JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

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1 JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

2 Vorwort

3 Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes Bonnekoh Diese Buch richtet sich an alle Schülerinnen, Schüler und Studierende, die sich an Berufskollegs, beruflichen Gymnasien, Gymnasien und Gesamtschulen auf die Allgemeine Hochschulreife (vulgo Abitur) oder die Fachhochschulreife vorbereiten. Die folgenden Kapitel entstanden aus den Unterlagen, die ich während meiner Unterrichtszeit am Berufskolleg St. - Nikolaus - Stift in Zülpich - Füssenich zusammengestellt habe und sind damit für den Unterricht an einem Berufskolleg mit dem Schwerpunkt Sozial- und Gesundheitswesen entstanden. Die dem Ganzen zugrundeliegende Mathematik ist natürlich für alle Schulen die Selbe. In jedem Kapitel habe ich mich bemüht, die Grundlagen möglichst formelfrei und erklärend zu beschreiben bevor ich die mathematisch korrekten Formeln einführte. Meiner Ansicht nach kann man jedes Problem immer auch ohne Fachsprache erklären, wenn man es richtig verstanden hat. Die Leserinnen und Leser die diesen Punkt noch etwas weiter vertiefen möchten, können sich z.b. das Buch QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie ii

4 von Richard P. Feynman einmal durchlesen. Prof. Feynman schafft es in diesem Buch die Theorie der Quantenelektrodynamik ohne Formeln und physikalische Fachbegriffe zu beschreiben. In gewisser Weise war er mein Vorbild bei der Erstellung dieser Unterrichtsreihe. Allen Leserinnen und Lesern wünsche ich viel Spaß und Erfolg beim Lesen dieses Buches Erftstadt, den Johannes Bonnekoh iii

5 Kapitel 1 Grundlagen In diesem Kapitel werden wir uns erst einmal mit den Fragen Was ist Mathematik? und Wozu brauchen wir Mathematik? beschäftigen. Anschließend werden die Grundbegriffe der Analysis eingeführt.

6 Kapitel 2 Schnittpunkte Ganzrationaler Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns einem Teil der Analysis, der auch in späteren Kapiteln immer wieder benutzt werden wird. Die hier vermittelten Kenntnisse sind also extrem wichtig.

7 Abschnitt 1 Verschiedene Arten von Schnittpunkten AUFBAU 1. Schnittpunkte mit der y - Achse 2. Schnittpunkte mit der x - Achse 3. Schnittpunkte zweier Funktionen 4. Verfahren zur Berechnung Prinzipiell gibt es drei verschiedene Arten von Schnittpunkten und dementsprechend auch drei verschiedene Ansätze zur Berechnung dieser Schnittpunkte. Diese Arten und die eingerahmten Ansätze besitzen für alle Funktionsklassen und nicht nur für ganzrationale Funktionen Gültigkeit. 1. Schnittpunkte mit der y - Achse Der einfachste Schnittpunkt ist der Schnittpunkt mit der y - Achse. Für alle Punkte auf der y - Achse gilt: x = 0. Um den Schnittpunkt mit der y - Achse auszurechnen müssen wir also lediglich f ( 0) = berechnen. 6

8 Beispiel: f x ( ) = 2x + 3 ( ) = = 3 f 0 ( ) S y Schnittpunkte mit der x - Achse Die nächste und etwas schwierigere Art von Schnittpunkten sind die Schnittpunkte mit der x - Achse (Nullstellen). Für alle Punkte auf der x - Achse gilt: y = 0. Mit f(x) = y erhalten wir also den Ansatz f ( x) = 0. Äquivalenzumformungen wird dann die Gleichung nach x aufgelöst. Beispiel: f x ( ) = 2x + 3 f ( x) = 0 2x + 3 = 0 3 2x = 3 :2 x = 3 2 N Schnittpunkte zweier Funktionen Die anschließende Berechnung der Unbekannten x wird in diesem ganzen Kapitel unser Thema sein. Je nach Funktion gibt es unterschiedliche Verfahren x zu berechnen. Am einfachsten ist hierbei das Verfahren des direkten Auflösens. Es wird immer dann angewandt, wenn die aus dem obigen Ansatz resultierende Gleichung nur eine Potenz von x (diese evtl. mehrfach) und ansonsten nur Zahlen enthält. Mittels Die letzte Art von Schnittpunkten sind die Schnittpunkte zweier Funktionen f und g. Der Schnittpunkt S (x y) zweier Funktionen zeichnet sich dadurch aus, dass er auf beiden Funktionen liegt. Dies liefert uns den Ansatz f ( x) = g( x). 7

