Flächeninhalt unter dem Graphen. Ist nun die Kraft nicht mehr stückweise konstant, so wird man intuitiv immer noch den

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1 19 REGELFUNKTIONEN 107 Kpitel 7: Integrtion Notwendigkeit des Integrlbegriffes und Hinweise zu seiner Präzisierung liegen uf der Hnd. Betrchten wir etw den physiklischen Begriff der Arbeit, die im einfchsten Fll, nämlich bei konstnter Krft, ls ds Produkt Krft ml Weg definiert ist. Bei stückweise konstnter Krft wird mn sie entsprechend ls Summe definieren. Stellen wir die Krft ls Funktion des Weges grphisch dr, so vernschulicht sich die Arbeit ls der Flächeninhlt unter dem Grphen. Ist nun die Krft nicht mehr stückweise konstnt, so wird mn intuitiv immer noch den Flächeninhlt unter dem Grphen ls wohldefiniert nsehen und ls Mß für die entsprechende Arbeit nehmen. Um us dieser nschulichen Vorstellung wirklich eine Definition zu mchen, werden wir versuchen, eine gegebene Funktion durch stückweise konstnte Funktionen zu pproximieren. Für jede der pproximierenden Funktionen ist dnn die Fläche unter dem Grphen bzw. die Arbeit erklärt, und wir werden hoffen, dß diese Werte einem Grenzwert zustreben. Dmit dies wirklich der Fll ist und der Grenzwert nicht von der Auswhl der pproximierenden Folge bhängt, müssen wir ber eine besonders gute Art der Approximtion wählen. Unser Integrl wird dher nur für solche Funktionen erklärt sein, die sich in dieser Weise durch stückweise konstnte Funktionen pproximieren lssen. Ds ist ber zunächst usreichend. 19 Regelfunktionen Im folgenden liegt stets ein festes kompktes Intervll [, b] zugrunde. B([, b]) sei die Menge ller beschränkten Funktionen f : [, b] R. Für reelle Funktionen f, g mit demselben Definitionsbereich D erklärt mn, wie schon erwähnt, f + g und λf (λ R) durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) und (λf)(x) := λf(x) für x D. Mit f, g B([, b]) ist dnn uch f + g B([, b]) und λf B([, b]) für λ R. D die Vektorrumxiome trivilerweise erfüllt sind, ist B([, b]) lso ein reeller Vektorrum. Der Nullvektor ist die Funktion, die identisch gleich 0 ist. Wir wollen sie ebenflls mit 0 bezeichnen. Definition. Für f B([, b]) sei f := sup f(x) := sup{ f(x) x [, b]}. x [,b] (19.1) Stz. Für f, g B([, b]) gilt () f 0, und f = 0 nur für f = 0 (Nullfunktion),

2 19 REGELFUNKTIONEN 108 (b) λf = λ f für λ R, (c) f + g f + g. Beweis. () und (b) sind trivil, und (c) folgt us (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g. Eine uf einem reellen Vektorrum V erklärte Abbildung : V R mit den Eigenschften (), (b), (c) us (19.1) nennt mn eine Norm uf V. Die hier uf B([, b]) erklärte Norm heißt Supremumsnorm. Diese Norm verwenden wir nun zur Erklärung eines für unsere Zwecke geeigneten Approximtionsbegriffes. Definition. Seien f n, f B([, b]) (n N). Die Folge (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn lim f n f = 0 gilt. Es gilt lso: (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen f ɛ R + n 0 N n n 0 x [, b] : f n (x) f(x) ɛ. Dies knn mn sich leicht vernschulichen: Zu jedem ɛ > 0 müssen schließlich lle Funktionen der Folge im ɛ-streifen um f liegen. Die hier erklärte gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge ist zu unterscheiden von der Konvergenz schlechthin, unter der mn punktweise Konvergenz versteht. Mn sgt, dß die Folge (f n ) n N (punktweise) gegen f konvergiert, wenn für jedes x [, b] die Folge (f n (x)) n N gegen f(x) konvergiert. Es gilt lso: (f n ) n N konvergiert gegen f x [, b] ɛ R + n 0 N n n 0 : f n (x) f(x) ɛ. Der wesentliche Unterschied liegt drin, dß ds n 0 (bei gegebenem ɛ) hier von x bhängen knn, bei gleichmäßiger Konvergenz (dher der Nme) dgegen einheitlich für lle x [, b] wählbr ist. Definition. f B([, b]) heißt Treppenfunktion, wenn es Punkte = x 0 < x 1 < < x n = b

