Wirtschaftsmathematik. Studienskript.
|
|
- Eleonora Hummel
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 y y = f() F F3 a F b Wirtschaftsmathematik. Studienskript. Betriebswirtschaftslehre (B.A.) BWMA0
2 Impressum Impressum Herausgeber: Internationale Hochschule Bad Honnef Bonn International University of Applied Sciences Fernstudium Zenostr Bad Reichenhall info@iubh-fernstudium.de BWMA0. Semester Bachelor Version Nr.: Internationale Hochschule Bad Honnef GmbH Dieser Lehrbrief ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten. Dieser Lehrbrief darf in jeglicher Form ohne vorherige schriftliche Genehmigung der Internationalen Hochschule Bad Honnef nicht reproduziert und/oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.
3 Wissenschaftliche Leitung Wissenschaftliche Leitung Prof. Dr. Karsten Leibold Professor Leibold studierte und promovierte an der Universität Frankfurt und sammelte anschließend umfassende Berufserfahrungen als Controlling Specialist bei der Deutschen Lufthansa und im Management sowie als Strategieberater bei Roland Berger und McKinsey. An der IUBH leitet er unter anderem das Aviation Management Department und ist in zahlreichen Logistikprojekten mit eternen Unternehmen eingebunden. Professor Leibold ist Prorektor der Internationalen Hochschule Bad Honnef Bonn. 3
4 Inhalt Inhaltsverzeichnis Wirtschaftsmathematik Wissenschaftliche Leitung... 3 Inhaltsverzeichnis... 4 Einleitung Wirtschaftsmathematik 7 Wegweiser durch das Skript... 8 Übergeordnete Lernziele...0 Weiterführende Literatur... Lektion Grundlagen der Analysis 3. Arithmetische und algebraische Grundlagen...4. Summen und Produkte Gleichungen Ungleichungen... 3 Lektion Funktionen 35. Einführung Darstellungsformen Eigenschaften von Funktionen Grundlegende Funktionstypen Ausgewählte ökonomische Anwendungen
5 Inhaltsverzeichnis Lektion 3 Differenzialrechnung I Differenzen- und Differenzialquotient Differenzieren Höhere Ableitungen Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung Lektion 4 Differenzialrechnung II: Anwendungen Marginalanalyse Kurvendiskussion Cournot-Punkt...04 Lektion 5 Multivariate Funktionen 5. Lineare und nicht lineare multivariate Funktionen Partielle Ableitungen Etremwertbestimmung Etremwertbestimmung unter Nebenbedingungen...0 5
6 Inhalt Lektion 6 Folgen und Reihen 5 6. Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische und geometrische Reihen Finanzmathematische Anwendungen...33 Lektion 7 Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral...5 6
7 y Einleitung Wirtschaftsmathematik
8 Einleitung Wegweiser durch das Skript Herzlich willkommen! Dieses Skript enthält den gesamten Lernstoff Ihres Kurses und bildet damit die inhaltliche Grundlage Ihres Fernstudiums. Ergänzend zum Skript stehen Ihnen zahlreiche weitere Medien wie Podcasts, Vodcasts oder Web Based Trainings (WBT) zur Verfügung, mit deren Hilfe Sie sich Ihren individuellen Lern-Mi zusammenstellen können. Auf diese Weise können Sie sich den Stoff in Ihrem eigenen Tempo aneignen und dabei auf lerntypspezifische Anforderungen Rücksicht nehmen. Die Inhalte sind nach didaktischen Kriterien in Lektionen aufgeteilt, wobei jede Lektion aus mehreren Lernzyklen besteht. Jeder Lernzyklus enthält jeweils nur einen neuen inhaltlichen Schwerpunkt. Auf diese Weise können Sie neuen Lernstoff schnell und effektiv zu Ihrem bereits vorhandenen Wissensgrundstock hinzufügen. Am Ende eines jeden Lernzyklus finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. Mit Hilfe der Selbstkontrolle können Sie eigenständig und ohne jeden Druck überprüfen, ob Sie die neuen Inhalte schon verinnerlicht haben. Die Lösungenzu den Fragen finden Sie auf der Lernplattform CLIX. Wenn Sie eine Lektion komplett bearbeitet haben, können Sie Ihr Wissen in CLIX unter Beweis stellen. Über automatisch auswertbare Fragen erhalten Sie ein