9 Die aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungen werden im Wesentlichen genau so gelöst wie die vorher Vorgestellten. Beispiel: f x ( ) = 2x + 3 und g( x) = x + 6 f ( x) = g( x) 2x + 3 = x x = x + 3 x x = 3 Berechnung von y: y = f 3 ( ) S 3 9 ( ) = = 9 5. Linearfaktorzerlegung Das Verfahren des Direkten Auflösens habe ich bereits in den Beispielen dieses Kapitels präsentiert und solche auch allen Leserinnen und Lesern bereits bekannt sein. Die restlichen Verfahren werden im Folgenden vorgestellt. 4. Verfahren zur Berechnung Prinzipiell gibt es fünf Verfahren zur Berechnung der oben erklärten Schnittpunkte: 1. Direktes Auflösen, 2. Quadratisches Ergänzen / p - q - Formel 3. Ausklammern 4. Substitution 8

10 Abschnitt 2 Quadratisches Ergänzen AUFBAU 1. Das Verfahren 2. Übungsaufgaben 3. Herleitung der p-q-formel 4. Ergebnisse der Übungsaufgaben 1. Das Verfahren Das Quadratische Ergänzen ist ein Verfahren zur Berechnung der Nullstellen, also der Schnittpunkte mit der x - Achse, bei beliebigen quadratischen Funktionen. Mit Hilfe dieses Verfahrens wird auch die p-q-formel hergeleitet. Bei diesem Verfahren wird so geschickt eine Zahl ergänzt, dass auf einer Seite des Gleichheitszeichens eine der beiden Binomischen Formeln ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a b) 2 = a 2 2ab + b 2 steht. Schauen wir uns dieses Verfahren einmal an einem Beispiel an. 9

11 ( ) = 2x 2 + 8x 10 f ( x) = 0 f x 2x 2 + 8x 10 = 0 :2 x 2 + 4x 5 = 0 +5 x 2 + 4x = 5 4x = 2ab x = a 4x = 2xb Vergleichen 4 = 2b b = 4 2 = 2. Der einzige aus der ersten Binomischen Formel noch fehlende Im ersten Schritt müssen wir immer dafür sorgen, dass vor dem x 2 keine Zahl mehr steht. Danach wird die Zahl ohne x auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Nun müssen wir den links des Gleichheitszeichens stehenden Term mit der rechten Seite einer der Binomischen Formeln vergleichen. Da vor der 4 ein + steht, verwenden wir die erste Binomische Formeln. Würde dort ein - stehen, würden wir die zweite Binomische Formel verwenden. Unser x 2 stimmt mit dem a 2 überein. Das x ist also unser a. Der Term mit x ohne Quadrat (4x) muss also mit dem Mischterm aus der Binomischen Formel (2ab) übereinstimmen. Term ist das b 2. Dieses müssen wir nun ergänzen und können dann die erste Binomische Formel anwenden. ( ) = 2x 2 + 8x 10 f ( x) = 0 f x 2x 2 + 8x 10 = 0 :2 x 2 + 4x 5 = 0 +5 x 2 + 4x = = 2 2 = 4 x 2 + 4x + 4 = Binomische Formel ( x + 2) 2 = 9 ± x + 2 = 3 x + 2 = 3 2 x = 1 x = 5 N 1 ( 5 0), N ( ) 10

12 Die farbig markierten Zahlen geben hierbei an, welche Zahl an welcher Stelle wieder eingesetzt wird. Das Zeichen v steht für das lateinische Wort vel und bedeutet oder. Es wird immer dann verwendet, wenn mehrere Lösungen möglich sind. Alternativ kann auch das Zeichen verwendet werden. Es steht abkürzend für das englische Wort AND (die Spitze des Buchstaben A) und bedeutet und. Bei Verwendung dieses Zeichens müssen aber die x bei den Lösungen durchnummeriert werden, also x 1, x 2,. Dies ist deshalb notwendig, weil das selbe x keine zwei unterschiedlichen Werte annehmen kann. Bei einigen Funktionen kommt es vor, dass beim Schritt des Wurzelziehens auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens eine negative Zahl steht. In diesem Fall ist das Wurzelziehen nicht möglich und die Funktion hat keine Nullstellen. Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nie gezogen werden kann, darf auch niemals die Wurzel aus einer negativen Zahl aufgeschrieben werden. 2. Übungsaufgaben Berechne die Nullstellen: a) f (x) = 3x 2 18x + 27 b) f (x) = 1 2 x x + 20 c) f (x) = 3x 2 + 9x + 5 d) f (x) = 2x 2 6x + 4 e) f (x) = 3x x 120 f) f (x) = x 2 + x +1 g) f (x) = 4x x h) f (x) = 5x 2 5x +100 i) f (x) = x 2 2x

