai = a+ a + al + al+ + al+ + + an = ai + ai i= i l n i= i= l+ 3

24 Lektion Wenn innerhalb eines Summenausdruckes eine Konstante c addiert wird, so ergibt sich die Häufigkeit des Aufsummierens aus der Ober- und Untergrenze des Summationsinde. Durch Verwendung von zwei oder mehreren Summenzeichen können auch Doppel- oder Mehrfachsummen erstellt werden. Doppelsummen sind wie folgt definiert: Für das Arbeiten mit Doppelsummen gelten die folgenden Regeln: Produktzeichen m ( i ) i ( ) a + c = a + m k+ c i= k i= k n m Beispiel m aij = a + a + + an + i= j= m n a + a + + a + n a + a + + a ( ij j ) ( ij ) m m nm ij j = j ( ) Äquivalent zum Summenzeichen gibt es auch für Produkte eine Kurzschreibweise, für die der griechische Großbuchstabe II genutzt wird. Die formelle Schreibweise ist: m ai = ak ak+ am Dabei ist i Multiplikationsinde, k und m sind die untere und obere Multiplikationsgrenze und a i ist das allgemeine Glied. a + b = a + m k+ b ij i= k j= l i= k j= l j= l m n ( ) ( ) a + c = a + m k+ n l + c i= k j= l i= k j= l m n c a = c a ij i= k j= l i= k j= l m n a = ij i= k j= l j= l i= k m n i= k j= l j= l i= k 5 i= 7 i= 3 3 i= 3 n m n m m a m a b b a i = i ij = a b = a b + a b + a b i i= j= 4 i= k 5 i n n n m ij ij ij a b = a b + a b + a b + a b + a b + a b i j 3 3 n j 4

25 Grundlagen der Analysis Für das Arbeiten mit Produkten gelten folgende Regeln: Bei dem Produkt handelt es sich um einen Spezialfall. Hier werden alle natürlichen Zahlen in bis n miteinander multipliziert. Dieses Produkt ist identisch mit n! (gesprochen n Fakultät ). n! = i = 3 n Beispiel 5 i= 5 i= 3 3 i= n i= i = 345 = 5! ( i) ( ) ( ) ( ) = = = 555 = 5 3 Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Summen: j a) = b) ( 3) 3 j= i c) ( + 4i 6) = d) i j = i= 3 m n i= j= 0 j =? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. e) =. Berechnen Sie die folgenden Produkte: a) = 4 i = i= b) = 4 i = i= 3 j 3 c) = = 3+ j j= 5

26 Lektion.3 Gleichungen Äquivalenzumformungen Unter einer Gleichung verstehen wir in der Mathematik eine Aussage, die zwei Terme gleichsetzt. Unter einem Term verstehen wir dabei entweder eine einzelne Zahl oder alternativ eine Rechenoperation. Der Ausdruck + 5 = 9 ist beispielsweise eine Gleichung, bei der die Rechenoperation +5 und die Zahl 9 gleichgesetzt werden. Oftmals sind Mathematiker bei der Arbeit mit Gleichungen daran interessiert, für welchen Wert von die Gleichung erfüllt, d. h. wahr ist. Um eine Gleichung zu lösen, verwenden wir typischerweise Äquivalenzumformungen. Dabei ist zu beachten, dass die anzuwendende Umformung auf beiden Seiten der Gleichung angewendet wird, wie das folgende Beispiel zeigt: + 5= 9 5 = 4 : = Die folgende Auflistung gibt einen Überblick über die erlaubten Rechenoperationen im Rahmen von Äquivalenzumformungen: Addition Subtraktion Multiplikation Division Eponentieren Logarithmieren = 5 + = 7 + 3= 8 3 = 5 = 4 4 = 4 5 = 0 :5 = = 5 = e 5 ln = 0 ln ( e ) = ln0 = ln0 Bitte beachten Sie, dass in der Regel nur die Multiplikation und Division mit einem Ausdruck ungleich Null eine Äquivalenzumformung darstellt. Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Genauso ist das Logarithmieren nur eingeschränkt erlaubt, da z.b. eine negative Zahl nicht logarithmiert werden darf. Neben den bereits aufgeführten sechs Rechenoperationen eistieren zwei weitere, die ebenfalls im Rahmen von Äquivalenzumformungen genutzt werden können: das Potenzieren und das Radizieren (Wurzelziehen). Allerdings müssen wir bei der Anwendung dieser beiden 6

27 Grundlagen der Analysis Operationen auf den Eponenten Acht geben. Ist der Eponent ungerade, dann lassen sich diese beiden Rechenoperationen problemlos anwenden; es handelt sich um äquivalente Umformungen. Beachten Sie: Ist der Eponent hingegen gerade, ist dies nicht der Fall! 3 Potenzieren = 3 = 8 Radizieren = = 3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung ist in ihrer einfachsten Form eine Gleichung der Form a + c = 0 D. h. die Potenz der unabhängigen Variablen ist. Eine lineare Gleichung kann eine unabhängige Variable besitzen oder mehrere. Wenn mehrere lineare Gleichungen gegeben sind und diejenigen Werte der unabhängigen Variablen gesucht werden, die simultan sämtliche Gleichungen lösen, sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem: a₁ + b₁y = c₁ a₂ + b₂y = c₂ Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann mittels einer der folgenden Methoden ermittelt werden: Additionsverfahren Gleichsetzungsverfahren Substitutionsverfahren Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden durch Äquivalenzumformungen die einzelnen Gleichungen derart angepasst, dass durch paarweise Addition oder Subtraktion von zwei Gleichungen eine der unabhängigen Variablen eliminiert wird. Die Addition der Gleichungen () und (a) liefert schließlich: Nach elementaren Umformungen resultiert somit für y der Wert. 7