direktes Feedback zu Ihren Lernfortschritten. Die Wissenskontrolle gilt als bestanden, sobald Sie mindestens 80 % der Fragen richtig beantwortet haben. Sollte das einmal nicht auf Anhieb klappen, können Sie die Tests so oft wiederholen, wie Sie wollen. Es gibt keinerlei Beschränkungen und die Ergebnisse der Wissenskontrolle haben keinen Einfluss auf Ihre Endnote. Sie können also ganz unverkrampft lernen, üben und Ihre Fortschritte elektronisch überprüfen. Haben Sie die Wissenskontrolle für sämtliche Lektionen gemeistert, gilt der Kurs als abgeschlossen. Sobald Sie alle Kurse eines Moduls abgeschlossen haben, können Sie sich für die Abschlussklausur anmelden. 8
9 Wegweiser durch das Skript Im Skript werden Sie immer wieder auf Icons stoßen, die auf zusätzliches Material hinweisen oder Ihnen die Orientierung erleichtern. Diese Icons umfassen: Zu diesem Thema gibt es einen Podcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX. Zu diesem Thema gibt es einen Vodcast. Sie finden ihn auf der Lernplattform CLIX.? B Prüfen Sie Ihren Wissensstand! Hier finden Sie Fragen zur Selbstkontrolle. So wird's gemacht! Hier finden Sie ein Beispiel. e Dieser Tet ist auch als E-Book erhältlich. Für diese Lektion gibt es ein WBT. Sie finden es auf der Lernplattform CLIX. CLIX Sie haben die Lektion fertig bearbeitet. Nun ist es an der Zeit, auf der Lernplattform CLIX die Wissenskontrolle zu meistern und sich für die Klausur zu qualifizieren. Und jetzt viel Erfolg und SpaSS beim Lernen! 9
10 Einleitung Übergeordnete Lernziele Mathematik gehört im Bereich der Betriebswirtschaftslehre zu den Grundlagenfächern. Sie stellt als Querschnittsfunktion fächerübergreifend quantitative Methoden bereit. Diese Grundlagen werden in sehr vielen Kursen und Modulen benötigt, z. B. für die Investitions- und Finanztheorie, Mikro- und Makroökonomie, Logistik und Marketing. Die Wirtschaftsmathematik ist für Betriebs- und Volkswirtschaftler somit ein hilfreiches Werkzeug, ohne jedoch eine Kerndisziplin der Betriebswirtschaftslehre zu sein. Diesem Verständnis folgend, konzentriert sich dieser Kurs primär auf die ökonomische Anwendung von mathematischen Methoden und verzichtet weitestgehend auf die Führung mathematischer Beweise. Anfangs wiederholen wir mathematische Grundlagen, um für das Selbststudium gerüstet zu sein. Wir besprechen folgende Themenschwerpunkte: Grundlagen der Analysis, Funktionen, Differenzialrechnung: Multivariate Funktionen, Folgen und Reihen und Integralrechnung. Bei Durchsicht des Curriculums werden Sie feststellen, dass ein Großteil des hier behandelten Stoffes bereits Bestandteil Ihrer mathematischen Schulausbildung bis zum Abitur war. Neu ist die ökonomische und betriebswirtschaftliche Anwendung der jeweiligen Methode. Verstehen Sie diesen Sachverhalt vor allem als Motivation, sich dem Thema Mathematik zu widmen. Erfahrungsgemäß gehört sie zu den Fächern innerhalb eines BWL-Studiums, das vielen Studierenden Kopfschmerzen bereitet. Das ist gänzlich unnötig. Trotzdem erfordert das Fach gerade von Studierenden mit weniger ausgeprägter Vorliebe für mathematische Themen eine intensive Beschäftigung mit den Inhalten. 0
11 Weiterführende Literatur Weiterführende Literatur Falls Sie tiefer einsteigen wollen, empfehlen wir die folgende Fachliteratur: Ohse, D. (004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Bd.. Analysis, 6. Auflage, Vahlen, ISBN Sydsaeter, K., Hammond, P.J. (008): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Auflage, Pearson Studium, ISBN
12
13 c Lektion Grundlagen der Analysis Lernziele Nach der Bearbeitung dieser Lektion werden Sie wissen... wie Sie die grundlegenden arithmetischen und algebraischen Regeln sicher und fehlerfrei anwenden. wie Sie mit Summen- und Produktzeichen arbeiten. wie Sie Gleichungen und Ungleichungen umformen und auflösen. wie Sie Gleichungssysteme lösen.