13 3. Herleitung der p-q- Formel 4. Ergebnisse der Übungsaufgaben Wir schauen uns nun einmal das Verfahren für eine allgemeine quadratische Funktion an. ( ) = x 2 + px + q f ( x) = 0 f x x 2 + px + q = 0 q x 2 + px = q + p 2 2 x 2 + px + p 2 2 x + p = + p 2 2 q = + p 2 2 q ± 1. Binomische Formel a) N (3 0) b) keine Nullstellen c) N , N d) N 1 ( 1 0 ), N 2 ( 2 0 ) e) N 1 ( 5 0 ), N 2 ( 8 0 ) f) keine Nullstellen g) N 1 ( 1 0 ), N 2 ( 50 0 ) h) N 1 ( 5 0 ), N 2 ( 4 0 ) x + p 2 2 = ± + p 2 2 q p 2 2 i) keine Nullstellen x 1/2 = p 2 2 ± + p 2 2 q Das Quadratische Ergänzen und die p-q-formel sind also vollkommen äquivalente Verfahren. 12

14 Abschnitt 3 Das Ausklammern AUFBAU 1. Die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen 2. Das Verfahren 3. Übungsaufgaben 4. Ergebnisse der Übungsaufgaben 1. Die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen Das hier untersuchte Verfahren basiert auf der Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen. Satz: Seien a,b, dann gilt: a b = 0 a = 0 b = 0. Wenn also das Produkt zweier reeller Zahlen gleich Null ist, muss schon ein der beiden Zahlen gleich Null sein. Auf diesem Satz basiert das im Folgenden präsentierte Verfahren. Dieses Verfahren löst eine solche Gleichung nicht direkt, sondern verwandelt ein Problem der Nullstellenbestimmung in zwei Probleme niederen Grades. Es dient also nur der Vereinfachung und nicht der Lösung des Problems. Die entstehenden Teilprobleme müssen noch mittels anderer Verfahren gelöst werden. Die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen werden wir auch noch im letzten Abschnitt dieses Kapitels, der Linearfaktorzerlegung, benötigen. 13

15 2. Das Verfahren Dieses Verfahren lässt sich bei jeder ganzrationalen Funktion mit fehlendem absoluten Glied anwenden. Bei diesem Verfahren wird als erstes die kleinste vorkommende Potenz von x ausgeklammert. Anschließend wird die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen angewandt. Schauen wir uns dies an zwei Beispielen an. ( ) = 3x 2 + 5x f ( x) = 0 f x 3x 2 + 5x = 0 x 3x + 5 x ausklammern ( ) = 0 Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen x = 0 3x + 5 = 0 x ausklammern 3x = 5 : 3 x = 5 3 ( ) = x 3 + 4x 2 5x f ( x) = 0 f x x 3 + 4x 2 5x = 0 x x 2 + 4x 5 x ausklammern ( ) = 0 Nullteilerfreiheit x = 0 x 2 + 4x 5 = 0 +5 x 2 + 4x = x 2 + 4x + 4 = ( x + 2) 2 = 9 ± x + 2 = 3 x + 2 = 3 2 x = 0 x = 1 x = 5 N 1 ( 5 0), N 2 ( 0 0), N ( ) = 2 2 = 4 1. Bin. Formel x = 0 x = 5 3 N 1 ( 0 0), N Natürlich muss nicht immer nur x ausgeklammert werden. Falls möglich, kann auch x 2 ausgeklammert werden. Im zweiten Beispiel schauen wir uns eine kompliziertere Funktion an. Ich empfehle dringend, das Einrücken nach Anwendung der Nullteilerfreiheit zu übernehmen. Gerade bei längeren Rechnungen ist es sonst sehr gut möglich, dass die erste Lösung vergessen wird. Durch das Einrücken und das Wiederholen aller Lösungen am Ende wird dieses Risiko minimiert. 14

