2.6. Lineare Funktionen

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1 Gleichungen, Gleichungssysteme.6. Lineare Funktionen (a) Definition Schon in einem vorangegangen Abschnitt wurde vom Zusammenhang zwischen zwei Größen gesprochen, wobei die Abhängigkeit der Größen in Form einer linearen Gleichung in zwei Variablen beschrieben wurde: a + by = c bzw. y = k + d (a,b,c,d,k R, a,k 0) Die eplizite Darstellung y = k + d läßt den angesprochenen Zusammenhang deutlicher erkennen. Wählt man aus einer Menge einen Wert für und setzt in der obigen Gleichung ein, so ergibt sich eindeutig ein Wert für y. Die Menge, aus der man für die sogenannten unabhängigen Argumente einsetzen kann, nennt man wie bisher die Grundmenge oder Urmenge. Die Menge, aus der die abhängigen y sein dürfen, nennt man Zielmenge oder Bildmenge. Jene Menge, die mittels der Funktionsvorschrift tatsächlich von den y-werten gebildet wird, bezeichnet man als die Wertemenge für y. Der Wert y selbst wird als Funktionswert bezeichnet. Wird jedem Element einer Grundmenge X genau ein y Element einer Zielmenge Y zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion f bzw. f(): f: X Y, y f ist eine Funktion von X nach Y, ist zugeordnet y Unter einer linearen Funktion in einer Variablen versteht man eine Funktion der Gestalt : f: X Y, k + d bzw. f() = k + d k, d R, k 0 Eine Funktion, bei der die Mengen X und Y Teilmengen von R sind, heißt reelle Funktion. Die Funktionsvorschrift kann in verbaler Form sein (z.b.: Verdreifache eine Zahl und addiere 4 - man denke an Zahlenrätsel) oder in Form der oben erwähnten Funktionsgleichung. Diese Funktionsgleichung muß oft erst aus einer Problemstellung gewonnen werden. Durch die Zuordnungsvorschrift ergeben sich eindeutige Zahlenpaare (Wertepaare), die sich in eine Wertetabelle eintragen lassen. Wertetabelle (z.b. für 1 ) für Verdreifache eine Zahl und addiere 4 :

2 Gleichungen, Gleichungssysteme Zusammenfassung y = k + d k > 0 k < 0 k = 0 Geradengleichung die Gerade steigt die Gerade fällt die Gerade verläuft parallel zur -Achse d > 0 d < 0 d = 0 Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse oberhalb der -Achse Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse unterhalb der -Achse Die Gerade y = k verläuft durch den Ursprung y = k+ d inhomogene lineare Gleichung, nicht durch den Ursprung y = k homogene lineare Gleichung, durch den Ursprung (d) Aufstellen von Geradengleichungen Jeder Punkt der Funktion y = k +d wird durch diese Funktionsgleichung beschrieben. Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so führen seine Koordinaten beim Einsetzen in die Funktionsgleichung zu einer wahren Aussage. Kennt man andererseits nur einzelne Bestimmungsstücke, so muß man die Funktionsgleichung erst aufstellen. Wir können hier zwischen zwei grundlegenden Möglichkeiten analog zur Konstruktion unterscheiden: - Ein Punkt der Geraden ist bekannt und der Wert von k oder d Ein-Punkt-Form - Zwei Punkte der Geraden sind bekannt Zwei-Punkt-Form Ein-Punkt-Form der Geradengleichung Kennt man einen Punkt P( 1 y 1 ) von einer Funktion y = k +d, und den Wert von k bzw. d, so kann man mit diesen Bestimmungstücken in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und den fehlenden Wert für d bzw. k berechnen

3 Gleichungen, Gleichungssysteme Beispiel: Gegeben ist ein Punkt P(1/7) einer Geraden. Der Anstieg beträgt k =. Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden. Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung y = k + d 7 = 1 + d 7 = d 5 = d Die Geradengleichung lautet daher: g: y = + 5. Beispiel: Gegeben ist ein Punkt Q( 5) einer Geraden, d = 3. Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden. Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung y = k + d 5 = k = k = k 1 = k Die Geradengleichung lautet daher: g: y = + 3. Ein-Punkt-Form mit P( 1 y 1 ) und k: y y 1 = k ( 1 ) mit P( 1 y 1 ) und d: 1 (y d) = (y 1 d) Zwei-Punkt-Form der Geradengleichung Kennt man zwei Punkte P( 1 y 1 ) und Q( y ) von einer Funktion y = k +d, so kann man mit diesen Bestimmungstücken den Anstieg k bestimmen und dann in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und den fehlenden Wert für d berechnen

4 Gleichungen, Gleichungssysteme Beispiel: Gegeben sind die Punkte P(1 4) und Q(4 ) einer Geraden. Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden. 4 k = = d = y1 k1 = y k d = 4 = 3 Die Geradengleichung lautet daher: g: y = Zwei-Punkt-Form mit P( 1 y 1 ) und Q( y ) y y = ( ) 1 y y 1 1 Wir können ferner bei jeder linearen Funktion mit k 1 einen Punkt finden, bei dem der - Wert gleich dem y-wert ist. Man bezeichnet diesen Punkt als den Fipunkt der linearen d d Funktion. Dieser Fipunkt ist dann F( 1 k 1 k )

5 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades (d) Lösungsformel für a + b + c = 0 Die bisherigen quadratischen Gleichungen waren alle in der Form + p + q = 0, der Koeffizient für war also stets 1. Für diese Normalform gilt die hergeleitete Lösungsformel. Im folgenden soll diese Normalform noch verallgemeinert werden; ist der Koeffizient für nicht 1, so erhält man die allgemeine Form der quadratischen Gleichung a + b + c = 0. Unter einer allgemeinen quadratischen Gleichung in einer Variablen versteht man eine Gleichung der Gestalt: a + b + c = 0 mit a, b, c R, a 0 Diese Gleichung läßt sich durch Division durch a auf die bekannte Normalform bringen. Umformung b a c + + = 0 a Für diese Gleichung gilt die Lösungsformel mit p der Lösungsformel ein, so erhält man b c = und q =. Setzt man mit diesen Werten allgemein in a a b b c b b ac b b ac = 1 1 ± a 4 = ± = ± 4 4 a a a 4a 4a a Die Diskriminante D sieht daher wie folgt aus: D = b 4 ac Wie bei der Normalform können wir folgende Fälle für die Lösung unterscheiden: Die allgemeine quadratische Gleichung a + b + c = 0 mit mit a, b, c R, a 0 und der Diskriminante D = b 4 ac hat die folgenden Lösungen, wenn D > 0: 1 b b 4ac = a b b 4ac = + a D = 0: b 1 = = a D < 0: keine reelle Lösung L = { }

6 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades Beispiel: = 0 1, 1, ( 107) ( 107) 4 10 ( 156) = ± ± ± 133 = = =, = 1 10 (e) Zerlegung in Linearfaktoren - Satz von Vieta Betrachtet man die Summe und das Produkt der beiden Lösungen der Gleichung + p + q = 0, so kann man einen interessanten Zusammenhang zwischen den Lösungen erkennen: Summe: + p p 1 = D + + D = p p p p Produkt: D D D p p = 1 q q + = = = Die Zahlen 1 und sind genau dann Lösung einer quadratischen Gleichung in der Normalform + p + q = 0, wenn gilt: Die Summe der Lösungen ist 1 + = p und das Produkt der Lösungen ist 1 = q. Für die allgemeine quadratische Gleichung a + b + c = 0 gelten analoge Formeln: b c a + b + c = 0 : 1 + = 1 = a a Ersetzt man in der quadratischen Gleichung p und q durch die entsprechenden Ausdrücke ( 1 + ) und 1, so erhält man eine andere Darstellung der Gleichung in Abhängigkeit von ihren Lösungen 1 und : + p+ q = ( + ) + = = ( ) ( ) = ( ) ( ) =