14 Lektion. Grundlagen der Analysis. Arithmetische und algebraische Grundlagen Bei den arithmetischen und algebraischen Grundlagen handelt es sich primär um Themengebiete, die Sie in Ihrer Schullaufbahn kennengelernt haben. Sie beinhalten beispielsweise grundlegende Rechenregeln, die Verwendung unterschiedlicher Zahlenräume, das Arbeiten mit sowie das Lösen von einfachen algebraischen Ausdrücken oder das Arbeiten mit Variablen, Konstanten und Parametern. Zahlenbereiche Durchzuführende Rechenoperationen können in unterschiedlichen Zahlenbereichen stattfinden. Die folgende Abbildung veranschaulicht die typischen Zahlenbereiche, die im Rahmen betriebswirtschaftlicher Anwendungen relevant sind. Zahlenbereiche betriebswirtschaftlicher Anwendungen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Wir unterscheiden die folgenden Zahlenräume: Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen wird typischerweise mit dem Buchstaben bezeichnet und umfasst die Zahlen,,3,4,5, Die formale Schreibweise ist = {,,3, } Menge der natürlichen Zahlen
15 Grundlagen der Analysis Menge der ganzen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen und enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch die Zahl 0 sowie negative ganze Zahlen. Zur Bezeichnung wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen m Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch der Form q = n darstellen lassen, wobei die Zahlen im Nenner aus dem Bereich der ganzen Zahlen und im Zähler aus dem Bereich der natürlichen Zahlen stammen ( m Z, n N). Durch die Verwendung rationaler Zahlen lassen sich im Gegensatz zu natürlichen oder ganzen Zahlen auch Zahlen mit Dezimalstellen darstellen. Rationale Zahlen werden mit den Buchstaben bezeichnet. Die formale Denition lautet: Menge der rationalen Zahlen Menge der irrationalen Zahlen Ähnlich wie bei rationalen Zahlen, sind die irrationalen Zahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie Dezimalstellen aufweisen. Im Unterschied zu rationalen Zahlen lassen sich irrationale Zahlen aber nicht als Bruch darstellen. Beispiele für irrationale Zahlen sind z.b. π, e, 5
16 Lektion Die folgende Darstellung zeigt die Herleitung der irrationalen Zahl Über den Satz des Pythagoras lässt sich die Länge der Kante c herleiten; diese beträgt Projiziert man die Länge der Kante c auf den Zahlenstrahl, so erhält man den Wert der irrationalen Zahl Auf den Nachweis, dass sich dieser Wert nicht als Bruch darstellen lässt, wird an dieser Stelle verzichtet. Beispiel für die irrationale Zahl c Menge der reelle Zahlen Die Menge der reellen Zahlen wird durch die Vereinigung aller rationalen und irrationalen Zahlen gebildet und ist somit deniert als Für das betriebswirtschaftliche Studium ist die Menge der reellen Zahlen der wichtigste und am häugsten verwendete Zahlenbereich. Menge der komplee Zahlen = { isteinerationale oder irrationalezahl } Der Vollständigkeit halber soll noch kurz die Menge der kompleen Zahlen erwähnt werden, obwohl diese für betriebswirtschaftliche Anwendungen von untergeordneter Bedeutung sind. Komplee Zahlen werden in der Form z = + iy dargestellt, wobei und y reelle Zahlen sind und es sich bei i um die so genannte imaginäre Einheit handelt, für die gilt i =. Für die Bezeichnung der kompleen Zahlen wird typischerweise der Buchstabe verwendet. Grundlegende Rechenoperationen und Begriffe Die grundlegendsten Rechenoperationen sind die Addition und die Subtraktion. Sie werden auch als Rechenarten erster Stufe bezeichnet. Die Addition eines Summanden a mit dem Summanden b bildet eine Summe s: a + b = s Die Subtraktion eines Subtrahenden b von einem Minuenden a bildet eine Differenz d: a b = d Als Rechenarten zweiter Stufe werden die Multiplikation und die Division bezeichnet. 6
17 Grundlagen der Analysis Ein Faktor a multipliziert mit einem Faktor b ergibt als Ergebnis das Produkt p: a b = p Dividend a (Zähler) geteilt durch Divisor b (Nenner) ergibt den Quotienten q: Beim Ausführen von Rechenoperationen erster und zweiter Stufe muss berücksichtigt werden, dass innerhalb eines Terms immer die Multiplikation und Division zuerst ausgeführt werden müssen, bevor das Ergebnis einer Summe oder Differenz bestimmt wird: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: = = 9 Für Divisionen und Multiplikation mit der Zahl 0 ist Folgendes zu beachten: Ist innerhalb eines Produkts ein Faktor gleich 0, dann ist auch das Produkt gleich 0. a 0 = 0 Wenn innerhalb eines Quotienten der Zähler gleich 0 ist, dann ist der ganze Quotient gleich 0. 0 = 0 a Falls innerhalb eines Quotienten der Nenner den Wert 0 annimmt, dann ist der Quotient nicht definiert. a istnicht definiert 0 Wenn innerhalb eines mathematischen Ausdrucks Klammern verwendet werden, dann sind die Klammerwerte zuerst zu bestimmen; die restlichen Ausdrücke werden dann entsprechend der Rechenhierarchie bearbeitet. Beispiel: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: (5 + 3) = 8 = 6 = 4 Weitere grundlegende mathematische Operationen werden durch die folgenden Gesetze geregelt: Kommutativgesetz Das Kommutativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe die Reihenfolge der Summanden bzw. innerhalb eines Produkts die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauscht werden darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert: Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a Kommunikativgesetz der Multiplikation: a b = b a Beachten Sie, dass das Kommutativgesetz nicht auf Differenzen oder Quotienten angewendet werden darf. 7