3 19 REGELFUNKTIONEN 109 gibt, so dß f uf jedem offenen Teilintervll (x k 1, x k ) konstnt ist (k = 1,..., n), und (x 0,..., x n ) heißt dnn eine zu f gehörige Unterteilung von [, b]. Sei T ([, b]) die Menge der Treppenfunktionen uf [, b]. T ([, b]) ist ein Untervektorrum von B([, b]). Zum Beweis ist nur zu zeigen, dß mit f, g T ([, b]), λ R, uch f + g T ([, b]) und λf T ([, b]) ist. Letzteres ist trivil. Zum Beweis des ersteren sei (x 0,..., x n ) eine zu f und (y 0,..., y m ) eine zu g gehörige Unterteilung von [, b]. Sei (z 0,..., z k ) die Unterteilung, die durch Vereinigung beider Teilpunktmengen und Ordnen nch der Größe entsteht. Auf jedem Intervll (z j 1, z j ) ist f + g konstnt, lso ist f + g T ([, b]). Definition. Eine Funktion f : [, b] R heißt Regelfunktion, wenn es eine gleichmäßig gegen f konvergierende Folge von Treppenfunktionen uf [, b] gibt. R([, b]) sei die Menge der Regelfunktionen uf [, b]. R([, b]) ist ein Untervektorrum von B([, b]). Zunächst ist klr, dß jede Regelfunktion beschränkt ist und dß mit f R([, b]) uch λf R([, b]) für λ R gilt. Seien jetzt f, g R([, b]). Es gibt lso zwei Folgen (f n ), (g n ) in T ([, b]), die gleichmäßig gegen f bzw. g konvergieren. Aus (f + g) (f n + g n ) f f n + g g n folgt dnn, dß die Folge (f n + g n ) von Treppenfunktionen gleichmäßig gegen f + g konvergiert, lso ist f + g R([, b]). Es frgt sich, wie mn einer gegebenen Funktion nsehen knn, ob sie Regelfunktion ist. Dies wird durch folgenden Stz bentwortet: (19.2) Stz. Die Funktion f : [, b] R ist genu dnn Regelfunktion, wenn für lle c [, b] die einseitigen Grenzwerte existieren. lim f(x) und lim f(x) x c x c Beweis. : Sei f Regelfunktion. Es gibt lso eine Folge (t n ) n N in T ([, b]) mit lim t n f = 0. Eine Treppenfunktion ht offenbr überll rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte. Die Behuptung ergibt sich dher us der folgenden llgemeineren: Beh.: Konvergiert die Folge (f n ) n N gleichmäßig gegen f und ht jedes f n überll einseitige Grenzwerte, so gilt dies uch für f. Beweis. (etw für rechtsseitige Grenzwerte). Sei c [, b). Zu ɛ R + existiert ein n N mit f f n < ɛ/3. Weiter existiert nch dem Cuchy-Kriterium (11.2)

4 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 110 (ds völlig nlog für einseitige Grenzwerte gilt) ein δ R + mit f n (x) f n (y) < ɛ 3 für lle x, y [, b] mit c < x, y < c + δ. Für diese x, y gilt lso f(x) f(y) f(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) f(y) < ɛ. Aus (11.2) (mit D := (c, b]) folgt die Existenz von lim x c f(x). : Es existiere lim x c f(x) für lle c [, b) und lim x c f(x) für lle c (, b]. Sei n N. Zu jedem c [, b] existiert nch Vorussetzung und nch (11.2) ein δ c R + mit f(x) f(y) < 1 n für lle x, y [, b] mit c < x, y < c + δ c oder c δ c < x, y < c. Ds System {U δc (c) c [, b]} ist eine offene Überdeckung von [, b], enthält lso nch dem Überdeckungsstz von Heine-Borel (10.8) eine endliche Teilüberdekkung. Es gibt lso endlich viele Punkte c 1,..., c k [, b] mit zugehörigen Zhlen δ j := δ cj, so dß [, b] k j=1 U δ j (c j ) ist. Wir ordnen die Zhlen c 1,..., c k, c 1 ± δ 1,..., c k ± δ k (soweit sie in [, b] liegen) nch der Größe und erhlten eine Unterteilung = x 0 < x 1 < < x m = b von [, b]. Wähle z j (x j 1, x j ) (j = 1,..., m) und setze f(z j ), flls x (x j 1, x j ) für ein j {1,..., m}, t n (x) := f(x j ), flls x = x j für ein j {0,..., m}. Dnn ist t n T ([, b]). Sei x [, b]. Ist x = x j für ein j, so gilt f(x) t n (x) = 0. Andernflls gibt es genu ein j mit x (x j 1, x j ). D (x j 1, x j ) Teilmenge eines offenen Intervlls (c i δ i, c i + δ i ) ist und entweder links oder rechts von c i liegt, folgt f(x) t n (x) = f(x) f(z j ) < 1 n. D x [, b] beliebig wr, ist f t n 1. D n N beliebig wr, ist dmit n eine Folge (t n ) n N in T ([, b]) gefunden, die gleichmäßig gegen f konvergiert. 20 Ds Integrl einer Regelfunktion Zuerst erklären wir ds Integrl einer Treppenfunktion:

