Grundwissen Abitur Analysis

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1 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen Eponenten? Welche Eigenschften besitzen sie? Beschreibe die Grphen 5 Juli 202 f() = n (n N) mit D = R heißt n-ten Potenzfunktion, der dzugehörige Grph G f heißt Prbel n-terordnung n gerde n ungerde W = R + W = R 0 G f prbelrtig, liegt im G f sesselrtig, liegt im I und II Qudrnten I und III Qudrnten G f ist -chsensmm G f pkt-smm zu (0 0) (± ), (0 0) G f (± ±), (0 0) G f Je größer n, desto kntiger der Grph 2 Ws sind Potenzfunktion mit negtiven gnzzhligen Eponenten? Welche Eigenschften besitzen sie? Beschreibe die Grphen f() = n = n (n N) mit D = R\{0} heißt n-ten Potenzfunktion mit negtivem gnzzhligem Eponenten, der dzughörige Grph G f heißt Hperbel n-ter Ordnung n gerde n ungerde W = R + W = R\{0} G f liegt im G f liegt im I und II Qudrnten I und III Qudrnten G f ist -chsensmm G f pkt-smm zu (0 0) (± ) G f (± ±) G f Je größer n, desto kntiger der Grph 3 Ws versteht mn bei einer gebrochen rtionlen Funktion unter einer Polstelle? Wie sieht ihr Grph n diesen Stellen us? Flls sich bei einer gebrochen rtionlen Funktion der Fktor ( c) im Nenner durch Kürzen nicht beseiten lässt, ht mn eine Polstelle bei = c Der Grph geht dort gegen ± Flls die Polstelle ungerdzhlige Ordnung ht, mit Vorzeichenwechsel, sonst ohne Vorzeichenwechsel Beispiel f() = ( 2) (+)( 2)( 3) 2 = : Pol Ordnung (VZW) = 3: Pol 2Ordnung (kein VZW) = 2: keine Polstelle sondern eine sog stetig hebbre Definitionlücke

2 4 In welchen Situtionen treten wgrechte und senkrechte Asmptoten bei gebrochen rtionlen Funktionen uf Wie knn mn sie bestimmen? Gib ein Beispiel für eine Funktion mit schräger Asmptote und begründe, wrum eine schräge Asmptote vorhnden ist Die Koeffizienten der höchsten -Potenz im Zähler und Nennen seien bzw b Art der Asmptote Tritt uf Best senkrecht n Polstelle c = c wgrecht, -Achse Z-Grd<N-Grd = 0 wgrecht, nicht -Achse Z-Grd=N-Grd = b f() = + f() = 3 2+ f() = = = 0 = 3 2 = 2 wgr: = 0 wgr: = 3 schräg: = senkr: = senkr: = weil lim 2 ± 2 = 0 5 Ws versteht mn unter () dem Differentilquotienten? (b) Welche zwei nderen Bezeichnungen ht der Differentilquotient noch? (c) Welche geometrische Bedeutung ht er? Sei f eine uf einem Intervll I definierte Funktion, dnn heißt f(+h) f() () der Grenzwert lim Differenzilquotient h 0 h von f n der Stelle (b) Er wird uch ls Ableitung f () oder lokle Änderungsrte von f n der Stelle bezeichnet (c) Der Differentilquotient gibt die Steigung der Tngente t durch den Punkte P( f()) n f() P( f()) f(+h) t +h 6() Wie luten die Ableitungsfunktionen der Potenzfunktionen? (b) Erkläre n einem Beispiel, wie mn die Gleichung und den Neigungswinkel der Tngente einer Funktion f() im Punkt P( p ) bestimmt () f() f () n n n (b) Beispiel: Tngente von f() = 3 in P(2 p ) p = f(2) = = 8; f () = 3 2 f (2) = 2 llg Gerdengleichung = m+t m = f (2) = 2; t = m m,p = = 6 = 2 6 tnα = f (2) = 2 α 85