18 Lektion Assoziativgesetz Das Assoziativgesetz besagt, dass innerhalb einer Summe oder eines Produkts beliebige Summanden bzw. Faktoren in Klammern gesetzt werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz der Multiplikation: (a b) c = a (b c) Distributivgesetz Das Distributivgesetz besagt, dass ein Ausdruck mit einem ausgeklammerten Faktor vor einer Klammer derart erweitert wird, dass jeder Term innerhalb der Klammer mit dem gemeinsamen Faktor multipliziert wird: a (b + c) = a b + a c Grundlegende Rechenoperationen natürlicher Zahlen Eine natürliche Zahl a wird als Teiler der natürlichen Zahlen n bezeichnet, wenn es eine weitere natürliche Zahl b gibt, für die gilt: a b = n. Beispiel: Bestimmen Sie die Teiler der Zahl 4: Die Zahl 4 besitzt folgende Teiler: ; ; 3; 4; 6; 8; Natürliche Zahlen die den Teiler besitzen, werden als gerade Zahlen bezeichnet, alle anderen als ungerade. Eine natürliche Zahl, die nur durch und sich selbst teilbar ist, wird als Primzahl bezeichnet. Primzahlen sind zum Beispiel: ; 3; 5; 7; ; 3;... Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich in ein Produkt bestehend aus Primzahlen zerlegen. Diese Technik wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Beispiel: Zerlegen Sie die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren: 36 = 8 = 9 = 3 3 = ² 3 ² 75 = 3 5 = = 3 5² 9 = 46 = 3 = ² 3 40 = 70 = 35 = ² = 575 = 3 55 = 3² 75 = 3³ 5 35 = 3³ 5² 7 Wenn Sie die Primfaktoren zweier natürlicher Zahlen kennen, so können Sie einfach das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen bestimmen. Bei der Primfaktorzerlegung der beiden natürlichen Zahlen 36 und 75 aus dem obigen Beispiel kamen die gemeinsamen Primzahlen, 3 und 5 vor. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich aus dem Produkt der höchsten Potenzen sämtlicher vorkommenden Primfaktoren und ist folglich ² 3² 5² = 900. Neben dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen kann auch die Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen von Interesse sein. Sie finden den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen, indem Sie sämtliche gemeinsame Primfaktoren multiplizieren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Um beispielsweise den 8
19 Grundlagen der Analysis größten gemeinsamen Teiler der beiden natürlichen Zahlen 40 und 350 zu bestimmen, identifizieren Sie als erstes die gemeinsamen Primfaktoren; diese sind und 5 und 7. Der größte gemeinsame Teiler ist folglich 5 7 = 70. Grundlegende Rechenoperationen ganzer Zahlen Durch Erweiterung des Zahlenraumes auf negative Zahlen gibt es zusätzliche Rechenregeln, die berücksichtigt werden müssen, um Fehler zu vermeiden. Multiplizieren wir beispielsweise eine in Klammern stehende Summe mit einem negativen Faktor, so ist zu berücksichtigen, dass die einzelnen Summanden ihr Vorzeichen umkehren: c (a + b) = c a c b. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 5= = + 3 = = = 6 Multiplizieren wir zwei ganzzahlige Faktoren, ist das Ergebnis immer dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen besitzen; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Für Divisionen gilt diese Regel analog: Das Ergebnis eines Quotienten ist immer positiv, wenn der Term im Nenner und im Zähler dasselbe Vorzeichen haben; andernfalls ist das Ergebnis negativ. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: 53 = 5 ( 5)( 3) = 5 (4) = 8 ( 3) () = 6 4 = 4 = Grundlegende Rechenoperationen rationaler Zahlen Multiplizieren wir den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl, so ändert sich durch diese Erweiterung das Ergebnis nicht. Wenn im Zähler und Nenner eines Bruchs derselbe Faktor c vorkommt, kann der Bruch um diesen Faktor gekürzt werden. Der Wert des Bruchs ändert sich in diesem Fall nicht. a c a = c a = b c c b mitc = = = = = 4 4 9