5 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 111 Def. und Beh.: Sei f T ([, b]). Sei durch = x 0 < x 1 < < x n = b eine Unterteilung von [, b] gegeben, so dß f uf (x j 1, x j ) den Wert c j nnimmt. Dnn ist die Zhl n I(f) := c j (x j x j 1 ) j=1 unbhängig von der Whl der Unterteilung; sie heißt Integrl von f über [, b] und wird mit f oder f(x) dx bezeichnet. Die Behuptung, dß I(f) nur von f und nicht von der speziellen Unterteilung bhängt, ist leicht zu sehen: Ist noch eine ndere Unterteilung zu f gegeben, so bilde mn die gemeinsme Verfeinerung. Sie entsteht us der ursprünglichen Unterteilung durch Einführung weiterer Teilpunkte. Es genügt zu zeigen, dß die Summe sich nicht ändert, wenn mn einen weiteren Teilpunkt einfügt. D dieser ein Intervll zerlegt, uf dem f konstnt ist, ist ds ber klr: ein Summnd c j (x j x j 1 ) wird ersetzt durch c j (x x j 1 ) + c j (x j x), ws dsselbe ist. Der folgende Stz bringt die wichtigsten Eigenschften des Integrls (d.h. der Abbildung I : T ([, b]) R) zum Ausdruck. (20.1) Stz. Die Abbildung I : T ([, b]) R, f f, ist ein lineres Funktionl, d.h. es gilt () (b) (f + g) = (λf) = λ f + g für lle f, g T ([, b]), f für lle f T ([, b]) und lle λ R. Dieses Funktionl ist monoton, d.h. es gilt (c) Aus f g (d.h. f(x) g(x) x [, b]) folgt Ferner gilt (d) b f (b ) f für f T ([, b]), ds Funktionl ist lso beschränkt. (Ein lineres Funktionl ϕ uf einem normierten Vektorrum (V, ) heißt beschränkt, wenn es eine Konstnte K R gibt mit ϕ(x) K x für lle x V.) f g.

6 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 112 Beweis. Sind f, g T ([, b]) gegeben, so wähle mn zu jeder dieser Funktionen eine zugehörige Unterteilung von [, b] und bilde dnn die gemeinsme Verfeinerung. Sie ist eine zu f + g gehörige Unterteilung. Die Behuptungen () und (c) folgen jetzt sofort us der Definition, (b) ist trivil. Schließlich gilt f n n = c j (x j x j 1 ) c j (x j x j 1 ) j=1 mx{ c 1,..., c n } j=1 n (x j x j 1 ) f (b ). j=1 Nun setzen wir die Abbildung I unter Beibehltung ihrer Eigenschften fort uf den Rum R([, b]) der Regelfunktionen. Def. und Beh.: Sei f R([, b]). Sei (t n ) n N eine Folge in T ([, b]), die gleichmäßig gegen f konvergiert. Dnn existiert f := lim t n und ist unbhängig von der Whl der Folge (t n ). über [, b] und wird uch mit f(x) dx f heißt ds Integrl von f bezeichnet. Beweis der Behuptung: Sei ɛ R +. Es gibt ein n 0 N mit t n f < ɛ/2(b ) für n n 0. Für m, n n 0 gilt lso und dher nch (20.1) t m t m t n t m f + t n f < t n = ɛ b (t m t n ) t m t n (b ) < ɛ. Also ist ( t n) n N eine Cuchyfolge und dher konvergent.