3 7() Wie wird eine Funktion f() = c u() (c R) bgeleitet, wie die Summe zweier Funktionen? Beispiel (b) Ws versteht mn unter den höheren Ableitungen einer Funktion? Beispiel! (c) Ws versteht mn unter der Stmmfunktion einer Funktion? Beispiele! () f() = c u() wird bgeleitet indem mn u() bleitet und die Konstnte beibehält Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der Ableitungen Beispiel: f() = f () = (b) Höhere Ableitungen von Funktionen sind die Ableitungen der Ableitungen der Funktion Beispiel: f() = f () = 72 f () = f (4) () = 72 f () = f (5) () = 0 (c) Eine Stmmfunktion F() von f ist die Funktion, deren Ableitung f ist Also F () = f() Beispiel: ZB ht f() = 4 die Stmmfunktionen F() = 2 2, F() = oder F() = Wie luten die Ableitungsregeln für () ds Produkt zweier Funktionen? (b) den Quotienten zweier Funktionen? (c) die Verkettung zweier Funktionen? Beispiele! () f() = u() v() f () = u ()v()+u()v () Beispiel: f() = 2 5 f () = = 7 6 (b) f() = u() v() f () = v()u () u()v () [v()] 2 Merke NAZ ZAN N 2 Beispiel: f() = 2 3 f () = (3 ) ( 3 ) 2 = 4 +2 ( 3 ) 2 (c) f() = u(v()) f () = u (v()) v () Merke Äußere bleiten, innere stehen lssen ml Innere bgeleitet Beispiel: f() = ( 3 4) f () = ( 3 4) () Gib eine hinreichende Vorussetzung n, so dss f streng monoton steigend bzw fllend in einem Bereich ist (b) Belege n einem Beispiel, dss die Vorussetzung us 9 nicht notwendig ist (c) Nenne eine Funktion, für die f () > 0, die ber nicht streng monoton steigt Wrum greift die hinreichende Vorussetzung von Frge 9 nicht? () Wenn in einem Intervll I für lle I gilt: f () > 0 bzw f () < 0, dnn ist sie streng monoton steigend bzw fllend (b) Für folgende beiden Funktionen gilt obige Vorussetzung nicht, sie sind ber trotzdem echt monoton: f : 3 ; D = R ist streng monoton steigend, ber es ist f (0) = 0 f : ;D = N ist streng monoton steigend, ber nicht differenzierbr, weil sie ihr Grph nur us einer Reihe einzelner Punkte besteht (c) f() = (D = R \ {0}); Hier ist zwr f () = 2 > 0, ber D ist kein Intervll, so dss die Funktion n der Definitionslücke einen Sprung mchen knn

4 0 Erkläre n einem Beispiel wie mn die Monotonieintervlle einer Funktion bestimmt und wie mn drus die Art der Wgrechtpunkte erhält zb f() = ( )2 ;D = R\{0} f () = 2 2 Vorzeichentbelle erstellen: 0 f () > 0 0 < 0 < 0 0 > 0 G f HOP DefL TIP Monotonieintervlle: { } G { f ist echt monoton steigend ] ; ] und [; [ uf fllend [ ;0[ und ]0;] Bemerkungen: Wenn vor und nch der Wgrechtstelle die gleiche Monotonie uftritt, ist n der Wgrechtstelle ein Terrssenpunkt Ds Vorzeichen von f erhält mn zb durch einsetzen geeigneter Werte in f } Erkläre wie mn ds Krümmungsverhlten einer Funktion bestimmt und wie mn drus die Wendepunkte erhält Ist f () > 0 bzw f () < 0, so heißt F f links- bzw rechtsgekrümmt Beispiel: f() = f () = = 2( )(+) Krümmungstbelle: Kritische Stellen bei f () = 0 f () > 0 0 < 0 0 > 0 G f lgk WP rgk WP lgk Krümmungsintervlle: { } G f ist links- gekrümmt uf rechts- { ] ; ] und [; [ [ ; ] Bemerkung:DsVorzeichen von f erhältmndurch einsetzen geeigneter Werte in f Die Wendepunkte sind die Stellen, n denen sich die Krümmungsrt ändert } 2 Sei f eine Funktion und D () Gib eine hinreichende Vorussetzung n, so dss ihr Grph G f n der Stelle einen Hoch- (Tief-) Punkt besitzt (b) Belege n drei unterschiedlichen Beispielen, dss die Vorussetzung us 2 nicht notwendig ist (c) Gib eine hinreichende Vorussetzung n, so dssihrgrphg f nderstelleeinenwende- (Terrssen-) Punkt besitzt () f { zweiml differenzierbr in, f () = 0 und f } { } () < 0 Hochpunkt f () > 0 Tiefpunkt (b) f() = mit D = [ 2;] besitzt den Tiefpunkt (0 0) sowie die Rndetrem ( 2 2) und ( ), ist dort ber nicht differenzierbr, lso knn dort uch die Ableitung nicht Null sein f() = 4 besitzt den Tiefpunkt (0 0), es ist ber f (0) = 0 (c) Ist f dreiml differenzierbr in und f () = 0 sowie f () 0, dnn besitzt f() bei einen Wendepunkt Gilt zusätzlich f () = 0, dnn ist dieser Wendepunkt sogr Terrssenpunkt

