3 Uneigentliche Integrale

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1 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium für die bsolute, uneigentliche Riemn-Integrierbrkeit einer Funktion hergeleitet, und dmit ls ein Beispiel us < und cos für 2 uf die bsolute Konvergenz des uneigentlichen Riemn Integrls cos + 2 geschlossen. Bechte ds es keine Rolle spielt ds wir unseren Integrnden nur für mjorisieren, für jedes gilt + t = 2 + t t, 2 lso ist im Grenzwert cos + = 2 cos cos + 2. Solche Anfngsstücke knn mn immer us einem uneigentlichen Integrl bsplten, wir werden dies im Folgenden gelegentlich tun uch ohne jedesml gesondert druf hinzuweisen. Mn knn ds Mjorntenkriterium uch mit den nderen Rechenregeln kombinieren um die Konvergenz uch nicht bsolut konvergenter uneigentlicher Integrle einzusehen. Als ein solches Beispiel wollen wir uns überlegen, dss ds uneigentliche Riemn-Integrl sin( 2 ) konvergiert. behndeln. Substituieren wir zunächst s = t 2, lso = ds/(2 s), so ist für jedes > π/2 π/2 sin(t 2 ) = sin(t 2 ) π/2 π/2 = sin t t sin(t 2 ) cos( 2 ) π/2. t3/2 -

2 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 Anlog zur obigen Überlegung ist ds uneigentliche Riemn-Intergrl π/2 t3/2 bsolut konvergent, lso uch konvergent. Nch I. 4.Lemm 4 ist uch 2 π/2 = t3/2 π/2, t3/2 und wegen cos( 2 )/ = ergibt sich insgesmt die Eistenz des sogennnten Fresnel-Integrls Mn knn beweisen, dss sin( 2 ) = π/2 sin(t 2 ) 4 sin( 2 ) = 2 π 2 π/2. t3/2 ist. Diese Beispiel zeigt uch ds ein uneigentliches Riemn-Integrl f() R eistieren knn, selbst wenn die Funktion f() für nicht gegen Null konvergiert. Ds Fresnel-Integrl ist ber nicht bsolut konvergent. Zum Abschluß wollen wir jetzt noch beidseitig uneigentliche Riemn-Integrle diskutieren. Definition 3.3: Seien, b R mit < b. Wähle irgendein c R zwischen und b, d.h. < c < b. Dnn heißt eine Funktion f : (, b) R über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr wenn f über (, c] und über [c, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. In diesem Fll nennen wir b f() := c f() + b c f() ds uneigentliche Riemn Integrl von f über (, b). Dieser Wert ist dnn unbhängig vom speziell gewählten c. Anders gesgt ist b f() = c f(t) + b c f(t). Die beiden Grenzwerte müssen hier einzeln gebildet werden, zum Beispiel reicht die Eistenz von f(t) nicht us, um die Eistenz von f(t) zu begründen. Ein erstes Beispiel dieser beidseitig uneigentlichen Integrle ist + = 2 + t t 2 = rctn() rctn() + rctn() rctn(). -2

3 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg Arcus Tngens Nun ist rctn() =. Die beiden Arcustngens Grenzwerte kennen wir uch, Sie müssen sich nur n den Grphen des Arcustngens erinnern wobei die gestrichelten Linien bei y = ±π/2 verlufen. Somit sind rctn = π/2, rctn = π/2, und wir hben insgesmt ( + = π ) + π = π. Allgemein ist für lle, b R mit := 4b 2 > stets b = t 2 + t + b ( ) ( )) = (rctn rctn = π 2 ( ) rctn und nlog uch lso ist insgesmt b = + π + 2 ( ) rctn, b = 2π. Ein drittes Beispiel ist ds uneigentliche Integrl 2 = + t 2 t 2 = rcsin() rcsin() + rcsin rcsin() = π d rcsin() =, rcsin( ) = π/2 und rcsin() = π/2 sind. Wissen wir bereits, dss eine Funktion f über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist, so können wir den Grenzwert uch simultn bilden, lso oben zum Beispiel + 2 = + t 2 = 2 rctn = π rechnen. Dies funktioniert nicht wenn f überhupt nicht integrierbr ist, zum Beispiel konvergiert nicht obwohl t 2 t = 2 = -3