7 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 113 Sei (u n ) n N eine weitere Folge in T ([, b]), die gleichmäßig gegen f konvergiert. Sei ɛ R +. Es gibt ein n 0 N mit f t n < Für n n 0 gilt lso und dher nch (20.1) Also ist ( b t n ɛ 2(b ) und f u n < ɛ 2(b ) t n u n t n f + f u n < u n ) t n n N u n ɛ b t n u n (b ) < ɛ. eine Nullfolge und somit lim t n = lim u n. für n n 0. Ist speziell f eine Treppenfunktion, so liefert die neue Definition denselben Integrlwert wie die lte, wie sich us der Unbhängigkeit des Grenzwertes von der pproximierenden Folge ergibt. (20.2) Stz. Für lle f, g R([, b]) und λ R gilt () (b) (f + g) = (λf) = λ (c) f g (d) f + f, f g, g, b f f (b ) f. Beweis. Seien (t n ) n N, (u n ) n N Folgen in T ([, b]), die gleichmäßig gegen f bzw.

8 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 114 g konvergieren. Dnn konvergiert (t n + u n ) n N gleichmäßig gegen f + g, lso gilt (f + g) = lim Dmit ist () bewiesen. (b) folgt nlog. (t n + u n ) = lim t n + = lim t n + lim u n = f + g. Ist f g, so gelten für jedes ɛ R + für fst lle n die Ungleichungen t n f + ɛ und u n g ɛ, lso t n u n + 2ɛ, worus f = lim t n lim = lim folgt. D ɛ > 0 beliebig wr, folgt (c). (u n + 2ɛ) u n + 2ɛ(b ) = u n g + 2ɛ(b ) Zu (d) ist zunächst zu bemerken, dß mit f uch f eine Regelfunktion ist. Für Treppenfunktionen ist ds klr, und drus folgt es llgemein: Wenn (t n ) gleichmäßig gegen f konvergiert, konvergiert ( t n ) wegen t n f t n f (klr wegen x y x y ) gleichmäßig gegen f. Ferner folgt us t n f t n f (wegen t n t n f + f etc.) dß ( t n ) gegen f konvergiert. Dmit ergibt sich f = b lim t n = lim b t n lim t n = f und lim t n lim(b ) t n = (b ) f.

9 20 DAS INTEGRAL EINER REGELFUNKTION 115 Ist f R([, b]) und [c, d] [, b], so ist die Einschränkung f [c, d] offenbr eine Regelfunktion. Ihr Integrl ist lso definiert; wir bezeichnen es mit Zur Ergänzung definiert mn für c d d c f. c d f := f, c f := 0. d c Mit diesen Festsetzungen gilt dnn llgemein die im folgenden Stz usgedrückte Additivitätseigenschft des Integrls hinsichtlich der Integrtionsbereiche. (20.3) Stz. Für f R([, b]) und u, v, w [, b] gilt v f + w f = c w f. u v u Beweis. Zunächst sei u < v < w. Die Behuptung folgt für Treppenfunktionen us der Definition des Integrls, llgemein dnn durch Approximtion. Die übrigen Fälle ergeben sich hierus und mit den obigen Festsetzungen. Ist z.b. u < w < v, so ist v f + w f = v f v f = w f. u v u Anlog schließt mn in den nderen Fällen. w u Wir schließen diesen Abschnitt mit zwei mnchml nützlichen weiteren Eigenschften des Integrls. Zunächst bemerken wir, dß mn gleichmäßig konvergente Folgen gliedweise integrieren drf. (20.4) Stz. Sei (f n ) n N eine Folge von Regelfunktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Dnn ist f Regelfunktion, und es gilt f = lim f n. Beweis. Dß f Regelfunktion ist, ist leicht zu sehen. Aus (20.2) folgt f f n (b ) f f n