7 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades Hat die quadratischen Gleichung in Normalform + p + q = 0 die Lösungen 1 und, so läßt sich der Gleichungsterm als Produkt zweier Linearfaktoren anschreiben: + p + q = ( 1 ) ( ) Satz von VIETA Da in den beiden Klammern der Aufspaltung die Variable linear auftritt, bezeichnet man diese Klammern als Linearfaktoren. Für die allgemeine quadratische Gleichung a + b + c = 0 gilt analog: a + b+ c = a ( ) ( ) 1 Beispiel: Zerlegen Sie in Linearfaktoren. Lösen der quadratischen Gleichung Überprüfung p, q 1, = 0 = 3± 9+ 7 = 7, = = 7 + 1= = 7 Linearfaktoren = ( + 7) ( 1) Beispiel: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind 1 = 7 und = 8. Ermitteln Sie die quadratische Gleichung. ( + ) = p 1 ( 7 + 8) = 1 = q ( 7) 8 = 56 Gleichungsterm 56 =

8 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades (f) Graphische Darstellung Unter einer quadratischen Funktion versteht man eine Funktion der Gestalt: f: R R a + b + c a, b, c R, a 0 Will man den Graphen dieser Funktion untersuchen, so ist es sinnvoll, mit der reinquadratischen Funktion y = a zu beginnen. Ist der Koeffizient a = 1, so erhält man die sogenannte Grundparabel. Die Funktion y = bezeichnet man als Grundparabel. Der Graph der Funktion y = a geht aus der Grundparabel durch Dehnung (a>1) oder Stauchung (0<a<1) in Richtung der y-achse hervor. Ist der Koeffizient a darüberhinaus negativ, so erfolgt zusätzlich eine Spiegelung an der -Achse. Alle Funktionen der Gestalt y = a verlaufen durch den Ursprung; dieser Punkt, der entweder der tiefste oder der höchste der Funktion ist, wird der Scheitel der Parabel genannt. Weiters ist die Funktion symmetrisch zur y-achse (Symmetrieachse); man spricht von einer sogenannten geraden Funktion, da nur gerade Hochzahlen bei der Variablen in der Funktionsgleichung auftreten

9 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades Betrachtet man nun weiter den Graph der allgemeinen quadratischen Funktion y = a + b + c, so bewirkt die Konstante c eine Verschiebung in y-richtung, das Glied b bewirkt eine Verschiebung in -Richtung. Der Graph dieser Funktion schneidet die -Achse in zwei Punkten, den Nullstellen. Der y-wert ist in diesen Punkten gleich Null. Will man die -Werte der Nullstellen berechnen, so erhält man die Gleichung a + b + c = 0, die mit der bekannten Formel zu lösen ist. Damit ist die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung auch graphisch interpretierbar. Schneidet die zugehörige Funktion die -Achse in zwei Nullstellen, so entspricht dies den beiden Lösungen. Sitzt der Graph der Funktion mit dem Scheitel auf der -Achse auf, so gibt es nur eine Lösung. Befindet sich der Graph der Funktion komplett ober- oder unterhalb der -Achse, so gibt es keine Lösung. Der Scheitel der Funktion ist nun ebenfalls aus dem Ursprung verschoben. Will man die Koordinaten dieses Punktes berechnen, formt man die Funktionsgleichung durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat um. b y a b c a a c b b c = + + = + + a a = + a a a 0 Das Quadrat in der Klammer ist immer größer oder gleich Null, es kann als minimalen Wert also nur Null annehmen. Zu diesem Quadrat wird immer ein von der Variablen unabhängiger Zahlenwert zu- bzw. abgezählt. Ist das Quadrat in der Klammer also Null, ergibt sich auf jeden Fall ein Etrempunkt, entweder der tiefste oder der höchste Punkt; das entspricht dem Scheitelpunkt. b b + = 0 = a a b S a b + 4ac 4a Abhängig vom Wert von a ist der Scheitel nun der tiefste Punkt (a>0) oder der höchste Punkt (a<0) der Funktion

10 Berechnungen mit dem Horner-Schema Das Hornerschema kann als Rechenhilfsmittel zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunktionen, zur Faktorisieriung von Polynomen alternativ zur Polynomdivision genutzt werden. Mit etwas Übung ist man mit der Berechnung über das Hornerschema schneller als die Polynomdivision. Vorbetrachtungen: Das Hornersche Schema beruht auf folgender Zerlegung, die für jedes Polynom möglich ist: p() = a n n + a n-1 n a + a 1 + a 0 = (a n n-1 + a n-1 n- + + a + a 1 ) + a 0 = ((...(a n + a n-1 ) + a n- ) + + a ) + a 1 ) + a 0 Wenn man also das Polynom an der Stelle berechnen möchte, kann man beginnend von links nach rechts nur mit Multiplikation und Addition bis nach rechts durchrechnen. Beispiel: p() = = (( + 5) 11) 3 Das Schema: p() = (( + 5) 11) 3 = 11 p(3) = (( 3 + 5) 3 11) 3 3 = 63 Wenn man die obige Berechnung tabellarisch aufschreibt, kann man folgendes Schema erhalten: a n a n-1 a n-... a 1 = 0 b n 0 b n b 1 0 b n = a n b n-1 = a n 0+ a n-1 b n- = b n-1 0+ a n-. b 1 =... b 0=b a 0 = p( 0) Koeffizienten des neuen Polynoms vom Grad n-1 Rest bzw. Wert an der Stelle 0 Olaf Schimmel, Staatl. Gymnasium Greiz,

11 Was hier im ersten Anblick recht kompliziert aussieht, vereinfacht sich stark, wenn man konkrete Zahlen einsetzt. Beispiel: p() = p = 9 7 p* Interpretation der letzten Zeile: (1) p() = 11 () p*() = Beschreibung der Rechenschritte: (1) Schreibe die Koeffizienten des Ausgangspolynoms in die erste Zeile des Schemas. () Übernimm in der linken Spalte den ersten Koeffizienten. (3) Multipliziere nun entlang des ersten Pfeiles mit 0. (4) Bilde die Summe in der zweiten Spalte. (5) Multipliziere das Ergebnis mit 0 (zweiter Pfeil) usw. (6) Die letzte Zahl in der letzten Zeile ist der Funktionswert. (7) Die anderen Zahlen sind die Koeffizienten des Restpolynoms p*. Es gilt stets: p() p( 0 ) = p*() ( 0 ) Beispiel: p() = Probierlösung: = p = - -4 p* Olaf Schimmel, Staatl. Gymnasium Greiz,