20 Lektion Wenn zwei Brüche addiert bzw. subtrahiert werden sollen, müssen diese zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden. Einen gemeinsamen Nenner können Sie beispielsweise finden, indem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache suchen. Sobald einzelne Brüche gleichnamig sind, d. h. sie besitzen einen gemeinsamen Nenner, können die erweiterten Werte im Zähler addiert bzw. subtrahiert werden = + = + = + 5 = Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils ihre Ausdrücke im Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden = 5 = Ein Ausdruck wird durch einen Bruch dividiert, indem der Ausdruck mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert wird. a c a d a = = d : b d b c b c 4 3 : = = = Grundlegende Rechenoperationen reeller Zahlen Wird die reelle Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert, können Sie als Abkürzung eine Potenz schreiben. a a a = a n Dabei wird a als Basis und n als Eponent bezeichnet. Die Umkehroperation zum Potenzieren ist das Wurzelziehen (Radizieren). Dabei bezeichnet b den Wurzeleponenten (Radikand). n n b = a a = b Beachten Sie, dass für b nur nichtnegative Werte eingesetzt werden dürfen, solange n gerade ist. Für ungerade Wurzeleponenten darf b auch negativ sein. Beispiel: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: 0 0
21 Grundlagen der Analysis Merken Sie sich, dass a⁰ = immer gilt. Jeder Wurzelausdruck kann in eine Potenz umgeschrieben werden. Es gilt: n a = a n Für das Rechnen mit reellen Zahlen gilt eine Reihe von elementaren Regeln, die im Folgenden zusammengefasst werden. ( ) ( ) ( )( ) ( a) = a a+ b = a + ab+ b. binomische Formel a b = a ab+ b. binomische Formel a+ b a b = a b 3. binomische Formel a = ( ) a ab = ( a b) = a b = a b a = a b b a = a a = b b b ( ) ( ) Für das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln sind folgende Regeln zu beachten:
22 Lektion? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: ( 7 4) a) 0 ( 6) = b) c) 9 0 = d) 0 3 = ( ) e) 3 + ( ) ( + ) = Vereinfachen Sie die folgenden Terme: a) a { b + c [d a + (b + c)] d} = b) (4m n) (m + n)(m n) (5m + 3n) = c) (a + b) (a 3b) 4(a + b)(a b) = d) ( + 3y) ( 4y) + ( + y)( y) 0y = e) [ 3( + 4)] 5( + ) = = 3. Zerlegen Sie jeweils die Zahl im Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und kürzen Sie soweit wie möglich: a) c) 05 3 e) 5 77 = = b) = d) 05 3 = 4. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) (8a 3) (a + ) = b) ( 3) 3 = c) (m n )(m n + ) = d) (6 y)(4 5y) = e) (z 7)(z + z ) = =
23 Grundlagen der Analysis 5. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner und addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Brüche: a) a = b) = 3y 4 c) a b + 3 c d 3 = d) = e) =. Summen und Produkte Summenzeichen Das Summenzeichen wird häufig im Rahmen mathematischer Formulierungen verwendet und ist eine nützliche Kurzschreibweise für Summen. So ist es beispielsweise möglich, statt der epliziten Summe = 8 die durchaus kürzere Schreibweise i= 8 zu verwenden. Diese Summenschreibweise bedeutet nichts anderes, als dass wir für i nacheinander die Werte bis 7 einsetzen und diese einzelnen Werte aufsummieren. m ai = ak + ak+ + + am Bei der allgemeinen Schreibweise i= k bezeichnet ai das allgemeine Summenglied, i ist der Summationsinde, k und m sind die untere und obere Summationsgrenze. Für die Verwendung des Summenzeichens gelten ein paar Regeln, die im Folgenden dargestellt werden: Da die Reihenfolge, in welcher die Summenglieder ai und bi aufsummiert werden, beliebig ist, ist folgende Schreibweise zulässig: In der Summe m ( i + i) = i + m a b a b i i= k i= k i= k ist c ein konstanter Faktor, der ausgeklammert werden kann. Das bedeutet, dass er auch bei Summenschreibweise ausgeklammert werden kann. Manchmal ist es hilfreich, eine Summe aufzuspalten. Hierfür lassen wir eine erste Summe von bis l und eine zweite Summe von l + bis n laufen. n m 7 i= ( n) c a + c a + c a + + c a = c a + a + a + + a 3 n 3 m m c a = c a i i= k i= k ai = a+ a + al + al+ + al+ + + an = ai + ai i= i l n i= i= l+ 3
24 Lektion Wenn innerhalb eines Summenausdruckes eine Konstante c addiert wird, so ergibt sich die Häufigkeit des Aufsummierens aus der Ober- und Untergrenze des Summationsinde. Durch Verwendung von zwei oder mehreren Summenzeichen können auch Doppel- oder Mehrfachsummen erstellt werden. Doppelsummen sind wie folgt definiert: Für das Arbeiten mit Doppelsummen gelten die folgenden Regeln: Produktzeichen m ( i ) i ( ) a + c = a + m k+ c i= k i= k n m Beispiel m aij = a + a + + an + i= j= m n a + a + + a + n a + a + + a ( ij j ) ( ij ) m m nm ij j = j ( ) Äquivalent zum Summenzeichen gibt es auch für Produkte eine Kurzschreibweise, für die der griechische Großbuchstabe II genutzt wird. Die formelle Schreibweise ist: m ai = ak ak+ am Dabei ist i Multiplikationsinde, k und m sind die untere und obere Multiplikationsgrenze und a i ist das allgemeine Glied. a + b = a + m k+ b ij i= k j= l i= k j= l j= l m n ( ) ( ) a + c = a + m k+ n l + c i= k j= l i= k j= l m n c a = c a ij i= k j= l i= k j= l m n a = ij i= k j= l j= l i= k m n i= k j= l j= l i= k 5 i= 7 i= 3 3 i= 3 n m n m m a m a b b a i = i ij = a b = a b + a b + a b i i= j= 4 i= k 5 i n n n m ij ij ij a b = a b + a b + a b + a b + a b + a b i j 3 3 n j 4