10 21 INTEGRATION UND DIFFERENTIATION 116 und drus die Behuptung. Beispiel. Die Aussge von (20.4) wird i.. flsch, wenn gleichmäßig ersetzt wird durch punktweise : Setze n für 0 < x < 1 n f n (x) := 0 für x = 0 und für 1 x 1. n Dnn ist f n eine Treppenfunktion uf [0, 1], und die Folge (f n ) n N konvergiert punktweise gegen 0. Es gilt Schließlich zeigen wir noch: 1 1 lim f n = 1 0 = lim f n. 0 0 (20.5) Stz (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Seien f, g R([, b]), sei f stetig und g 0. Dnn existiert ein c [, b] mit fg = f(c) g. (Speziell für g 1 lso f = f(c)(b ).) Beweis. Die stetige Funktion f nimmt nch (12.2) uf dem kompkten Intervll [, b] ein Minimum m und ein Mximum M n. Aus m f M und g 0 folgt mg fg Mg und drus nch (20.2) m g fg M Es ist lso fg = α g mit einer Zhl α [m, M]. Nch dem Zwischenwertstz (12.4) gibt es eine Zhl c [, b] mit f(c) = α. g. 21 Integrtion und Differentition Die zu Anfng dieses Kpitels erläuterte Interprettion des Integrls ls verllgemeinerte Summe ist nicht die einzige Motivtion für die Einführung des Integrlbegriffs. Eine ndere liegt drin, dß mn Integrtion ls Umkehrung von Differentition nsehen knn. Dß ein solcher Zusmmenhng bestehen muß, mcht

11 21 INTEGRATION UND DIFFERENTIATION 117 mn sich leicht schon nschulich klr, wenn mn ds Integrl einer etw stetigen positiven Funktion f ls Fläche unter dem Grphen interpretiert und dnn für kleine positive h die Größen x+h f x f und f(x)h miteinnder vergleicht. Der Zusmmenhng zwischen Integrtion und Differentition ist Gegenstnd des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung. Definition. Sei f : [, b] R eine Funktion. Eine Funktion F : [, b] R heißt Stmmfunktion von f, wenn F differenzierbr und F = f ist. Nicht jede Funktion besitzt eine Stmmfunktion, wohl ber jede stetige Funktion. (21.1) Stz (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung). Sei f : [, b] R stetig. Die durch F (x) := erklärte Funktion F ist Stmmfunktion von f. x f, x [, b], Jede Stmmfunktion G von f ist von der Form G = F + c mit einer Konstnten c. Beweis. Sei x [, b]. Für h R mit x + h [, b] gilt x+h F (x + h) F (x) f(x)h = f(y) dy = x+h x x+h x f(y) dy x+h x f(y) f(x) dy, wobei (20.3) benutzt worden ist. f(x) dy = x+h x x [f(y) f(x)] dy f(y) dy f(x)h Sei nun ɛ > 0 gegeben. D f in x stetig ist, existiert ein δ > 0 mit f(y) f(x) < ɛ für lle y [, b] mit y x < δ. Für h < δ folgt lso F (x + h) F (x) f(x)h h ɛ.

12 21 INTEGRATION UND DIFFERENTIATION 118 Dmit ist F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h gezeigt, lso ist F Stmmfunktion von f. = f(x) Ist uch G Stmmfunktion von f, so ist F = f = G, lso (F G) = 0 uf [, b]; nch (17.4) ist lso F G konstnt. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung enthält zwei wichtige Aussgen: Die erste Aussge ist, dß ds Integrl einer stetigen Funktion nch der oberen Grenze differenzierbr ist und dß die Ableitung den Integrnden ergibt. Die Eindeutigkeitsussge ist ebenflls von Bedeutung. Beides zusmmen ht die folgende wichtige Konsequenz. Ist F eine Stmmfunktion der stetigen Funktion f, so ist mit einer Konstnten c F (b) F () = c + f c + f = f. Mn schreibt uch F (b) F () = [F (x)] x=b x= = [F (x)] b. Wir können für stetiges f lso ds Integrl berechnen, wenn wir eine Stmmfunktion von f kennen. Wir kommen hieruf im nächsten Abschnitt zurück. Zunächst, ebenflls im Hinblick uf die Berechnung von Integrlen, noch eine wichtige Folgerung. (21.2) Stz (Prtielle Integrtion oder Produktintegrtion). Für stetig differenzierbre Funktionen f, g : [, b] R gilt f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b f f (x)g(x) dx. Beweis. Nch der Produktregel gilt (fg) = f g + fg, lso fg + f g = (fg) = [f(x)g(x)] b.