12 Interpretation der letzten Zeile: (1) p() = 0 (Bestätigung der Nullstelle von p) () p() = ( 3 + 1)( ) Die erste Klammer des Ausdrucks (also p*) könnte nun ebenfalls mit dem Hornerschema weiter entwickelt und faktorisiert werden. Beispiel zur mehrfachen Anwendung: p() = 4 3, ,5 9 p 1-3,5-13,5-9 1 = 1 1 -,5-4, ,5-4,5 9 0 = ,5 4,5 0 3 = 3 3-4,5 1-1,5 0 p() = ( 1)( + )( 3)( 1,5) weitere Anwendungen: 1. Zerlegung einer gebrochen rationalen Funktion Aufgabenstellung: Gegeben ist die gebrochen-rationale Funktion y=f = 3 6. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten und asymptotischen Funktionen. Lösung: Die Polasymptote lautet offensichtlich: = - (Hier wird nur der Nenner 0.) Olaf Schimmel, Staatl. Gymnasium Greiz,

13 Bestimmung der schrägen Asymptote mit dem Hornerschema: Wir entwickeln den Zähler an der Stelle = -, denn hier wird der Nenner gerade 0. z() = Ergebnis: y=f = 4 Die asymptotische Funktion ist eine quadratische Parabel mit: y = a() = Man bemerkt bei diesem Beispiel, dass der Funktionswert des Zählers an der Stelle 0 auch dem Zähler des Restgliedes entspricht. (hier 4). Bemerkung: Beachten Sie, dass diese Methode nur bei linearem Nenner so schnell funktioniert. Hat der Nenner höheren Grad, so wären nacheinander alle Nullstellen des Nenners zu entwickeln. In diesem Fall ist man mit Polynomdivision sicherlich schneller.. Bestimmung der Tangente t an eine Polynomfunktion im Berührungspunkt Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f mit: y = f() = im Kurvenpunkt P(; f()). Lösungsidee: Zur Lösung dieses Aufgabentyps kann man ausnutzen, dass sich bei zweimaliger Anwendung des Hornerschemas auch der Wert der Ableitung an der Stelle direkt ergibt. Somit hat man nicht nur y = f( 0 ) sondern auch m = f'( 0 ) sofort bestimmt. Nach zweimaliger Anwendung für dasselbe 0 erhält man rechts den Wert der ersten Ableitung. Olaf Schimmel, Staatl. Gymnasium Greiz,

14 Lösung: Wir entwickeln die Funktion f zweimal nacheinander an der Stelle 0 = : f = = f() = 3; f'() = 13 Beide Werte kann man nun in die Tangentengleichung einsetzen: y = m + n: 3 = 13 + n Daraus ergibt sich: n = -3 Und als Tangentengleichung: y = Bemerkung: Es könnte sich nun die Frage stellen: Wie sieht es mit der Berechnung von höheren Ableitungen aus? Bereits bei der zweiten Ableitung erhält man nach dreimaliger Anwendung des Schemas nicht mehr direkt den Wert dieser, sondern nur noch die Hälfte des Wertes der zweiten Ableitung. Prüfen Sie dies selbst anhand geeigneter Beispiele nach! Olaf Schimmel, Staatl. Gymnasium Greiz,

15 Quadratische Gleichungen, Gleichungen höheren Grades (b) Zerlegung in Linearfaktoren - Satz von Vieta Soll P n () einen bestimmten Wert annehmen, ergibt sich eine Gleichung n-ten Grades in einer Variablen (im speziellen P n () = 0). n n 1 Gleichung n-ten Grades a + a a + a = n n Möchte man eine Gleichung höheren Grades lösen, steht man vor dem Problem, daß es keine allgemeine Lösungsformeln für Polynomgleichungen für n>3 gibt, wie sie bereits von linearen und quadratischen Gleichungen bekannt sind. Es läßt sich allerdings der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen verallgemeinern. Sind 1,,..., n die Lösungen einer Gleichung n-ten Grades, dann läßt sich die Gleichung als Produkt von n Linearfaktoren darstellen: n n 1 a + a a + a = a ( ) ( )... ( ) Satz von VIETA n n n 1 n Ist eine Lösung 1 der Gleichung bekannt, so ist es möglich mittels Polynomdivision durch den Linearfaktor ( 1 ) die Gleichung zu vereinfachen, da sich die zu lösende Gleichung um einen Grad vermindert. Eine weitere Folgerung aus dem Satz von Vieta ist, daß die Zahl der reellen Lösungen höchstens gleich dem Grad n des Polynoms sein kann. Selbstverständlich sind auch hierbei Mehrfachlösungen wie bereits bei den quadratischen Gleichungen denkbar. Der erste Schritt zur Lösung der Gleichung ist also das Auffinden einer ersten Lösung 1. Sind die Koeffizienten a i und diese Lösung ganzzahlig ( 1 Z), so ist diese Lösung ein Teiler des konstanten Gliedes a 0 ; ist die Lösung aus den rationalen Zahlen ( 1 Z), dann hat sie die Form p q (p,q Z, q 0), wobei p ein Teiler von a 0 und q ein Teiler von a n ist. Man kann also durch Einsetzen der möglichen rationalen Lösungen in die Polynomfunktion mittels Schema von Horner eventuell eine Lösung der Gleichung finden. Ist eine Lösung gefunden, wird das Polynom durch den Linearfaktor ( 1 ) dividiert. Ist der Grad des Polynoms immer noch größer als, so beginnt das Verfahren von vorne. Zweckmäßigerweise verwendet man für das Horner-Schema die bereits gefundenen möglichen Lösungen; man kann diese Menge jedoch zumindest auf die Teiler, die kleiner oder gleich dem neuen konstanten Glied sind, einschränken

16 Typische Funktionen in der Ökonomie (siehe dazu auch Hauke/Opitz, Kapitel.1 +.) Lineare Preis-Absatz-Funktion : p( ) = a b = Absatz, Produktionsmenge, p = Preis je Mengeneinheit Lineare Absatz-Preis-Funktion (Umkehrfunktion der Preis-Absatz-Funktion): a 1 ( p) = p = Absatz, Produktionsmenge, p = Preis je Mengeneinheit b b Umsatzfunktion/Erlösfunktion U ( ) = p( ) U ( p) = p ( p) Lineare Kostenfunktion K( ) K + k K fi = Fikosten, k v = variable (Stück-)Kosten Stückkosten k( ) = = fi K ( ) v Gewinnfunktion G( ) = U( ) K( ) = D( ) Kfi ( ) D() = Deckungsbeitrag Stückgewinn g( ) = p( ) k( ) Produktionsfunktion = (v) v = Rohstoff-/Materialeinsatz mit der Umkehrfunktion v = v(), die den Materialverbrauch angibt Übung: Bearbeiten Sie die Aufgaben 1 und.. Differentialrechnung bei einer Funktion mit einer Veränderlichen dy Ableitung einer Funktion y = f '( ) = (gibt Anstieg einer Tangente im Punkt an) d Synonyme: Ableitungsfunktion / Grenzfunktion / Marginalfunktion 5