4 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 gilt. Die in diesem Kpitel für einseitig uneigentliche Integrle hergeleiteten Sätze gelten entsprechend uch für beidseitig uneigentliche Riemn-Integrle, und wir werden sie uch entsprechend verwenden. 4 Funktionenfolgen und normierte Räume In diesem Abschnitt wollen wir nicht mehr einzelne Funktionen sondern gnze Funktionenfolgen betrchten. In I. 6 htten wir bereits Folgen in einer beliebigen Menge definiert, und eine Funktionenfolge ist einfch eine Folge in einer Menge von Funktionen. Definition 4. (Funktionenfolgen) Seien M, N zwei Mengen. Dnn schreiben wir M N := {f f ist eine Abbildung von N nch M} für die Menge ller Funktionen von N nch M. Eine Folge von Funktionen von N nch M ist eine Folge (f n ) n N in der Menge M N. In diesem Kpitel werden wir huptsächlich n den beiden Fällen M = R oder M = C interessiert sein, wir betrchten lso Folgen von reell oder komplewertigen Funktionen. Ein einfches Beispiel ist die Funktionenfolge (f n ) n N wobei für jedes n N f n : R R; ne n ist. Zumeist werden wir solche durch Formeln gegebenen Funktionenfolgen in der verkürzten Form f n () := ne n, R hinschreiben, lso ls eine Formel in der n ls Prmeter vorkommt. Die Definitionsmenge M und die Zielmenge N müssen dbei ber immer klr sein, oder notflls eplizit ngegeben werden. Weitere Beispiele in dieser Nottion sind dnn f n () := jeweils ls Abbildungen f n : R R. 4. Punktweise Konvergenz + 2n, f n() := sin(n), f n () := ( + ) n n Wir wollen uch so etws wie eine Konvergenz von Funktionenfolgen hben, und der einfchste derrtige Konvergenzbegriff ist die sogennnte punktweise Konvergenz. Definition 4.2: Seien M eine Menge, K {R, C} und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von M nch K. Wir sgen, dss die Folge (f n ) n N punktweise gegen eine Funktion f : M K konvergiert, wenn f() = f n () -4

5 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 für jedes M gilt. Wir nennen die Funktion f dnn uch den punktweisen Grenzwert oder die punktweise Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gelegentlich spricht mn uch verkürzend einfch von der Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gehen wir die obigen Beispiele einml durch. Ws ist ne n? Im Fll > ist dies klr, wir hben dnn ne n = ne n = nch I. 3.Stz 2.(c). Ist dgegen, lso e n und ne n n für lle n N, so ist ne n = nicht konvergent. Als Abbildungen von R nch R ist diese Funktionenfolge lso nicht punktweise konvergent. Auf (, ) konvergiert sie dgegen punktweise gegen die Nullfunktion. Als ein zweites Beispiel betrchten wir die durch f n () = n + n für n gegebene Folge von Funktion von R > nch R. Hier tritt bei der Ermittlung des Grenzwertes wieder eine Fllunterscheidung uf. Ist <, so hben wir f n () n 2 für jedes n, lso ist wegen ( n 2) n N uch f n () =. Ist dgegen >, so ist = n n < n + n < n 2 n = n 2 für jedes n, und es folgt f n () =. Insgesmt ist lso { f,, n() =, >. Hier hben wir lso eine Folge von nlytischen Funktionen, die gegen eine Funktion konvergiert die nicht einml mehr überll differenzierbr ist. Wir kommen zu einem weiteren Beispiel für die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen, nämlich die Folge f n () = + 2n. Um den punktweisen Grenzwert dieser Folge uszurechnen müssen wir den Grenzwert + 2n in Abhängigkeit von berechnen. Hierzu müssen wir erneut einige verschiedene Fälle für unterscheiden. -5

6 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 Fll Ist <, so gilt 2n =, lso + 2n = + =. Fll 2 Für = ist 2n = ( 2 ) n = für lle n N, lso uch f n () = /2 für lle n N, und somit ist f n () = /2. Fll 3 Ist schließlich >, so ist 2n = ( 2 ) n =, lso Dmit hben wir insgesmt f n() = f() := =. + 2n, <,, =, 2, >. Diesml ist die Funktionenfolge lso uf gnz R punktweise konvergent, wenn uch gegen eine etws merkwürdige Grenzfunktion. Insbesondere ist dies ein Beispiel einer Folge nlytischer Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiert, die nicht einml mehr stetig ist. Wir wollen uch noch ein gutrtigeres Beispiel besprechen, die Funktionenfolge ( f n () = + n) n. Wegen ist Dmit folgt uch [( ln + ) n ] ( = n ln + ) n n = ln ( + n [( ln + ) n ] = ln () =. n n ) ln ( + ) n ( = ep [( n ln + ) n ]) = e. n Also konvergiert die Funktionenfolge (f n ) n N hier uf gnz R punktweise gegen die Eponentilfunktion. Wie uns diese Beispiele zeigen, verträgt sich die punktweise Konvergenz nicht gut mit Stetigkeit oder Differenzierbrkeit von Funktionen. Wir wollen uns jetzt nschuen wie es mit der Integrierbrkeit ussieht. Nehme n wir hben, b R mit < b und eine Funktionenfolge f n : [, b] R Riemn-integrierbrer Funktionen f n gegeben. Weiter soll die Funktionenfolge (f n ) n N punktweise gegen eine -6

