Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

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1 Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie, den wir im Wesentlichen schon im Stz 4.7 ennengelernt hben und hier uf den Fll integrierbrer Funtionen usdehnen. Stz 5.1 (Monotone Konvergenz, Beppo Levi). Sei (, A, µ) ein Mssrum und f 1 f 2... f f eine monoton wchsende Folge von integierbren Funtionen f : R, 1. Es gebe eine Schrne M < + mit f dµ M für lle 1. Dnn ist uch die Funtion f := lim f : R integrierbr und es gilt f dµ = f dµ. lim Bemerungen 1) Eine nloge Aussge gilt für eine monoton fllende Folge f 1 f 2... integrierbrer Funtionen mit einer unteren Schrne f dµ M >. 1

2 2) Bechte, dss der puntweise Limes f(x) = lim f (x) R für lle x existitert, d die Folge (f (x)) 1 für jedes x monoton wchsend ist. 3) Der obige Stz ist ein direte Folge (siehe Beweis unten) von Stz 4.7 (iv), welcher besgt, dss für eine Folge nicht-negtiver messbrer Funtionen f f gilt: lim f dµ = f dµ, wobei hier uch + uf beiden Seiten zugelssen ist. Der Punt hier ist, dss die Grenzfuntion uch integrierbr ist, wenn mn die Integrierbreit der f sowie die uniforme Schrne f dµ M < + vorussetzt. Beweis. Betrchte die Funtionen g := f f 1. Dnn bilden die g : R +, 1, eine Folge nicht-negtiver messbrer Funtionen. Jedes g ist integrierbr und wir hben die Schrne g dµ f dµ f 1 dµ M f 1 dµ =: M < +. Aus Stz 4.4. und Stz 4.7 (iv) folgt, dss g := lim g eine nicht-negtive messbre Funtion ist mit g dµ = lim g dµ M 1. Also ist g uch integrierbr und durch Addition von f 1 dµ uf beiden Seiten folgt die Behuptung. Korollr 5.1 (Lemm von Borel-Cntelli). Sei (, A, µ) ein Mssrum und A A, 1, eine Folge von Teilmengen mit µ(a ) < +. =1 Sei M die Menge ller x, die in unendlich vielen A liegen. Dnn ist M A und µ(m) =. D. h. µ-fst lle x liegen nur in endlich vielen A. Beweis. Wir betrchten die Menge Wir önnen M uch schreiben ls M := {x : x liegt in unendlich vielen A }. M = ( ) A, l=1 ws zeigt, dss M A gilt. Dss µ(m) = ist, sieht mn wie folgt. Wie betrchten die Funtionenfolge f : R +, 1, von nicht-negtiven integrierbren Funtionen gegeben durch f (x) = =l χ Ai (x). i=1 2

3 Offenbr gilt f 1 f 2 f 3... mit der puntweisen Grenzfuntion f(x) = lim f (x) = χ Ai (x). Bechte, dss f(x) = + genu dnn, wenn x M ist. Nch Vorussetzung gilt f dµ i=1 µ(a i ) =: M < +. i=1 Wir wenden nun Stz 5.1 n und schliessen, dss f integrierbr ist. Nch Stz 4.1. folgt drus, dss f(x) < + µ-fst überll. Nch Konstrution gilt f(x) = + genu dnn, wenn x M (d. h. x liegt in unendlich vielen A liegt.) Also ist µ(m) =. WIr ommen nun zu dem zweiten zentrlen Konvergenzstz der Integrtionstheorie. Stz 5.2 (Dominierte Konvergenz, Henri Lebesgue). Sei (, A, µ) ein Mssrum und f : R, 1, eine Folge integrierbrer Funtionen mit den folgenden Eigenschften: (i) Es gibt eine Funtion f : R mit lim f (x) = f(x) fst überll. (ii) Es gibt eine integrierbre Funtion F : R + mit f F für lle 1. Dnn ist f (nch evtl. Abänderung uf einer Nullmenge) integrierbr und es gilt f = f dµ Ausserdem gilt sogr lim lim f f dµ =. Bemerung Ist der Mssrum (, A, µ) vollständig, so muss f nicht uf einer Nullmenge bgeändert werden. Bei einem nicht-vollständigen Mssrum, önnen wir jedes Nullmenge A stets durch eine messbre Nullmenge N A überdecen, d. h. A N mit µ(n) =. 3