17 Übersicht über wichtige spezielle Ableitungsregeln Funktion 1.Ableitung Funktion 1.Ableitung f ( ) = c f '( ) = 0 f ( ) = e f '( ) = e f = n ( ) f '( ) = n n 1 f ( ) = ln n n 1 g( ) ( f ( )) n ( f ( )) f '( ) ( ) e ln f ( ) f ( ) f ( ) f = h( ) f ( ) = g( ) 1 f '( ) = f '( ) = g'( ) e f '( ) = g( ) g'( ) f ( ) h'( ) ln g( ) + h( ) g( ) g > 0 Allgemeine Ableitungsregeln (1) Faktorregel: Ableitung von c f() ist c f () () Summenregel: Ableitung von f()±g() ist f () ±g () (3) Produktregel: Ableitung von f() g() ist g() f () +f() g () (4) Kettenregel: Ableitung von f(g()) ist f (g()) g () (5) Quotientenregel: f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) Ableitung von ist g( ) g ²( ) Übung: a) Bearbeiten Sie die Aufgaben 3 und 4. 4 ( 7) b) Bestimme die 1. Ableitung von y ( 3 ) 3 =. 4 3 c) Bestimme die höheren Ableitungen von y = Ökonomische Interpretation der 1. Ableitung Sie beschreibt näherungsweise die Funktionswertveränderung bei Änderung der unabhängigen Variablen um 1 Einheit. z.b. K () = Grenzkostenfunktion; sie gibt ungefähr die zusätzlichen Kosten an, die bei der Erhöhung der Produktion um eine Einheit anfallen. Übung: a) Bestimme und zeichne Durchschnitts- und Grenzkostenfunktion von K() = ,5. b) Interpretiere Grenzsteuersatz und Durchschnittssteuersatz, Grenzumsatz, marginale Konsumquote. Analyse von Funktionen mit Hilfe der Ableitung Monotonie f () 0 (f () > 0) [a,b] D f f() ist (streng) monoton wachsend f () 0 (f () < 0) [a,b] D f f() ist (streng) monoton fallend Krümmung (Konkavität oder Konveität) f () 0 [a,b] D f f() auf [a,b] konve (nach oben geöffnet) ökonomisch: progressiv wachsend, degressiv fallend f () 0 [a,b] D f f() auf [a,b] konkav (nach unten geöffnet) 6

18 Ableitungsregeln SchulWiki Köln von :35 => Summenregel => Beispiel => Faktorregel => Beispiel => Differenzregel => Beispiel

19 Ableitungsregeln SchulWiki Köln 3 von :35 => Produktregel => Beispiel 1 Beispiel

20 Ableitungsregeln SchulWiki Köln 4 von :35 Quotientenregel => Beispiel Kettenregel bzw. mit => Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

21 Ableitungsregeln SchulWiki Köln 5 von :35 Beispiel Hilfestellung Beispiel von oben: Also: Umkehrregel Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen Von

22 Wirtschaftsmathematik Lösung Teil 1, Gesamtkostenfunk... Lösung Teil 1 Stichwortsuche: Suchen Kontakt: Michael Weber Gesamtkostenfunktion K mit K()=0, , kap =850. Die Gesamtkostenfunktion K ordnet jeder Ausbringungsmenge die jeweiligen Kosten K() zu. K ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Definitionsbereich [0; 850]. Der Schnittpunkt des Graphen von K mit der Ordinate liegt bei (0; 50000). Dies bedeutet, dass bei einer Produktionsmenge von 0 ME (hier: Maschinen) GE (hier z.b. ) Fikosten anfallen; z. B. für die Miete der Fabrikhalle. Die fien Kosten betragen also K f = GE. Subtrahiert man die fien Kosten von den Gesamtkosten so erhält man die variablen Gesamtkosten K v, es gilt K v ()=0, Zu den variablen Kosten gehören z. B. die Materialkosten. Der Graph von K ist s-förmig. Er ist streng monoton steigend (Nachweis mit Hilfe des Monotoniekriteriums), d. h., mit zunehmender Ausbringungsmenge (Produktionsmenge) nehmen auch die Gesamtkosten zu. Im Wendepunkt von K ist die Steigung am geringsten. Hier würde es sich also lohnen die Produktionsmenge zu erhöhen, denn die Gesamtkosten steigen dabei nur unwesentlich. Der Wendepunkt kann mit Hilfe von K'' und K''' berechnet werden. Es gilt K'()=0, , K''()=0,06-18 und K'''()=0,06. Hinreichend für das Vorliegen einer Wendestelle ist K''( w )=0 und K'''( w ) 0. Es gilt 0,06 w -18=0, d. h. w =300 und K'''( w )=0,06>0, d. h., w =300 ist eine Wendestelle von K. Wegen K(300)= ist W(300/610000) Wendepunkt von K. Grenzkostenfunktion K' Unter Grenzkosten versteht man in der Wirtschaftstheorie den Kostenzuwachs, der durch die Herstellung einer zusätzlichen (math.: unendlich kleinen) Ausbringungsmenge entsteht. Die Grenzkostenfunktion K' ist die 1. Ableitungsfunktion der Gesamtkostenfunktion K; sie besitzt die Gleichung K'()=0, Das Minimum der Grenzkostenfunktion K' befindet sich an der Wendestelle von K, also bei 300 ME. An der Wendestelle von K sind die Grenzkosten minimal. Funktion der variablen Durchschnittskosten (Stückkostenfunktion) k v Die variablen Stückkosten berechnet man, indem man die variablen Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also, 0. Also: k v ()=0, Bei welcher Produktionsmenge sind die variablen Stückkosten am geringsten? Hierzu ist das Minimum von k v zu bestimmen. Es gilt k v '()=0,0-9 und k v ''()=0,0. 1 von :35

23 Wirtschaftsmathematik Lösung Teil 1, Gesamtkostenfunk... von :35 Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von k v ist k v '( min )=0 und k v ''( min )>0. Diese Bedingungen werden von min =450 erfüllt. Diese Menge bezeichnet man als Betriebsminimum. Die variablen Stückkosten betragen im Betriebsminimum k v (450)=975. Würde man 975.-GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden bei einer Ausbringungsmenge von 450 Maschinen gerade noch die variablen Stückkosten gedeckt werden, nicht aber die Fikosten. Dies kann sich ein Betrieb nur kurzfristig leisten. Man bezeichnet k v ( min ) als kurzfristige Preisuntergrenze p uk. Stückkostenfunktion k Die Stückkosten berechnet man, indem man die Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also, 0. Also: k()=0, Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten am geringsten? Hierzu ist das Minimum von k zu bestimmen. Es gilt k'()=0,0-9 - und k''()=0,0+. Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von k ist k'( opt )=0 und k''( opt )>0. Es gilt: 0,0 opt =0 * opt, opt 0 0,0 opt 3-9opt =0 : 0,0 opt 3-450opt =0 Mit Hilfe des Newton-Verfahrens oder eines netten kleinen Rechenprogramms erhält man opt =500 als Lösung obiger Gleichung und es gilt k''(500)>0. Diesen Wert bezeichnet man als Betriebsoptimum. Die Stückkosten betragen im Betriebsoptimum k(500)=1500. Würde man GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden alle Stückkosten bei einer Ausbringungsmenge von 500 Maschinen gedeckt werden. Dies kann sich ein Betrieb längerfristig leisten. Man bezeichnet k( opt ) als langfristige Preisuntergrenze p ul. Fahre mit dem Mauszeiger über die Graphik und erfahre die Zusammenhänge zwischen den Funktionen!

