Integration von Regelfunktionen

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1 Integrtion von Regelfunktionen Inhltsverzeichnis Einleitung 2 Treppen- und Regelfunktionen 3 Denition des Integrls 4 Rechen mit Integrlen 2 4. Grundlegende Eigenschften Symmetrische Funktionen Gerde Funktionen Ungerde Funktionen Integrtionstechniken Substitution Prtielle Integrtion Prtilbruchzerlegung Wichtige Stmmfunktionen 5 Einleitung In den Nturwissenschften, llen vorn der Physik müssen Funktionen bgeleitet werden, doch noch wichtiger ist es, Funktionswerte über bestimmte Bereiche ufzusummieren, lso zu integrieren. Deshlb stellt die Integrtion eines der Kpitel der Anlysis dr, die für die Physik m llerwichtigsten sind. 2 Treppen- und Regelfunktionen Um die Integrtion suber herzuleiten, benötigt mn zunächst die Denitionen von Treppen- und Regelfunktionen. Ds Integrl einer Regelfunktion f ist nämlich ls Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen deniert, die gleichmäÿig gegen f konvergiert. Denition: Denition. φ : [, b] C heiÿt Treppenfunktion, wenn eine Zerlegung Z eistiert derrt, dss φ uf den Teilintervllen konstnt ist, d.h. k {,..., n} c k C : φ ]k =, k [ = c k. Dbei heiÿt Z eine φ-zerlegung oder Zerlegung für φ. Die Menge der Treppenfunktionen uf [, b] wird mit T [, b] bezeichnet. glm Denition: f : [, b] R heiÿt Regelfunktion, wenn (φ n ) in T [, b] eistiert mit φ n f. R[, b] bezeichnet die Menge ller Regelfunktionen uf [, b]. Insbesondere sind Regelfunktionen beschränkt und hben nur n bzählbr vielen Stellen Unstetigkeitsstellen. Die in der Physik vorkommenden Funktionen sind prktisch immer Regelfunktionen. 3 Denition des Integrls Ds Integrl einer Treppenfunktion mit Funktionswerten c k ist deniert ls: φ n () = Ds bestimmte Integrl einer Regelfunktion f lässt sich somit denieren ls: n c k ( k k ) () k= f() = lim n φ n () (2)

2 wobei φ n () T [, b] eine Folge von Treppenfunktion ist, die gegen f konvergiert. Die Berechnung von Integrlen ls Summen von kleinen Rechtecksächen ist die Stndrdmethode zur numerischen Integrtion (es gibt uch eektivere Algorithmen). In der Anlysis verwendet mn jedoch meistens Stmmfunktionen, um zu integrieren. Denition: Seien f, F : [, b] C. Jede Funktion F (),die erfüllt, ist eine Stmmfunktion von f(). Die Funktion F () = f() (3) F () = ˆ f(t)dt (4) mit [, b]ist eine Stmmfunktion von f(). Alle nderen Stmmfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstnte c von F (). Auf Grund der Denition ist F () stetig und dierenzierbr. Huptstz der Dierentil- und Integrlrechnung (HDI): gilt: Ist F () eine beliebige Stmmfunktion von f(), so f() = F () b := F (b) F () (5) Will mn nun bestimmte Integrle berechnen, so besteht die Schwierigkeit meistens drin, eine Stmmfunktion zu nden, um den HDI zu verwenden. Bemerkung: Mn spricht von unbestimmten Integrlen, flls keine Grenzen eingesetzt werden. Ds unbestimmte Integrl f() ist die Menge ller Stmmfunktionen. 4 Rechen mit Integrlen 4. Grundlegende Eigenschften Bestimmte Integrle hben eine gnze Reihe elementrer Eigenschften: Weil sie sich ls Grenzwerte von Summen usdrücken lssen, sind sie liner und lssen sich ufsplten, d. h.: Für f() < g() (punktweise) gilt die Monotonie: (f() + λg()) = ˆc f() = f() < f() + λ ˆc f() + b g() (6) f() (7) g() (8) Bestimmte Integrle sind beschränkt, mit dem Supremum f s = sup{ f() : [, b]} lässt sich lso folgende Abschätzung durchführen (Ds knn prktisch sein, wenn mn zeigen will, dss der Grenzwert eines Integrls verschwindet): f() f() (b ) f s (9) Drus folgt sofort (wegen = 0): ˆ f() = 0 (0) 2