4 Beweis. Nch Vorussetzung gibt es eine messbre Nullmenge N A eine Nullmenge, so dss lim f (x) = f(x) uf N gilt. Durch Multiplition ller f und f mit der chrteristischen Funtion χ N\N önnen wir nnehmen, dss Wir önnen dies schreiben ls f(x) = lim f (x) für lle x. f = lim sup f = inf g mit g := sup{f i : i }. Die Funtion g ist der Limes der monoton wchsenden Folge der integrierbren Funtionen g ν := sup{f i : i ν }. D g ν F du =: M < + für lle ν, ist die Funtion g nch dem Stz der monotonen Konvergenz (Stz 5.1) integrierbr. Die Folge (g ) 1 onvergiert monoton fllend gegen f. Wegen g dµ F dµ = M önnen wie wieder Stz 5.1 nwenden und schliessen, dss f inte grierbr ist mit f dµ = lim g dµ. Ebenso gilt f = lim inf f = sup h mit h := inf{f i : i }. Anlog zu oben schliessen wir, dss die Funtionen h, 1, integrierbr sind und f dµ = lim h dµ. D h f g für lle, folgt f dµ = lim f dµ. Ausserdem hben wir f f g h und somit ( lim f f dµ lim g dµ Dies schliesst den Beweis von Stz 5.2 b. Riemnnsches und Lebesguesches Integrl ) h dµ =. Wir betrchten zunächste den Fll des eigentlichen Riemnnschen Integrls b f(x) dx, ds wir in Infini I für eine gewisse Klsse von sog. Riemnn-integrierbren Funtionen f : [, b] R erlärt htten. Insbesondere htten wir vorusgesetzt, dss f eine beschränte Funtion ist. Der folgende Stz besgt, dss ds Lebesguesche Integrl für ompte Intervlle in R ds Riemnnsche Integrl erweitert. 4

5 Stz 5.3. Sei [, b] R ein omptes Intervll und f : [, b] R eine Riemnnintegrierbre Funtion. Dnn ist f (evtl. nch Abänderung uf einer Lebesgueschen Nullmenge) eine Lebesgue-integrierbre Funtion und es gilt b f(x) dx = [,b] f dλ. Bemerungen 1) Die Umehrung gilt nicht, d es Lebesgue-integrierbre Funtionen f : [, b] R gibt, die nicht Riemnn-integrierbr sind. Z. B. die beschränte Funtion f(x) = χ Q [,1] (x) (Dirichlet-Funtion) ist Lebesgue-integrierbr (mit f dλ = ), ber f [,1] ist nicht Riemnn-integerierbr, wie wir in Infini I leicht gesehen hben. 2) Der obige Stz rechtfertigt uch die Schreibeweise b f(x) dx für ds Lebesgue Integerl über [, b]. Beweis. 1) Betrchte zunächst den Fll einer Treppenfuntion ϕ uf [, b]. D. h. es gibt eine Unterteilung = t < t 1 <... < t m = b und reelle Konstnten c i so dss ϕ ]ti 1,t i[ = c i für 1 i m. Also ist ϕ eine einfche Funtion und beide Integrle stimmen überein: b ϕ(x) dx = ϕ dλ. Dies zeigt den Stz für Treppenfuntionen. 2) Sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Nch dem Stz von Drboux gibt es für jedes 1 Treppenfuntionen ϕ, ψ uf [, b] mit ϕ f ψ und b [,b] (ψ (x) ϕ (x)) dx < 1. Ausserdem önnen wir o.b.d.a. nnehmen, dss ϕ 1 ϕ 2... und ψ 1 ψ 2... gilt. (Andernflls ersetze ϕ durch sup(ϕ 1,..., ϕ ) bzw. ψ durch inf(ψ 1,..., ψ ).) Aus der Definitions des Riemnn-Integrls folgt b f(x) dx = lim b ϕ (x) dx = lim b ψ (x) dx. Andererseits hben wir ϕ ϕ und ψ ψ mit zwei messbren Funtion ϕ und ψ und mit dem Stz der monotonen Konvergenz folgt ϕ dλ = lim ϕ dλ und ψ dλ = lim ψ dλ. [,b] [,b] [,b] [,b] 5