24 Übungsaufgaben zur Nachqualifikation Mathematik IT-Kompaktkurs Prof. Dr. Wolfgang Hauke / Prof. Dr. Peter Pflaumer Aufgabe 1: Ein Betrieb hat Fikosten von EUR und stellt von einem Produkt Stück her. Der Preis pro Stück beträgt 80 EUR und die variablen Kosten pro Stück 5 EUR. Nach einer Preiserhöhung auf 90 EUR sinkt die abgesetzte Menge von auf Stück, wobei ein linearer Zusammenhang zwischen Preis und Absatz angenommen wird. a) Stellen Sie die Preis-Absatz-Funktion und die Kostenfunktion auf. b) Ermitteln Sie Gewinn- und Umsatzfunktion. In welchem Preisbereich macht der Betrieb Gewinn? c) Wie lautet die Durchschnittskostenfunktion? Aufgabe : Ein Unternehmen stellt das Elektrowerkzeug POWERSTAR her. Der Verkaufspreis beträgt 100$ pro Stück. Der Jahresabsatz ist 1 Million Stück. Die variablen Stückkosten betragen 60$. Die Fikosten belaufen sich auf 30 Millionen $. Die Unternehmensleitung von POWERSTAR bezweifelt, daß beim gegenwärtigen Preis von 100$ der größtmögliche Gewinn erzielt wird. Es sollen die Auswirkungen von Preisänderungen in einem Intervall von +10% (+0%) bzw. -10% (-0%) geprüft werden (aus: H. Simon/ R.J.Dolan: Profit durch Power Pricing, Frankfurt-NewYork 1997). a) In einem ersten Schritt will die Unternehmensleitung wissen, welche Absatzmenge bei alternativen Preisen erforderlich ist, um den gleichen Gewinn wie vorher zu erzielen. b) Betrachten Sie Preisänderungen und die erforderlichen Änderungen der Absatzmenge in einem allgemeineren Zusammenhang in einer Graphik. Auf der horizontalen Achse sollen die variablen Stückkosten als Prozentsatz des gegenwärtigen Preises dargestellt werden. Die vertikale Achse sollen die erforderliche prozentuale Steigerung der Absatzmenge (oben) und die zulässige prozentuale Senkung der Absatzmenge (unten) enthalten, um den gleichen Gewinn zu erzielen. Gehen Sie von Preisänderungen von 10% und 0% aus. c) Durch Eperten- und Kundenbefragungen vermutet die Unternehmensleitung, daß bei einem Preis von 60$ der Absatz auf 1,8 Millionen (bei einer linearen Preis-Absatz-Funktion) steigen würde. Helfen Sie der Unternehmensleitung, den optimalen Preis von POWERSTAR zu finden, indem Sie eine Graphik der Zusammenhänge erstellen. d) Die Preiselastizität ist definiert als das Verhältnis von prozentualer Änderung der Absatzmenge zu prozentualer Änderung des Preises. Bestimmen Sie die Preiselastizität bei den Preisen 60$ und 100$ sowie beim optimalen Preis. Aufgabe 3: Bestimmen Sie die 1. Ableitungen folgender Funktionen: a) y = ( 4 5) b) y = 3( 4 5) c) y = ( 5 1)( 3 + 4) 3 ( 9 )( 7 + 3) 3 1 d) y = f) y = ( 5 ) 4 y = e) 5 + 5

25 Aufgabe 4: Bestimmen Sie die 1. Ableitungen folgender Funktionen: a) 3 y = ln b) y ln( 1 + ) ( ln ( 5 + 6) ) y = e) y = e ln f) Aufgabe 5: y = c) y 5 ln (ln ) = 3e g) = d) e e = y g) Die Stückkostenkurve eines Betriebes lautet: k ( ) = + 0, y = für >0 Bei einem Preis von 450 EUR werden Stück, bei einem Preis von 500 EUR werden Stück abgesetzt, wobei ein linearer Zusammenhang zwischen Preis und Absatz unterstellt wird. Bestimmen Sie a) Kostenfunktion b) Preis-Absatz-Funktion c) Umsatzfunktion. Bei welchem Preis ist der Umsatz maimal? d) Gewinnfunktion. Bei welchem Preis ist der Gewinn maimal? Bei welchem Preis ist der Stückgewinn maimal? e) In welchem Preisbereich macht der Betrieb Gewinne? f) Bestimmen Sie die Preiselastizitäten bei einem Preis von 500 EUR, beim optimalen und beim umsatzmaimalen Preis. Aufgabe 6: Gegeben: Nachfragefunktion = 80-0p Kostenfunktion: K() = K fi + Gesucht: a) Grenzkostenfunktion b) Umsatzfunktion c) Gewinnfunktion d) Optimaler Preis e) Obergrenze von K fi für einen positiven maimalen Gewinn. Aufgabe 7: Ein Unternehmen stellt quaderförmige Schachteln her, deren Grundfläche ein Quadrat bilden. Wie sind die Ausmaße zu wählen, damit die Schachteln a) mit b) ohne Deckel den Inhalt von 100 cm 3 haben und zu ihrer Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird? Aufgabe 8: Die Materialausgabestelle eines Reparaturbetriebes wird pro Stunde durchschnittlich von 0 Arbeitern aufgesucht. Die durchschnittliche Wartezeit pro Arbeiter hängt ab von der Zahl der in der Ausgabestelle Beschäftigten und betrage t = 0 Minuten. Der Stundenlohn beträgt EUR 7,-- für einen in der Produktion und EUR 5,-- für einen in der Ausgabe beschäftigten Arbeiter. Wie viele Arbeitskräfte sind in der Ausgabestelle einzustellen, um die Kosten der Ausgabestelle pro Stunde, d.h. die Summe der Personalkosten pro Stunde und der durchschnittlichen Wartekosten pro Stunde, zu minimieren.

26 Differentialrechnung (g) Symmetrieeigenschaften Gerade bei der Diskussion von Polynomfunktionen kann man zuweilen ein Symmetrieverhalten des Graphen feststellen. Hierbei sind folgende Fälle zu unterscheiden: Symmetrie bezüglich der -Achse: Eine Kurve ist symmetrisch zur -Achse, wenn für jeden Punkt P( y) auch der Punkt P ( y) Element der Kurve ist. Dieser Fall tritt jedoch nur selten auf, da es sich bei dieser Kurve um keine Funktion handelt. Beispiel: y = Symmetrie bezüglich der y-achse: Eine Kurve ist symmetrisch zur y-achse, wenn für jeden Punkt P( y) auch der Punkt P( y) Element der Kurve ist. Es muß also gelten: f ( ) = f( ) Dies gilt im speziellen bei den sogenannten geraden Polynomfunktionen; das sind jene Polynomfunktionen, die nur gerade Eponenten aufweisen. 4 Beispiel: y = Symmetrie bezüglich des Ursprungs: Eine Kurve ist symmetrisch zum Ursprung, wenn für jeden Punkt P( y) auch der Punkt P( y) Element der Kurve ist. Es muß also gelten: f ( ) = f( ) Dies gilt im speziellen bei den sogenannten ungeraden Polynomfunktionen; das sind jene Polynomfunktionen, die nur ungerade Eponenten aufweisen. Sie verlaufen alle durch den Ursprung. Beispiel: y = Symmetrie bezüglich des Wendepunktes: Eine Kurve ist symmetrisch zu ihrem Wendepunkt W( w y w ), wenn für jeden Punkt P( y) auch der Punkt P( y y) Element der Kurve ist. Bei mehreren Wendepunkten gilt die Symmetrie bezüglich der einzelnen Wendepunkte zuweilen nur in einem bestimmten Intervall. Es muß gelten: f ( ) f( ) = f ( ) w w w w 3 Beispiel: y = mit W( 16) Es ist noch anzumerken, daß das Zutreffen einer Symmetrieeigenschaft die anderen ausschließt (Ausnahme: Ursprung ist auch Wendepunkt)