16 Das Verfahren des Ausklammerns funktioniert nur, wenn auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens eine Null steht. Steht dort eine andere Zahl, lässt sich dieses Verfahren nicht anwenden, da z.b. die Fünf sich als Produkt beliebig vieler Faktoren schreiben lassen kann: 5 = 1 5 = = =. 4. Ergebnisse der Übungsaufgaben a) N 1 ( 9 0 ), N 2 ( 0 0 ) b) N 1 ( 3 0 ), N 2 ( 0 0 ) c) N 1 ( 3 0 ), N 2 ( 0 0 ), N3 ( 3 0 ) 3. Übungsaufgaben d) N 1 ( 0 0 ), N 2 ( 3 0 ) Berechne die Nullstellen: 1 e) N 1 ( , N 2 ) ( 0 0 ), 1 N3 ( ) a) f (x) = 1 2 x x f) N ( 0 0 ) b) f (x) = 3x 3 + 9x 2 c) f (x) = 2x 4 6x 2 g) N 1 ( 0 0 ), N 2 ( 1 0 ) h) N ( 0 0 ) d) f (x) = 3x 3 18x x e) f (x) = 3x 3 + 3x x f) f (x) = x 3 + x 2 + x g) f (x) = 4x 3 8x 2 + 4x h) f (x) = 5x 4 + 5x 2 15

17 Abschnitt 4 Das Substitutionsverfahren AUFBAU 1. Das Verfahren 2. Ein vollständiges Beispiel 3. Übungsaufgaben 1. Das Verfahren Das Substitutionsverfahren (vom lat. substituere d.h. ersetzen) findet bei ganzrationalen Bestimmungsgleichungen mindestens vierter Ordnung mit drei Termen Anwendung. Allgemein lässt sich das Substitutionsverfahren bei jeder ganzrationalen Bestimmungsgleichung mit drei Termen anwenden, wenn die Potenz des mittleren Gliedes halb so groß wie die Potenz des führenden Gliedes ist und das absolute Glied nicht Null ist. Ziel des Verfahrens ist es durch Einführung einer neuen Variablen die vorhandene Bestimmungsgleichung höherer Ordnung auf eine quadratische Bestimmungsgleichung zurück zu führen. Diese neue quadratische Bestimmungsgleichung wird dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gelöst. Anschließend werden die so erhaltenen Lösungen in Lösungen der Ursprungsgleichung umgerechnet. Schauen wir uns dieses Verfahren an zwei Beispielen an: 16

18 f (x) = x 4 5x f (x) = 0 x 4 5x = 0 z 2 5z + 4 = 0 4 z z = 4 + ( 2 ) = 25 4 Warum wir nun eine neue Variable einführen, wird bei einer Umschreibung der obigen Formel deutlich. (x 2 ) 2 5x = 0 z 2 5z = ( z ) = 4 z 5 2 = 3 2 z 5 2 = 3 2 ± Bei dieser Bestimmungsgleichung vierter Ordnung handelt es sich also um eine quadratische Bestimmungsgleichung in x 2. Daher nennt man solche Funktionen auch biquadratische Funktionen. Wir setzen nun z: = x 2 z 2 = x 4. Einsetzen der neuen Variable liefert z 2 5z + 4 = 0. Diese quadratische Bestimmungsgleichung können wir nun mit Hilfe des quadratischen Ergänzens lösen. z = 4 z = 1 Nun müssen wir die für z erhaltenen Ergebnisse wieder in x umrechnen. Hierzu lösen wir einfach die Definitionsgleichung z: = x 2 nach x auf. x = z x = z Wir erhalten also aus jeder nicht negativen Lösung für z zwei Lösungen für x. x = 2 x = 2 x = 1 x = 1 N 1 ( 2 0 ), N 2( 1 0 ), N 3( 1 0 ), N 4( 2 0 ) 17

19 2. Ein vollständiges Beispiel f (x) = 2x 4 16x 2 18 f (x) = 0 2x 4 16x 2 18 = 0 :2 x 4 8x 2 9 = 0 z: = x 2 x = z x = z z 2 8z 9 = z 2 8z = 9 + ( 8 2 )2 = 4 2 = 16 z 2 8z + 16 = (z 4) 2 = 25 ± 3. Übungsaufgaben Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x - Achse! a) f (x) = 3x x b) f (x) = x 4 + 6x 2 7 c) f (x) = 2x 4 50x d) f (x) = 2x 4 4x e) f (x) = x 4 + 4x f) f (x) = 5x 4 + 5x g) f (x) = x 4 + 5x 2 6 h) f (x) = 2x 4 34x i) f (x) = x x j) f (x) = x 6 + 2x z 4 = 5 z 4 = z = 9 z = 1 x = z x = z x = 3 x = 3 Da 1 < 0 folgen hieraus keine weiteren Lösungen für x N 1 ( 3 0), N 2 (3 0) 18

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