6 Aus 1) folgt ber, dss b ϕ (x) dx = [,b] ϕ dλ und b ψ (x) dx = [,b] ψ dλ für lle. Somit gilt b ϕ(x) dλ = f(x) dx = ψ dλ. [,b] D ϕ f ψ, gilt ψ ϕ. Aus (ψ(x) ϕ(x)) dx = folgt mit Stz 4.1, dss [,b] ϕ = ψ fst überll und dher f = ϕ fst überll. Uneigentliche Riemnnsche Integrle Sei U R Borel-messbr und f eine Lebesgue-integrierbr uf U, dnn gilt nch Definition f dλ < +. Bei uneigentlichen Riemnnschen Integrlen, wie z. B. U f(x) dx = R lim R,ε ε [,b] f(x) dx (flls Limes existent und endlich), nn es sein dss f(x) dx nicht endlich ist. Wir önne lso nicht us der Existenz des uneigentlichen Riemnn-Integrls f dx schliessen, dss f Lebesgue-integrierbr ist über [, ]. (Bechte, dss Stz 5.2 sich mit ompten Intervllen befsst.) Beispiel Die Funtion f :], [ R mit f(x) = sin x x ist nicht Lebesgue-integrierbr uf ], + [. (Siehe 5 in Forster, Anlysis 3, für einen Beweis.) Dennoch existiert ds uneigentliche Riemnnsche Integrl sin x x dx = π 2, wobei der onrete Wert z. B. mit Hilfe von Fourier-Reihen berechnet werden nn. Die L 1 -Norm Sei (, A, µ) ein Mssrum. Für eine messbre Funtion f : R definieren wir f L 1 := f dµ R +. Mnchml schreibt mn uch zur Präzisierung f L 1 () nsttt f L 1. Bechte, dss L 1 uch den Wert + nnehmen nn und f L 1 < + genu dnn, wenn f integrierbr ist. Wir definieren 6

7 L 1 (, µ) := {f : R : f ist messbr und f L 1 < + }. Die Menge L 1 (, µ) ist ein (reeller) Vetorrum, denn wir hben f, g L 1 (, µ) und α, β R αf + βg L 1 (, µ). Bechte, dss die Summe αf +βg wir uf gnz wie folgt definieren önnen: Aus Stz 4.1 folgt, dss f < und g < fst überll uf, und wir önnen die Summe uf einer messbren Nullmenge (wo f und g beide ± sind) z. B. ls definieren. Sei f, g L 1 (, µ). Wir notieren die folgenden Eigenschften von L 1 f L 1 = f = fst überll. cf L 1 = c f L 1 für lle c R. f + g L 1 f L 1 + g L 1. Dmit definiert L 1 eine Seminorm (uch Hlb- oder Pseudonorm) uf L 1 (, µ). Die Ttsche, dss lediglich f = fst überll us f L 1 = (und nicht f = überll) folgt, zeigt, dss L 1 eine Norm uf L 1 (, µ) ist. Doch diese Unzulänglicheit lässt sich mit folgender Konvention beheben. Für f, g L 1 (, µ) definieren wir die Äquivlenzreltion f g : f = g fst überll. und definieren die Menge der Äquivlenlssen L 1 (, µ) := L 1 (, µ)/. Der Rum L 1 (, µ) ist ebenflls ein Vetorrum, d für die Äquivlenzlssen [αf + βg] = α[f] + β[g] gilt. Bechte, dss L 1 eine Norm uf L 1 (, µ) definiert, denn es gilt [f] L 1 = [f] =. Wir hlten fest: L 1 (, µ) ist ein normierter Vetorrum mit Norm L 1. Von nun n folgen wir der üblichen Konvention: Ansttt der Äquivlenlssen [f] L 1 (, µ) rechnen wir mit deren Repräsentnten f L 1 (, µ) und sprechen z. B. von der L 1 -Norm f L 1 sprechen (obwohl es eine Seminorm ist). 5.2 Approximtionssätze Wird in der Schlussversion eingefügt. 7