27 Differentialrechnung (h) Zusammenfassung Kurvendiskussion Hinreichende Bedingung Notwendige Bedingung Nullstellen f() = 0 f() = 0 Etremstellen f () = 0 und f () 0 f () = 0 und Vorzeichenwechsel von f () beim Durchgang durch die Etremstelle lokale Maimumstelle f () = 0 und f () < 0 f( ε) f() und f(+ε) f() für eine Umgebung ] ε;+ε[ lokale Minimumstelle f () = 0 und f () > 0 f( ε) f() und f(+ε) f() für eine Umgebung ] ε;+ε[ Monotonieverhalten zunehmend abnehmend f () 0 monoton f () > 0 streng monoton f () 0 monoton f () < 0 streng monoton 1 < f( 1 ) f( ) monoton 1 < f( 1 ) < f( ) streng monoton 1 < f( 1 ) f( ) monoton 1 < f( 1 ) > f( ) streng monoton Wendestellen f () = 0 und f () 0 f () = 0 und Vorzeichenwechsel von f () beim Durchgang durch die Wendestelle Krümmungsverhalten positiv oder linksgekrümmt f () > 0 Alle Punkte in einer Umgebung ] ε;+ε[ liegen oberhalb der Tangente negativ oder rechtsgekrümmt f () < 0 Alle Punkte in einer Umgebung ] ε;+ε[ liegen unterhalb der Tangente Diese Auflistung ist nur als Grundschema für Polynomfunktionen zu verstehen. Die Funktionen in den weiteren Abschnitten zeigen, daß dieses Schema noch einer Erweiterung bedarf

28 Differentialrechnung (e) Ableitung der Winkelfunktionen Die Herleitung der Ableitungen für die Winkelfunktionen ist nur mit den Mitteln der eakten Grenzwertdefinition möglich und übersteigt daher den Rahmen dieses Skriptums. Daher werden im folgenden nur die Ergebnisse der Bildung des Differentialquotienten angeführt. Dabei ist zu beachten, daß die Regeln nur dann Gültigkeit haben, wenn die Argumente für die Winkelfunktionen im Bogenmaß gegeben sind. Die Funktion sin() ist für alle R differenzierbar und es gilt: sin ( ) = cos( ) Die Funktion cos() ist für alle R differenzierbar und es gilt: cos ( ) = sin( ) Die Funktion tan() ist für alle R \ {(k+1) π} differenzierbar und es gilt: tan ( ) = 1 cos ( ) Die Ableitung von tan() bzw. auch für cot() ist mittels Quotientenregel durch sin() und cos() herleitbar. Beispiel: Differenzieren Sie die Funktion f( ) = cot( ). cos( ) f( ) = cot( ) = sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) f ( ) = = sin ( ) (sin ( ) + cos ( )) 1 = sin ( ) sin ( ) Beispiel: Differenzieren Sie die Funktion f( ) = ( 1 cos( )) f ( ) = ( 1 cos( )) sin( ) = 4 sin( ) ( 1 cos( )). Im vorigen Beispiel mußte zweimal die Kettenregel zur Ermittlung der Ableitung angewendet werden

29 Differentialrechnung (f) Ableitung der Eponentialfunktion und der Logarithmusfunktion Die Eponentialfunktion e ist an jeder Stelle R differenzierbar und es gilt: ( e ) = e Die Eponentialfunktion bleibt also beim Differenzieren unverändert. Die Ableitung der allgemeinen Eponentialfunktion f()=a ist aufgrund des Zusammenhangs a = e ln(a) und Verwendung der Kettenregel herleitbar. Die Eponentialfunktion a ist an jeder Stelle R (a R + ) differenzierbar und es gilt: ( a ) = a ln( a) Die Ableitung für die Logarithmusfunktion f() = ln() ist nun bereits herleitbar, denn es gilt: f ( ) ln( z) ln( ) = ) z Setzt man ln(z) = u und ln() = v, dann folgt daraus z = e u und = e v und für den Differenzenqoutienten: f ( ) ln( z) ln( ) u v 1 = = = u v u v ) z e e e e u v lim = = = u v u v u v v e e e e e lim u v u v u v Die Logarithmusfunktion ln() ist an jeder Stelle R + differenzierbar und es gilt: ln ( ) = 1 Ebenso erhält man für die allgemeine Logarithmusfunktion f() = log a () (Logarithmus zur Basis a) unter 1 Einbeziehung des Zusammenhangs log a( ) = ln( a) ln( ) : Die Logarithmusfunktion log a () ist an jeder Stelle R + differenzierbar und es gilt: [ log a( ) ] 1 1 = ln(a) - -

30 Differentialrechnung 1.7. Etremwertaufgaben Der folgende Abschnitt stellt eine einfache und dennoch eindrucksvolle Anwendung der Differentialrechnung dar. Ergibt sich eine Funktion als Beschreibung eines praktischen Problems, so bekommen die einzelnen Ergebnisse einer Kurvendiskussion natürlich eine interpretierbare Bedeutung; so lassen sich z.b. für eine Kostenfunktion eventuell die Produnktionsmengen ermitteln, an denen die Kosten ein Maimum oder ein Minimum betragen. Das folgende Beispiel soll den rechnerischen Ablauf zur Lösung der sogenannten Etremwertaufgaben darlegen. (a) Allgemeines Ablaufschema Beispiel: Ein Bauer besitzt 100m Draht und möchte damit einen rechteckigen Weideplatz für seine Tiere umzäunen. Wie groß müssen die Seitenlängen dieses Rechtecks gewählt werden, damit dessen Flächeninhalt möglichst groß wird. Wie groß ist dieser Flächeninhalt? Aus 100m Zaun lassen sich unterschiedliche Rechtecke mit den Seitenlängen a, b formen, die auch unterschiedlichen Flächeninhalt A haben; z.b. a = 10m, b = 40m und A = 400m oder a = 0m, b = 30m und A = 600m. Es stellt sich also zurecht die Frage, für welche Seitenlängen der Flächeninhalt möglichst groß wird. Die Größe, die ein Maimum oder ein Minimum annehmen soll, legt die sogenannte Hauptbedingung fest. Hauptbedingung (HB) A = a b In dieser Hauptbedingung treten meistens mehrere Variablen auf, zwischen denen es jedoch einen Zusammenhang gibt. Dieser Zusammenhang wird in der sogenannten Nebenbedingung festgehalten. Sie ergibt sich aufgrund eines geometrischen Zusammenhangs (Strahlensatz, pythagoräischer Lehrsatz, usw.) oder durch Beschränkungen, die sich aus der jeweiligen praktischen Anwendung ergeben. In diesem Beispiel ist z.b. der Weideplatz durch den vorgegeben Umfang von 100m, der Zaunlänge, beschränkt. Nebenbedingung (NB) 100 = a+ b Es können sich, abhängig von der Variablenzahl der Hauptbedingung, auch mehrere Nebenbedingungen ergeben. Im weiteren werden aus diesen Nebenbedingungen einzelne Variablen eplizit berechnet, sodaß - 3 -