3 Die Vertuschung der Integrtionsgrenzen wird wie folgt deniert: 4.2 Symmetrische Funktionen 4.2. Gerde Funktionen ˆ b f() = f() () Integriert mn eine gerde Funktion (f( ) = f()) über ein zum Ursprung symmetrisches Intervll, so knn mn ds Integrl in 2 gleiche Integrle mit Grenze 0 ufteilen: ˆ ˆ f() = 2 0 f() (2) Beispiel : = Ungerde Funktionen Noch prktischer ist die Eigenschft ungerder Funktionen (f() = f( )), dss sie bei der Integrtion über ein zum Ursprung symmetrisches Intervll verschwinden: ˆ f() = 0 (3) Beispiel 2: sin7 ()ep( 84 ) = Integrtionstechniken Mnchml ist es möglich, einfche Stmmfunktionen zu nden (z. B. bei Polynomen), doch oft muss mn besondere Tricks verwenden Substitution Die Substitution stellt gewissermÿen die Umkehrung der Kettenregel der Ableitung dr: f(g())g () = ˆ g(b) g() f(t)dt (4) Bemerkung: Ansttt die Integrtionsgrenzen mit der Funktion g() uszurechnen, resubstituiert mn bei unbestimmten Integrlen, d. h. mn drf nch Anwendung des HDI nicht vergessen, für t wieder g() einzusetzen. Wenn der Integrnd ein Produkt us einer Verknüpfung zweier Funktionen und der Ableitung der inneren Funktion besteht, liegt es uf der Hnd, zu substituieren. In vielen Fällen, besonders wenn die Vrible durch eine Funktion ersetzt werden muss, benötigt mn eine gewisse Erfhrung (oder einen Hinweis), um zu sehen, ws mn substituieren muss (s. Bsp. 3). Vorgehen bei der Substitution:. Substitution mit einer geeigneten Funktion t = g() (bzw. = h(t)) und Ersetzen der Integrtionsvriblen, lso dt = g () (bzw. = h (t)dt) 2. Ausführen des Integrls 3. Resubstitution: Anschlieÿend wird t wieder durch g() (bzw. h ()) ersetzt. Bei bestimmten Integrlen werden die Integrtionsgrenzen und b entsprechend durch g() und g(b) ersetzt(bzw. h () und h (b)). Beispiel 3: π 0 ep(cos())sin() Hier bietet es sich n, t = cos() zu substituieren. Die Ableitung beträgt dnn: dt π 0 ep(cos())sin() = cos(π) cos(0) ep(t)dt = e t dt = e t = e e = sin() dt = sin() 3

4 (ln()) 4 Beispiel 4: = t 4 dt = 5 t5 + c Hier wurde die Substitution t = ln(), dt = Beispiel 5: sin() = 2sin( 2 )cos( ) = 2 Subsitution: t = tn( 2 ), dt = 2cos 2 () Prtielle Integrtion verwendet. tn( 2 ) 2cos 2 ( 2 ) = t dt = ln(t) + c = ln(tn( 2 )) + c Ds Anlogon der Produktregel ist die prtielle Integrtion, die folgendermÿen durchgeführt wird: f()g () = f()g() b f ()g() (5) Die prtielle Integrtion wird eingesetzt, wenn der Integrnd ein Produkt us 2 Funktionen ist, von denen die eine eine beknnte Stmmfunktion ht (diese Funktion knn uch konstnt sein). Beispiel 6: 2cos() + c 2 sin() = 2 cos()+ 2cos() = 2 cos()+2sin() 2 sin() = 2 cos()+2sin()+ Beispiel 7: ln 2 () = ln 2 () = ln 2 () 2ln() = ln2 () 2 ln() = ln 2 () 2ln() + 2 = ln2 () 2ln() c Beispiel 8: b e2 sin() = 2 e2 sin() b b 2 e2 cos() = 2 e2 sin() b 4 e2 cos() b + b 4 e2 ( sin()) Ein häuger Trick bei der prtiellen Integrtion (besonders bei trigonometrischen Funktionen) ist es, so lnge umzuformen (lso prtiell zu integrieren), bis einer der Terme wieder der Ausgngsterm ist. Dieser wird uf die ndere Seite der Gleichung gebrcht: ( ) + b 4 e2 sin() = 2 e2 sin() b 4 e2 cos() b b ( e2 sin() = 4 ) ( 5 2 e2 sin() b 4 e2 cos() b = 5 2e 2b sin(b) 2e 2 sin() e 2b cos(b) + e 2 cos() ) Prtilbruchzerlegung Integrle über rtionle Funktionen lssen sich bei komplizierteren Brüchen nicht ohne Weiteres integrieren. Hierbei hilft die Prtilbruchzerlegung. A+B Beispielsweise wird (+2) 2 ( 2 +) zu ( 2 +) + C (+2) + D (+2) 2 Multipliktion mit ( + 2) 2 ( 2 + ) liefert: = (A + B)( + 2) 2 + C( + 2)( 2 + ) + D( 2 + ) = B 3 + (4B + A) 2 + (4A + 4B) + 4A + C 3 + 2C 2 + C + 2C + D 2 + D = (B + C) 3 + (4B + A + 2C + D) 2 + (4A + 4B + C) + 4A + 2C + D Drus wird sich durch Koezientenvergleich ds Gleichungssystem: B + C = 0 4B + A + 2C + D = 0 4A + 4B + C = 0 4A + 2C + D = Die Koezienten sind dnn A = 3 25, B = 4 25, C = 4 25, D = 5 und der gesmte Bruch wird zu ( ) ( 2 +) + 4 (+2) + 5 (+2) 2 (+2) 2 ( 2 +) = 4

5 5 Wichtige Stmmfunktionen f() StmmfunktionF () Bemerkung n n+ n+ + c n R, n sin() cos() + c cos() sin() + c tn() ln cos() + c cot() ln sin() + c ln + c 0 e e + c ln() + c > 0, ln() + ln() + c rcsin( 2 2 ) + c < 2 ln + 2 ± 2 + c > für ± c < ln sinh() cosh() rctn( ) + c + c 2 rcsin ( ) + c < 2 ln( ) + c cosh() + c sinh() + c 5