5 3 Wozu wird ds Newton-Verfhren verwendet, wie funktioniert es? Ds Newton-Verfhren liefert Näherungslösungen für Nullstellen von Funktionen Mn wählt dbei durch gezieltes Schätzen einen Strtwert der nhe bei einer Nullstelle liegt Mit Hilfe der Itertionsvorschrift n+ = n f(n) f ( n) (f ( n) 0) erhältmneine Folge, 2, 3,deren Grenzwerteine Nullstelle von f ist 4() Wie lng ist die Digonle eines Qudrtes mit der Seitenlänge? (b) Wie lng ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge? (c) Welcher Zusmmenhng besteht zwischen dem Grdmß α und dem Bogenmß ϕ eines Winkels? (d) Wie groß sind sin, cos und tn und ds Bogenmß ϕ von 0, 30, 45, 60 und 90? () 2 (b) 3 2 (c) α 80 = ϕ π (d) α π π π π ϕ sin cos tn Welche Eigenschften besitzen die sin- und die cos-funktion? cos π 3 sin sin-funktion cos-funktion Nullstellen: kπ (k Z) Nullstellen: π +kπ (k Z) 2 sin( ) = sin() cos( ) = cos() (punktsm zum Ursprung) (chsensm zur -Achse) sin() = cos( π 2 ) cos() = sin(+ π 2 ) Periode 2π Wertemenge [ ; ]

6 6 Wie luten die Ableitungsfunktionen der Sinus- und der Kosinusfunktion-, der Potenzfunktionen mit rtionlem Eponenten? Sonderfälle! f() sin cos f () cos sin r r r Spezilfälle 2 (r = 2 ) (r = ) (r = 2) (r = 3) 4 7() In welchen Fällen besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion? (b) Erkläre n einem Beispiel, wie mn rechnerisch und grphisch von einer gegebenen Funktion die Umkehrfunktion bestimmt () Eine Funktion f ist umkehrbr, wenn es keine zwei -Wert gibt, die den gleichen -Wert besitzen, oder nschulich gesprochen, wenn jede Prllele zur -Achse den Grphen von f höchstens einml schneidet (b) Beispiel: f() = 2 ;D f = R + 0, W f = R + 0 rechnerisch: und in der Funktionsgleichung vertuschen und nch uflösen = 2 = ; D f = W f = R + 0 grphisch: Den Grphen G f von f n der Winkelhlbierenden des I und III Qudrnten spiegeln G f G f 8() Ws versteht mn und der ntürlichen Eponentilfunktion? (b) Welche Eigenschften besitzt sie? () Der Funktionsterm der ntürliche Eponentilfunktion heißt f() = e Dbei ist e 2,7828 die sog Euler sche Zhl (b) D = R, W = R + lim e = und e lim e = 0 e 0 ln = e > 0 ( R) Nullstellen: keine d Ableitung: d e = e Stmmfunktionen: e d = e +C Die e-funktion ist die Umkehrfunktion der ntürlichen Logrithmusfunktion

7 9() Welche Potenzrechenregeln gibt es? Anwendungsbeispiele! (b) Löse e = nch uf Anwendungsbeispiele (zb e = nch uflösen)! () Für, R gilt e e = e + e = e e e = e (e ) = e e ln = ( R + ) ln(e ) = ( R) (b) e = = ln ( R + ) 20() Wie ist die ntürliche Logrithmusfunktion definiert? (b) Welche Eigenschften ht sie? () Die ntürliche Logrithmusfunktion ln() ist die Umkehrfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion (b) Grph ln e D = R +, W = R ln = 0, lne = lim ln = lim ln = > 0 d d ln = > 0 ln() = dt, D = R+ t 2() Welche Logrithmusrechenregeln gibt es? Anwendungsbeispiele! (b) Löseln = nchuf Anwendungsbeispiele (zb ln( ) = nch uflösen)! () Für lle, > 0 ist ln() = ln()+ln() und ln( ) = ln() ln() ln( r ) = r ln() (r R) lne r = r (r R) (b) ln = = e