25 Grundlagen der Analysis Für das Arbeiten mit Produkten gelten folgende Regeln: Bei dem Produkt handelt es sich um einen Spezialfall. Hier werden alle natürlichen Zahlen in bis n miteinander multipliziert. Dieses Produkt ist identisch mit n! (gesprochen n Fakultät ). n! = i = 3 n Beispiel 5 i= 5 i= 3 3 i= n i= i = 345 = 5! ( i) ( ) ( ) ( ) = = = 555 = 5 3 Fragen zur Selbstkontrolle. Berechnen Sie die folgenden Summen: j a) = b) ( 3) 3 j= i c) ( + 4i 6) = d) i j = i= 3 m n i= j= 0 j =? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. e) =. Berechnen Sie die folgenden Produkte: a) = 4 i = i= b) = 4 i = i= 3 j 3 c) = = 3+ j j= 5
26 Lektion.3 Gleichungen Äquivalenzumformungen Unter einer Gleichung verstehen wir in der Mathematik eine Aussage, die zwei Terme gleichsetzt. Unter einem Term verstehen wir dabei entweder eine einzelne Zahl oder alternativ eine Rechenoperation. Der Ausdruck + 5 = 9 ist beispielsweise eine Gleichung, bei der die Rechenoperation +5 und die Zahl 9 gleichgesetzt werden. Oftmals sind Mathematiker bei der Arbeit mit Gleichungen daran interessiert, für welchen Wert von die Gleichung erfüllt, d. h. wahr ist. Um eine Gleichung zu lösen, verwenden wir typischerweise Äquivalenzumformungen. Dabei ist zu beachten, dass die anzuwendende Umformung auf beiden Seiten der Gleichung angewendet wird, wie das folgende Beispiel zeigt: + 5= 9 5 = 4 : = Die folgende Auflistung gibt einen Überblick über die erlaubten Rechenoperationen im Rahmen von Äquivalenzumformungen: Addition Subtraktion Multiplikation Division Eponentieren Logarithmieren = 5 + = 7 + 3= 8 3 = 5 = 4 4 = 4 5 = 0 :5 = = 5 = e 5 ln = 0 ln ( e ) = ln0 = ln0 Bitte beachten Sie, dass in der Regel nur die Multiplikation und Division mit einem Ausdruck ungleich Null eine Äquivalenzumformung darstellt. Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Genauso ist das Logarithmieren nur eingeschränkt erlaubt, da z.b. eine negative Zahl nicht logarithmiert werden darf. Neben den bereits aufgeführten sechs Rechenoperationen eistieren zwei weitere, die ebenfalls im Rahmen von Äquivalenzumformungen genutzt werden können: das Potenzieren und das Radizieren (Wurzelziehen). Allerdings müssen wir bei der Anwendung dieser beiden 6
27 Grundlagen der Analysis Operationen auf den Eponenten Acht geben. Ist der Eponent ungerade, dann lassen sich diese beiden Rechenoperationen problemlos anwenden; es handelt sich um äquivalente Umformungen. Beachten Sie: Ist der Eponent hingegen gerade, ist dies nicht der Fall! 3 Potenzieren = 3 = 8 Radizieren = = 3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung ist in ihrer einfachsten Form eine Gleichung der Form a + c = 0 D. h. die Potenz der unabhängigen Variablen ist. Eine lineare Gleichung kann eine unabhängige Variable besitzen oder mehrere. Wenn mehrere lineare Gleichungen gegeben sind und diejenigen Werte der unabhängigen Variablen gesucht werden, die simultan sämtliche Gleichungen lösen, sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem: a₁ + b₁y = c₁ a₂ + b₂y = c₂ Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann mittels einer der folgenden Methoden ermittelt werden: Additionsverfahren Gleichsetzungsverfahren Substitutionsverfahren Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden durch Äquivalenzumformungen die einzelnen Gleichungen derart angepasst, dass durch paarweise Addition oder Subtraktion von zwei Gleichungen eine der unabhängigen Variablen eliminiert wird. Die Addition der Gleichungen () und (a) liefert schließlich: Nach elementaren Umformungen resultiert somit für y der Wert. 7
28 Lektion Durch Einsetzen von y= in () oder () erhält man =7 () + = 5 = 4 : = 7 Die Lösung des Gleichungssystems lautet = 7 und y =. Gleichsetzungsverfahren Bei der Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst und anschließend gleichgesetzt. Erneut soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden: + y = 5 () 4y = 3 () Beide Gleichungen werden nach aufgelöst: Anschließend werden die Gleichungen (b) und (a) gleichgesetzt: Durch Einsetzen von y = Gleichung () oder () erhalten wir erneut die zugehörige Lösung = 7. () + y = 5 : y 5 y + = ( a ) 5 y = ( b ) ( ) ( ) 4y = 3 + 4y = 3+ 4y a 5 y = 3+ 4y y 4y = y y = 9 9 y = y = 8
29 Grundlagen der Analysis Substitutionsverfahren Beim Substitutionsverfahren lösen wir eine Gleichung nach einer der unabhängigen Variablen auf; der resultierende Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. Für das obige Beispiel wird die zweite Gleichung nach aufgelöst. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir: () ( ) () ( ) () + y = 5 4y = 3 + 4y + y = 5 = 3+ 4y a in einsetzen ( y) y = y+ y = 5 9y = 9 y = Setzen wir y = Gleichung () ein, erhalten wir = 7. Quadratische Gleichungen Bei einer quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Gleichung der Form a² + b + c = 0 Um eine quadratische Gleichung zu lösen, eistieren zwei häufig verwendete Verfahren: abc-formel pq-formel abc-formel Unter Verwendung der abc-formel wird für eine quadratische Gleichung der Form a² + b + c = 0 die Lösung mittels der Formel bestimmt. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 4² + 8 = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = -3 9