31 Differentialrechnung durch Einsetzen mit den sich ergebenden Termen in der Hauptbedingung sich die Variablenzahl der Hauptbedingung auf eine Variable reduziert. Eplizite Nebenbedingung a = 50 b Einsetzen in Hauptbedingung A = ( 50 b) b = 50b b Die Hauptbedingung stellt sich nun als eine Funktion einer veränderlichen Größe dar. In diesem Beispiel ist der Flächeninhalt des Weideplatzes nun nur mehr von der Wahl der Seitenlänge b abhängig. HB als Funktion A( b) = 50b b Sucht man nun das Maimum oder Minimum dieser Funktion in einem bestimmten Intervall, so entspricht dies im Normalfall der Suche der Etremwerte in diesem Intervall. Die Funktion wird also nach der Veränderlichen abgeleitet und Null gesetzt. Ableitung, Nullsetzen A ( b) = 50 b 50 b = 0 b = 5 Wie bei der Kurvendiskussion müssen die errechneten Werte in der zweiten Ableitung auf ihre Etremwerteigenschaften überprüft werden. Überprüfung in der. Ableitung A ( b) = A ( 5) = < 0 Maimum Um das Ergebnis als brauchbare Lösung zu akzeptieren, muß der Wert für die Variable aus einem zulässigen Intervall sein, das sich durch die praktische Anwendung und durch Einschränkungen wie z.b. die Nebenbedingungen ergibt. Bei geometrischen Aufgaben ist auszuschließen, daß die veränderliche Größe negative Werte annimmt. In diesem Beispiel läßt die vorgegeben Zaunlänge von 100m zusätzlich keine Seitenlängen über 50m zu, da ansonsten die zweite Seitenlänge (rechnerisch) negativ wäre. Allgemein findet man die obere Grenze für eine Größe, indem man mit der unteren Grenze für die andere Variable in der Nebenbedingung einsetzt

32 Differentialrechnung Zulässiges Intervall für die Rechengröße b [ 050 ; ], 5 [ 050 ; ] Ist die errechnete Variable aus diesem Intervall, so brauchen abschließend nur noch die gefragten Größen errechnet werden, in diesem Beispiel also die Seitenlängen und der Flächeninhalt. Gefragte Größen a = 50 5 = 5, A = 5 5 = 65 Antwort Die Seitenlängen betragen jeweils 5m, der Flächeninhalt 65m. (b) Randetremstellen Beispiel: Ein fest montierter, geradliniger, 100m langer Zaun soll durch Anfügen von weiteren 80m Zaun zu einer Umzäunung eines rechteckigen Platzes von größtem Flächeninhalt verwendet werden. Wie sind die Maße des Rechtecks zu wählen? Wie groß ist der Flächeninhalt der Umzäunung? Es gibt nun die Möglichkeit, die Vorgabe des fien Zaunstücks von 100m in der Hauptbedingung oder in der Nebenbedingung zu berücksichtigen. Zur Verdeutlichung der sich ergebenden Situation wird im folgenden der zweite Weg vorgezeigt. Hauptbedingung A = a b In der Nebenbedingung wird nun berücksichtigt, daß für den Umfang 100m Zaun weniger benötigt werden. Nebenbedingung 80 = a+ b 100 eplizite Nebenbedingung a = 190 b Durch Einsetzen in der Hauptbedingung ergibt sich: Hauptbedingung A( b) = ( 190 b) b = 190b b Ableitung, Nullsetzen A ( b) = 190 b 190 b = 0 b =

33 Differentialrechnung Überprüfung. Ableitung A ( b) = A ( 95) = Maimum Überlegt man sich nun das zulässige Intervall für die Größe b, so gibt es diesmal einen vorgegebenen Minimalwert für b, wenn b diejenige Seitenlänge ist, auf der die 100m fier Zaun stehen. Dann muß b nämlich mindestens 100m lang sein. Die Obergrenze für b ergibt sich durch Einsetzen der Minimallänge für die Seitenlänge a (=0) in der Nebenbedingung: 80 = b 100, b = 190. Zulässiges Intervall für die Rechengröße b [ 100; 190 ], 95 [ 100; 190 ] Das errechnete b = 95 ist also nicht Element dieses Intervalls. Das bedeutet, daß in dem zulässigen Intervall für b keine Etremstelle vorhanden ist. Dennoch gibt es in dem Intervall einen maimalen Funktionswert. Dieser kann sich dann nur an einer der beiden Randstellen des Intervalls befinden. Setzt man also mit den beiden Intervallsgrenzen in die Funktion für die Fläche ein, so ergibt sich der gesuchte Maimalwert an der Stelle mit dem größeren Funktionswert. Bei Minimumaufgaben ist dies entsprechend umgekehrt. Überprüfung Randstellen Ab ( ) = 190b b A( 100) = 9000 A( 190) = 0 Bei einer Seitenlänge von b = 100 erhält man also den größten Flächeninhalt für diese Umzäunung. Antwort Die Seitenlängen betragen 100m und 90m, der Flächeninhalt beträgt 9000m. Hätte man bei den Überlegungen für das zulässige Intervall die Seitenlänge a als diejenige angenommen, auf der die 100m fier Zaun stehen, so hätte sich damit für b die Minimallänge b = 0 ergeben. Die zulässige Maimallänge erhält man wieder aus der Nebenbedingung durch Einsetzen von a = 100, der Minimallänge für a: 80 = 00 + b 100 und daher b = 90. Da der errechnete Wert b = 95 auch in diesem Fall nicht Element des Intervalls [0;90] gewesen wäre, hätte die Überprüfung wieder mit den Randstellen erfolgen müssen: A(0) = 0 und A(90) = Man erhält also auch bei diesem Ansatz dasselbe Ergebnis, da die Berechnung natürlich unabhängig von der Beschriftung der Seiten des Rechtecks erfolgt

34 Differentialrechnung Anhang: Übungsbeispiele zum 1. Kapitel 1/1 Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall: a) f() = [;5] b) f() = 3 + [ 1;3] c) f() = 3 [ 4; 1] d) f() = [ 3;0] 1/ Stellen Sie eine Formel für den Differentialquotienten f () auf und berechnen Sie f (1), f (5) und f (-0,8): a) f() = 3 b) f() = c) f() = d) f() = 1/3 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f() = 5 b) f() = 948 c) f() = a d) f() = n+ 1/4 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f( ) = b) f( )= c) f ( ) = d) f( ) = e) f( ) = f) f ( ) =

35 Differentialrechnung 1/5 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f( ) = 5a b a b + ab b) f( b) = 5a b a b + ab c) f( a) = 5a b a b + ab d) f( z)= 5a b a b + ab 1/6 Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: 3 a) f( )= b) f( ) = c) f( ) = d) f( ) = 5 3, 315 1/7 Lösen Sie folgende Gleichungen: 3 a) = 0 3 b) = 0 3 c) = 0 3 d) = 0 1/8 Bestimmen Sie die Etremstellen der folgenden Funktionen: a) f( )= b) f( ) = 3 3 c) f( ) = d) f( ) = /9 Bestimmen Sie die Etremstellen der folgenden Funktionen: 1 3 a) f ( )= b) f( ) =

36 Differentialrechnung 1/10 Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen: a) f( )= b) f( ) = 3 3 c) f( ) = d) f( ) = /11 Bestimmen Sie die Etremstellen und das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen mit Hilfe der. Ableitung: 1 a) f ( )= b) f( ) = c) f( ) = 4 d) f( )= e) f( )= /1 Bestimmen Sie die Wendestellen der folgenden Funktionen: 3 a) f( ) = b) f( ) = c) f ( ) = ( ) 4 3 d) f( ) = /13 Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten der folgenden Funktionen: a) f( )= b) f( )= c) f ( ) = d) f ( ) = ( )