28 Lektion Durch Einsetzen von y= in () oder () erhält man =7 () + = 5 = 4 : = 7 Die Lösung des Gleichungssystems lautet = 7 und y =. Gleichsetzungsverfahren Bei der Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und anschließend gleichgesetzt. Erneut soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden: + y = 5 () 4y = 3 () Beide Gleichungen werden nach aufgelöst: Anschließend werden die Gleichungen (b) und (a) gleichgesetzt: Durch Einsetzen von y = Gleichung () oder () erhalten wir erneut die zugehörige Lösung = 7. () + y = 5 : y 5 y + = ( a ) 5 y = ( b ) ( ) ( ) 4y = 3 + 4y = 3+ 4y a 5 y = 3+ 4y y 4y = y y = 9 9 y = y = 8

29 Grundlagen der Analysis Substitutionsverfahren Beim Substitutionsverfahren lösen wir eine Gleichung nach einer der unabhängigen Variablen auf; der resultierende Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. Für das obige Beispiel wird die zweite Gleichung nach aufgelöst. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir: () ( ) () ( ) () + y = 5 4y = 3 + 4y + y = 5 = 3+ 4y a in einsetzen ( y) y = y+ y = 5 9y = 9 y = Setzen wir y = Gleichung () ein, erhalten wir = 7. Quadratische Gleichungen Bei einer quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Gleichung der Form a² + b + c = 0 Um eine quadratische Gleichung zu lösen, eistieren zwei häufig verwendete Verfahren: abc-formel pq-formel abc-formel Unter Verwendung der abc-formel wird für eine quadratische Gleichung der Form a² + b + c = 0 die Lösung mittels der Formel bestimmt. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 4² + 8 = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = -3 9

30 Lektion pq-formel Die pq-formel verlangt im Unterschied zur abc-formel, dass eine quadratische Gleichung in der Normalform gegeben ist, d. h. es liegt eine quadratische Gleichung der Form vor. Die Lösung lautet in diesem Fall: ² + p + q = 0 Beispiel: Lösen Sie die Gleichung ² + = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = - Bitte beachten Sie, dass nicht jede quadratische Gleichung a + b + c = 0 auf der Menge der reellen Zahlen gelöst werden kann. Gleichungen höheren Grades? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Eine Gleichung der Form n n 4 3 a + a + + a + a + a + a + a = 0 wird allgemein als Gleichung n-ten Grades bezeichnet. Im Gegensatz zu den vorher besprochenen linearen und quadratischen Gleichungen eistieren für Gleichungen höheren Grades keine standardisierten Lösungsverfahren mehr. Stattdessen kommen Näherungsverfahren oder Methoden zum Einsatz, die einen Ausdruck n-ten Grades in seine Linearfaktoren zerlegen. An dieser Stelle soll auf die Verfahren nicht weiter eingegangen werden. Sie werden zu einem späteren Zeitpunkt im Zusammenhang mit der Suche nach Nullstellen von Funktionen besprochen. Fragen zur Selbstkontrolle. Lösen Sie die Gleichungen nach auf: a) + 3 = 6 = b) 5 + = c) 4 3 = n n = = d) + = = 0 e) 4 + ( 4) 3 = (3 5) = 30

31 Grundlagen der Analysis. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) + = = b) 5 0= 0 4 c) = = d) a (b a) b= 0 8 = = 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: a) 3 y = 4 = 4y = 8 y = b) + 6y z = 3 = y 4z = 6 y = 3 + 4y z = 8 z = c) 3y + z = 3 = 4 + 5y + z = 6 y = 3 y z = 7 z =.4 Ungleichungen Das Besondere an Ungleichungen ist, dass zwei Terme anders als bei Gleichungen mittels eines Gleichheitszeichens gleichgesetzt gegenübergestellt werden. Mittels des Verhältniszeichens <, <, >, > wird ein Größenordnungsverhältnis ausgedrückt. Die Lösung einer Ungleichung umfasst somit immer ein Intervall anstatt eines einzelnen Wertes. Um mit Ungleichungen zu rechnen, müssen wir ein paar Besonderheiten bei Äquivalenzumformungen beachten. Addition und Subtraktion erfolgen analog zu Gleichungen, d. h. ein Wert wird auf beiden Seiten der Ungleichung addiert oder subtrahiert. Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl erfolgt ebenfalls analog zum Vorgehen bei Gleichungen; beide Seiten der Ungleichung werden mit dem entsprechenden Wert multipliziert oder dividiert. Bei einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl müssen wir allerdings aufpassen: In diesem Fall ändert das Ungleichheitszeichen seine Richtung, d. h. aus einem <-Zeichen wird ein >-Zeichen und umgekehrt. Bei der Bildung eines Kehrwertes ändert sich ebenfalls die Richtung des Ungleichheitszeichens. 3

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