30 Lektion pq-formel Die pq-formel verlangt im Unterschied zur abc-formel, dass eine quadratische Gleichung in der Normalform gegeben ist, d. h. es liegt eine quadratische Gleichung der Form vor. Die Lösung lautet in diesem Fall: ² + p + q = 0 Beispiel: Lösen Sie die Gleichung ² + = 0: Die Lösung lautet: ₁ = ₂ = - Bitte beachten Sie, dass nicht jede quadratische Gleichung a + b + c = 0 auf der Menge der reellen Zahlen gelöst werden kann. Gleichungen höheren Grades? Prüfen Sie Ihren Wissensstand Musterlösungen befinden sich auf der Lernplattform CLIX. Eine Gleichung der Form n n 4 3 a + a + + a + a + a + a + a = 0 wird allgemein als Gleichung n-ten Grades bezeichnet. Im Gegensatz zu den vorher besprochenen linearen und quadratischen Gleichungen eistieren für Gleichungen höheren Grades keine standardisierten Lösungsverfahren mehr. Stattdessen kommen Näherungsverfahren oder Methoden zum Einsatz, die einen Ausdruck n-ten Grades in seine Linearfaktoren zerlegen. An dieser Stelle soll auf die Verfahren nicht weiter eingegangen werden. Sie werden zu einem späteren Zeitpunkt im Zusammenhang mit der Suche nach Nullstellen von Funktionen besprochen. Fragen zur Selbstkontrolle. Lösen Sie die Gleichungen nach auf: a) + 3 = 6 = b) 5 + = c) 4 3 = n n = = d) + = = 0 e) 4 + ( 4) 3 = (3 5) = 30
31 Grundlagen der Analysis. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) + = = b) 5 0= 0 4 c) = = d) a (b a) b= 0 8 = = 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: a) 3 y = 4 = 4y = 8 y = b) + 6y z = 3 = y 4z = 6 y = 3 + 4y z = 8 z = c) 3y + z = 3 = 4 + 5y + z = 6 y = 3 y z = 7 z =.4 Ungleichungen Das Besondere an Ungleichungen ist, dass zwei Terme anders als bei Gleichungen mittels eines Gleichheitszeichens gleichgesetzt gegenübergestellt werden. Mittels des Verhältniszeichens <, <, >, > wird ein Größenordnungsverhältnis ausgedrückt. Die Lösung einer Ungleichung umfasst somit immer ein Intervall anstatt eines einzelnen Wertes. Um mit Ungleichungen zu rechnen, müssen wir ein paar Besonderheiten bei Äquivalenzumformungen beachten. Addition und Subtraktion erfolgen analog zu Gleichungen, d. h. ein Wert wird auf beiden Seiten der Ungleichung addiert oder subtrahiert. Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl erfolgt ebenfalls analog zum Vorgehen bei Gleichungen; beide Seiten der Ungleichung werden mit dem entsprechenden Wert multipliziert oder dividiert. Bei einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl müssen wir allerdings aufpassen: In diesem Fall ändert das Ungleichheitszeichen seine Richtung, d. h. aus einem <-Zeichen wird ein >-Zeichen und umgekehrt. Bei der Bildung eines Kehrwertes ändert sich ebenfalls die Richtung des Ungleichheitszeichens. 3
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrDas Mathematik-Abitur im Saarland
Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die
Mehr1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS
. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrRepetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Lernziele... 1
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrMatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 4 Grundlagen der Mathematik Version vom 02.11.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN
ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrNegative Zahlen. Lösung: Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6. Das Dezimalsystem
Negative Zahlen Negative Zahlen Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6 Das Dezimalsystem Zerlege in Stufen! Einer, Zehner, usw. a) 3.185.629 b) 24.045.376 c) 3.010.500.700 Das Dezimalsystem a) 3M 1HT
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
Mehr5. bis 10. Klasse. Textaufgaben. Alle Themen Typische Aufgaben
Mathematik 5. bis 10. Klasse 150 Textaufgaben Alle Themen Typische Aufgaben 5. bis 10. Klasse 1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen 1 25 Erstelle zu den folgenden Zahlenrätseln zunächst einen Rechenausdruck und
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrWurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik
Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Zur Einstimmung Wir haben die Formel benutzt x m n = x m n nach der eine Exponentialzahl potenziert wird, indem man die Exponenten multipliziert. Dann sollte
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
MehrMathematische Grundlagen 2. Termrechnen
Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen
MehrTEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge
TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
Mehr1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN)
1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion aufstellen, graphisch
MehrDarstellungsformen einer Funktion
http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die
MehrWeiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner
Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Rechengesetze 1. Rechengesetze für natürliche Zahlen Es geht um