37 Differentialrechnung 1/14 Führen Sie bei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f( )= b) f( )= c) f ( ) = ( )( + 8) d) f ( ) = ( 6 + 3) 8 1/15 Führen Sie bei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f ( ) = b) f ( ) = ( 3 9 5) c) f ( ) = d) f ( ) = /16 Führen Sie bei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f ( )= b) f( )= c) f( ) = 3 d) f( )= 4 1/17 Führen Sie bei folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f( ) = 4 3 b) f( ) = 9 c) f( ) = d) f ( ) =

38 Differentialrechnung 3 1/18 Der Graph der Funktion f( ) = a + b hat den Etrempunkt E(4 4) /19 Der Graph von f ( ) = + p + 8 hat den Wendepunkt an der Stelle. hat an der Stelle 4 den Wende- 1/0 Der Graph der Funktion f( ) = a + b + d punkt mit der Wendetangente t:3 y = /1 Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades geht durch P( 3) und hat in W(0 1) den Wendepunkt; die Steigung der Wendetangente ist 3. 1/ Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der -Achse als Wendetangente; im Punkt P( 1 0,75) beträgt die Steigung der Tangente. 1/3 Der Graph einer Polynomfunktion vierten Grades hat in O(0 0) einen Etrempunkt und in W(1 11) einen Wendepunkt; die Steigung der Wendetangente beträgt dort 16. Berechnen Sie den zweiten Wendepunkt. 1/4 Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat in O(0 0) die Steigung 3 und in T(6 0) den Tiefpunkt. Der Graph einer weiteren quadratischen Funktion g hat seinen Scheitelpunkt an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in O rechtwinklig. Führen Sie bei beiden Funktionen eine Kurvendiskussion durch. 1/5 Differenzieren Sie die folgenden Funktionen mit der Produktregel: a) f( ) = ( + )( 1 ) b) f( ) = ( ) 3 4 c) f( ) = ( 1 ) 3 d) f( ) = ( 1)( )( 3)

39 Differentialrechnung 1/6 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f ( )= 1 1 b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( )= /7 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = ( + ) d) f ( )= + 1 1/8 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f ( ) = 3 b) f ( )= c) f ( ) = d) f ( )= e) f ( )=

40 Differentialrechnung 1/9 Differenzieren Sie folgende Funktionen: 4 a) f ( )= +1 b) f ( ) = c) f ( ) = ( 1) 5 d) f ( ) = ( ) 3 4 1/30 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f( ) = sin( ) cos( ) b) f( ) = cos( ) sin( ) c) f( ) = sin ( ) d) f( ) = tan( 3 3 ) 1/31 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f( ) = (cos ( ) + 1 ) 3 b) f ( ) = sin( ) + 1 cos( ) + 1 c) f( ) = tan( ) d) f ( ) = 1+ tan( ) 1/3 Differenzieren Sie folgende Funktionen: 3 a) f( )= e + 3 b) f( ) = e sin( ) e c) f ( ) = e sin( ) cos( ) sin( ) d) f ( ) = cos( )

41 Differentialrechnung 1/33 Differenzieren Sie folgende Funktionen: a) f( ) = ln( ) b) f ( ) = ln( ) c) f ( ) = ln 1 d) f( ) = log ( ) e) f( ) = ln (sin( )) f) f e sin( ( ) tan( ) = ) 1/34 Bestimmen Sie zwei nichtnegative Zahlen a und b, deren Summe 50 ist, sodaß ab ein Maimum ist. 1/35 Bestimmen Sie zwei Zahlen und y (,y > 0), deren Summe 100 ist, sodaß das Produkt y 3 ein Maimum ist. 1/36 Einem Dreieck mit den Seiten a = 13, b = 15 und c = 14 ist das flächengrößte Rechteck so einzuschreiben, daß eine Seite des Rechtecks auf der Seite c zu liegen kommt. 1/37 Einem Dreieck mit c = 1 und h = 8 wird das flächengrößte Rechteck eingeschrieben, sodaß eine Seite des Rechtecks auf der Seite c zu liegen kommt. Dem verbleibenden Dreieck über dem Rechteck wird wie vorher ein Rechteck eingeschrieben usw. Berechnen Sie die Summe aller Rechtecksflächeninhalte. 1/38 Von einer rechteckigen Platte a = 15, b = 100 ist eine Ecke abgesprungen, sodaß auf der einen Seite a nur mehr 80 cm und auf einer Seite b noch 60 cm übrigbleiben. Man möchte nun aus dem verbleibenden Rest wieder ein möglichst großes Rechteck herausschneiden. Wie müssen die Maße dieses Rechtecks gewählt werden?

42 G H I J K L Aufgabe 1 Gerade durch Punkte (1,y1) und (,y) (y- y1)( - 1)=( - 1)(y - y1) (y- y1)=(y - y1)/( - 1) *(- 1) falls 1<> Hier (9000,90) und (10000,80) (p- 90) = ( )/(80-90) *(- 9000) p()=180-0,01 Fikosten k v K() = G() = p()* - K() G()=180-0,01^ G()=-0,01^ a b c D = b^ - 4ac -0, s ys (-b- D^0,5)/(*a) (-b + D^0,5)/(*a) -b/(*a) -D/(4*a) 109, , Aufgabe 5 k() = K()/ / + 0,1 +5 K() =k()* ,1^+5 Gerade durch Punkte (1,y1) und (,y) (y- y1) =(y - y1)/( - 1) *(- 1) Hier (3000,500) und (5500,450) (p- 500) =( )/( ) *(- 3000) p()=560-0,0 U()=*p()=560-0,0^ G()=U()-K()=-0,0^+560-0,1^ G()=-0,1^ a b c D = b^ - 4ac -0, s ys (-b- D^0,5)/(*a) (-b + D^0,5)/(*a) -b/(*a) -D/(4*a) 3800, , ,

43 U() = 180-0,01^ G()=U() - K() p()=180-0,

44 p G Fikosten k v , , K() = , G() = *p - 60* , = /(p - 60) , Teil c Gerade durch Punkte (1,y1) und (,y) (y- y1)=(y - y1)/( - 1) *(- 1) falls 1<> -b a Hier ( ,100) und ( ,60) -0, (p- 100) = (60-100)/ ( )/ *( ) p()=150-0,00005 Probe: , ,00 60 G() = p()* - K() G()=150-0,00005^ G()=-0,00005^ G'() = -0, ma = ,00 pma= 105 Gma = ,00 f (4-5) *4(4-5)= 3-40 f' 3(4-5) 3(3-40) + 3(4-5) = = ( )/5 (5( ) )/(5) ( )/(5) (5- ) 4-4(5- ) 3 ln( 3 ) = 3 ln() + ln() 3/ ln(1 + ) 1/(1 + ) 5ln(ln() 5/ln*1/=5/(ln()) (ln(5 + 6)) ln(5 + 6)* 5/(5 + 6)=10ln(5 + 6)/(5 + 6) e ln e ( ln +1/) 3e e (*3 +3) Aufgabe 7 V = a h h = 100/a V = a h h = 100/a F = a + 4ah mit Deckel! F = a + 4ah ohne Deckel! F = a + 400/a F = a + 400/a F' = 4a - 400/a F'=0 F' = a - 400/a F'=0 4a 3 = 400 a = 100^(1/3) h a 3 = 400 a = 00^(1/3) h 4, , , , Aufgabe 8 W() = 0*0/ K() = 7W() K'() = /( ) + 5 K'=0 K(0) K(1) 0, ,857