7 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 ebenflls integrierbre Funktion f : [, b] R konvergieren. Durch Integrieren erhlten wir die Zhlenfolge ( b ) f n () n N und es stellt sich die Frge, wnn diese Zhlenfolge gegen ds Integrl b f() konvergiert? Auch dies wollen wir uns n einem Beispiel nschuen. Sei n N mit n. Wir definieren dnn eine Funktion f n : [, ] R wie im nebenstehenden Bild, für /n und für /(n + ) soll f n () = sein. Für zwischen /(n + ) und /n soll der Grph von f n ein Dreieck sein, dessen Spitze in der Mitte zwischen /(n + ) und /n liegt, und dessen Höhe c n so gewählt ist, dss die Fläche des Dreiecks gleich ist. Auf diese Weise ist sicher gestellt, dss f n () = für jedes n N mit n gilt. Andererseits konvergiert die Funktionenfolge (f n ) n punktweise gegen die Nullfunktion. Sei nämlich ein < gegeben. Nch der rchimedischen Eigenschft der reellen Zhlen gibt es ein n N mit /n <, und für jedes n N mit n n ist dmit uch /n /n <, lso f n () =. Die Folge (f n ()) n N ist lso b dem Inde n konstnt Null, und somit f n () =. Für = ist sogr f n () = für lle n N. Somit gilt f n() = für jedes, und unsere Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion obwohl f n() = ist. Hier ist lso f n() = = f n (). Ttsächlich knn es sogr pssieren, dss eine Folge Riemn-integrierbrer Funktionen punktweise gegen eine beschränkte, ber nicht mehr Riemn-integrierbre Funktion konvergiert. Um hierfür ein Beispiel zu konstruieren, ist es n der Zeit einen neuen mengentheoretischen Begriff einzuführen. Definition 4.3 (Abzählbre Mengen) Eine Menge M heißt bzählbr, wenn entweder M = ist oder es eine surjektive Abbildung f : N M gibt. Eine nicht leere, bzählbre Menge knn mn lso in der Form M = {f(n) n N} beziehungsweise M = { n n N} schreiben. Unmittelbr us der Definition ergeben sich die folgenden Grundeigenschften bzählbrer Mengen: -7

8 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5. Sind M eine bzählbre Menge und f : M N eine surjektive Abbildung, so ist uch die Menge N bzählbr. Ist nämlich M =, so ist uch N = und ndernflls eistiert eine surjektive Abbildung g : N M und nch I. 3.Lemm 2.(c) ist uch f g : N N surjektiv. Dmit ist N in beiden Fällen eine bzählbre Menge. 2. Ist M eine bzählbre Menge und N M eine Teilmenge, so ist uch N bzählbr. Dies ist klr wenn N = ist, wir können lso N nnehmen und ein Element y N wählen. Dnn ist {, N, f : M N; y, / N eine surjektive Abbildung und nch Aussge () ist N wieder bzählbr. 3. Sind M, N zwei bzählbre Mengen, so ist uch die Vereinigung M N bzählbr. Ist M = oder N =, so ist M N = N oder M N = M und die Behuptung ist klr. Andernflls gibt es surjektive Abbildungen f : N M, g : N N, und wir erhlten die surjektive Abbildung { f ( ) n 2, n ist gerde, h : N M N; n g ( ) n 2, n ist ungerde, d.h. uch in diesem Fll ist M N bzählbr. 4. Die Menge N N ist bzählbr. Dies ist klr, mn knn N N beispielsweise nch Digonlen geordnet durchlufen, dies hben wir schon in I. 7.3 bei der Besprechung des Cuchy-Produkts von Reihen gesehen. 5. Sind M, N zwei bzählbre Mengen, so ist uch ds crtesische Produkt M N bzählbr. Ist M = oder N =, so ist M N =. Andernflls gibt es surjektive Abbildungen f : N M, g : N N, und dmit ist uch h : N N M N; (n, m) (f(n), g(m)) eine surjektive Abbildung. Nch (4) und () ist dmit uch M N bzählbr. 6. Wir können Aussge (3) noch weiter verllgemeinern. Angenommen wir hben eine Indemenge I und für jeden Inde i I eine Menge M i gegeben. Dnn können wir die Vereinigung M i := { (i I) : M i } i I bilden, d.h. die Menge ller mthemtischen Objekte die in einer der Mengen M i, i I vorkommen. Sind dnn die Indemenge I bzählbr und ist zusätzlich -8