MehrRepetitionsaufgaben: Lineare Funktionen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrCodierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur
Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Wie die zyklischen BCH-Codes zur Mehrbitfehler-Korrektur eignen sich auch die sehr verwandten Reed-Solomon-Codes (= RS-Codes) zur Mehrbitfehler-Korrektur.
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrJOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur
JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrRepetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
MehrAbitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis
Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die
MehrKapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009
MehrMathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens
Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................
MehrÜbungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
MehrBevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrRationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts?
Rationale Zahlen Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Oft kann es sinnvoll sein, Werte anzugeben die kleiner sind als Null. Solche Werte werden mit negativen Zahlen beschrieben, die durch ein Minus als
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
MehrFunktionen (linear, quadratisch)
Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrName: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A
Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,
MehrMathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung
Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
MehrName: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B
Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl0-Gruppe B. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x =0.8 2 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
MehrBrückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014
egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs
MehrDAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein
DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrBetragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen
mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrUnterlagen für die Lehrkraft
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung
MehrHinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft
Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick
MehrVorlesung Analysis I / Lehramt
Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch
MehrAbiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann
Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden
Mehr2 Terme 2.1 Einführung
2 Terme 2.1 Einführung In der Fahrschule lernt man zur Berechnung des Bremsweges (in m) folgende Faustregel: Dividiere die Geschwindigkeit (in km h ) durch 10 und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.
Mehr5. Lineare Funktionen
5. Lineare Funktionen Lernziele: -Eine lineare Funktion grafisch darstellen -Geradengleichung (Funktionsgleichung einer linearen Funktion) -Deutung von k- und d-wert -Grafische Lösung von Gleichungssystemen
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrPlotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )
Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrKlassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge
MehrMathematik-Dossier. Die lineare Funktion
Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der
MehrProbleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen
Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Tage des Unterrichts in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik Rostock 2010 Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock, http://www.math.uni-rostock.de/~sill/
MehrRationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen
Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt.. Setze das richtige Zeichen. a) -3 4 b) - -3
MehrÜbungsbuch Algebra für Dummies
...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrSimplex-Umformung für Dummies
Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit
MehrDHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)
DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) Aufgabe 3 Bankkonto Schreiben Sie eine Klasse, die ein Bankkonto realisiert. Attribute für das Bankkonto sind der Name und Vorname des Kontoinhabers,
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrII* III* IV* Niveau das kann ich das kann er/sie. Mein Bericht, Kommentar (Einsatz, Schwierigkeiten, Fortschritte, Zusammenarbeit) Name:... Datum:...
Titel MB 7 LU Nr nhaltliche Allg. Buch Arbeitsheft AB V* Mit Kopf, Hand und Taschenrechner MB 7 LU 3 nhaltliche Allg. Buch Arbeitsheft AB einfache Rechnungen im Kopf lösen und den TR sinnvoll einsetzen
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
Mehr