8 22 Beschreibe n einem Beispiel, wie sich der Term einer Funktionen verändert, wenn mn den dzugehörigen Grph im Koordintensstem verschiebt oder verzerrt f() = e Streckung um Fktor 2 in -Richtung: Verschiebung um nch unten: Spiegelung n der -Achse: Streckung um Fktor 3 in -Richtung: Verschiebung um 2 nch links g() = 2e h() = 2e j() = 2e k() = 2e 3 l() = 2e Welche Schufgben lssen sich mit Eponentilfunktionen beschreiben? Welche Bedeutung hben die Prmeter? Beispiel! Prozentule Wchstums- und Zerfllsvorgänge, lso uch Zinseszins-Rechnungen Beispiel: Eine Popultion K wächst/schrumpft pro Jhr um p% Wie groß ist sie nch n Jhren? Für die Popultion K(n) nch n Jhren gilt dnn ( K(n) = K ± p ) n 00 ZB wächst die Weltbevölkerung von 6, 5 Mrd Menschen derzeit um,2% In 50 Jhren würden dnn K(50) = 6,5,02 50,8 Mrd Menschen uf der Erde leben 24 Beschreibe llgemein, welche Eigenschften bestimmte Integrle besitzen Anwendungsbeispiele! f()d = 0 c f()d = f()d+ f() d c k f()d = k f() d f()±g()d = f()d± g() d f()d = f() d b [ zb ist 2 3 ] b 2+d = 3 2 +

9 25() Ws versteht mn unter der Integrlfunktion einer Funktion f? Welche Eigenschften besitzen lle Integrlfunktionen? Wie knn mn ds mthemtisch formulieren? (b) Gib (mit Begründung) ein Beispiel für eine Stmmfunktion, die nicht ls Integrlfunktion drgestellt werden knn () Für jede Funktion f, die uf einem Intervll D stetig ist, heißt die Funktion F () := f(t)dt;, D Integrlfunktion von f mit dem Stützpunkt Der Stützpunkt ist stets Nullstelle von F, dh F () = 0 (b) F() = 2 + knn nicht ls Integrlfunktion drgestellt werden, weil sie kein Nullstelle ht 26 Wie lutet die Kernussge des HDI? Anwendungsbeispiele! F() = f(t)dt = F () = f() Leitet mn eine Integrlfunktion F b, so erhält mn die Integrntenfunktion f() Anwendungsbeispiel: Zeige, dss F() = sin Stmmfunktion von f() = sin+ cos ist und berechne dmit π 2 0 Lösung: π 2 0 sin+ cosd sin+ cosd = {HDI} = [ sin] π Ws versteht mn unter dem unbestimmten Integrl einer Funktion? Welcher Zusmmenhng besteht zwischen den Integrlfunktionen von f und den Stmmfunktionen von f? Nenne einige wichtige unbestimmte Integrle Die Menge ller Stmmfunktionen von f heißt unbestimmtes Integrl von f Integrlfunktion von f sind genu die Stmmfunktionen von f, die mindestens eine Nullstelle besitzen Beispiele für unbestimmte Integrle (in der üblichen Kurzschreibweise): d = +C; d = 2 2 +C n d = n+ n+ +C, n R\{ } n d = n +C, n R\{} n sind = cos+c; cosd = sin+c e d = e +C d = ln +C

10 28 Ws versteht mn unter positiver bzw negtiver Integrtionsrichtung? Welche Auswirkung ht die Umkehrung der Integrtionsrichtung uf den Wert eines bestimmten Integrls? Gib (flls möglich) jeweils ein Beispiel für folgende Situtionen: Integrtions- Integrnten- Wert des richtung funktion Integrls positiv negtiv negtiv 2 negtiv negtiv negtiv 3 negtiv 0 Die Integrtionsrichtung ist positiv bzw negtiv, wenn die obere Integrtionsgrenze größer bzw kleiner ls die untere Integrtionsgrenze ist Kehrt mn die Integrtionsrichtung um, so ändert der Wert des Integrls sein Vorzeichen ( f()d = b f()d) f() =, =,b = 2 2 geht nicht 3 f() =, =,b = (Flächenbilnz ist Null) 29 Beschreibe llgemein, wie mn den Flächeninhlt berechnen knn, der von einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird Welche Fälle können uftreten? Anwendungsbeispiele! b A A = f() d b A A = f() d c b A A 2 A 2 A = f() d = = c f()d c f() d = c f() d + c f() d 30 Beschreibe llgemein, wie mn den Flächeninhlt berechnen knn, der von zwei Funktionen eingeschlossen wird b G f G g A A = f()d g() d = [f() g()]d b c G f G g + A = c [f() g()]d+ c [g() f()]d = = c [f() g()]d + c [f() g()]d