9 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 jede der Mengen M i für i I bzählbr, so ist uch die Vereinigung i I M i bzählbr. Um dies einzusehen, betrchten wir die Hilfsmenge J := {i I M i } und dnn ist offenbr M := i I M i = i J M i. Wegen J I ist nch Aussge (2) uch die Menge J bzählbr. Ist dbei J =, so ist uch M = und insbesondere ist M dnn bzählbr. Andernflls eistiert eine surjektive Abbildung f : N J. Weiter ist M i für jedes i J eine nicht leere, bzählbre Menge, lso gibt es eine surjektive Abbildung g i : N M i. Wir behupten jetzt, dss dnn uch h : N N M; (n, m) g f(n) (m) eine surjektive Abbildung ist. Sei nämlich M gegeben. Dnn eistiert ein i J mit M i und d g i surjektiv ist, eistiert weiter ein m N mit = g i (m). Die Surjektivität von f liefert ein n N mit i = f(n) und insgesmt ist dmit h(n, m) = g f(n) (m) = g i (m) =. Nch den Aussgen (4) und () ist dmit uch M bzählbr. Die zuletzt bewiesene Aussge wird oft ls bzählbre Vereinigungen bzählbrer Mengen sind bzählbr zusmmengefsst. Die Menge N ist trivilerweise bzählbr und ebenso ist uch N = { n n N} offenbr bzählbr. Nch Aussge (3) sind dmit uch die gnzen Zhlen Z = N N bzählbr. Weiter ergibt () ds für jedes q N mit q die Menge { } p q p Z ller Brüche mit Nenner q bzählbr ist, d.h. nch (6) ist uch die Menge Q = { } p q p Z q der rtionlen Zhlen bzählbr. Dmit können wir jetzt recht eplizit ein Beispiel einer Folge Riemn-integrierbrer Funktionen konstruieren, die punktweise gegen eine nicht Riemn-integrierbre Funktion konvergiert. Wie eben gesehen ist Q bzählbr, wir können lso Q = {r n n N} schreiben. Für jedes n N betrchten wir die Funktion {, {r, r 2,..., r n }, f n : [, ] R;, / {r, r 2,..., r n }. -9

10 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 Dnn ist f n n höchstens n + vielen Stellen von der Nullfunktion verschieden, und insbesondere Riemn-integrierbr. Wir behupten jetzt, dss für jedes [, ] stets f n() = {, Q,, / Q gilt, die Funktionenfolge (f n ) n N konvergiert lso punktweise gegen die schon früher betrchtete Dirichlet-Funktion. Sei [, ]. Ist Q, so eistiert ein n N mit = r n und für jedes n n ist dmit f n () =, lso uch (f n ()). Ist dgegen / Q, lso r n für jedes n N, so ist f n () = für jedes n N, lso (f n ()). Wie wir schon wissen, ist die Dirichlet Funktion nicht Riemn-integrierbr. 4.2 Gleichmäßige Konvergenz Wie wir n den Beispielen des letzten Abschnitts gesehen hben, ist die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen für viele Zwecke ein zu schwcher Konvergenzbegriffs, punktweise Grenzwerte stetiger Funktionen mussten nicht einml mehr stetig sein. In diesem Abschnitt wollen wir einen besseren Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen behndeln, bei dem derrtige Effekte nicht mehr uftreten können. Ws wir vermeiden wollen knn mn gut m Beispiel der Funktionenfolge f n () = ne n sehen. Für > konvergierte diese punktweise gegen die Nullfunktion. Bei näher n Null hernrückenden brucht mn ber immer größere Werte von n bis ne n endlich klein wird. Bei dem nun zu definierenden Konvergenzbegriff wird ein derrtiges Verhlten eplizit usgeschlossen. Definition 4.4 (Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen) Seien K {R, C} und M eine Menge. Eine Folge (f n ) n N von Funktionen von M nch K konvergiert dnn gleichmäßig gegen eine Funktion f : M K wenn es für jedes ɛ > stets ein n N mit f n () f() < ɛ für lle n N mit n n und lle M gibt. In Quntorenschreibweise wird dies zu (ɛ > ) (n N) ( M) (n n ) : f n () f() < ɛ. Einige unserer Beispiele punktweiser Konvergenz us dem vorigen Abschnitt sind in Whrheit uch gleichmäßig konvergent. Wir beginnen mit der Funktionenfolge f n : [, ) R; ne n. Bechte ds wir diesml diese Funktionen nur für betrchten, dies ist ein wesentlicher Unterschied zum Fll >. Wir behupten ds die Funktionenfolge (f n ) n N gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert. Sei hierzu ein ɛ > gegeben. Wegen -

11 Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 ne n eistiert dnn ein n N mit ne n < ɛ für lle n n. Sind lso n N mit n n und R mit gegeben, so ist uch f n () = ne n ne n < ɛ. Dmit konvergiert die Funktionenfolge (f n ) n N uf [, ) gleichmäßig gegen die Nullfunktion. -