14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN

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1 120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und im Verluf der Vorlesung MAT 182 vollständig durchrbeiten. Für Ihre eigenen Bedürfnisse in dieser Vorlesung MAT 182 dürfen Sie dieses PDF-Dokument bspeichern und beliebig ändern. Für eine weitergehende Verwendung usserhlb der Vorlesung MAT 182 kontktiere mn bitte vorgängig den Dozenten Christoph Luchsinger, Universität Zürich. Ds Copyright ist bei Birkhäuser! 14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN (14.2) Gewöhnliche Integrtion von Vektorfunktionen Eine Vektorfunktion x(t), gegeben durch x(t) = x 1(t) x 2 (t), x 3 (t) wird beknntlich (vgl. (8.5)) koordintenweise bgeleitet: x = ẋ1(t) ẋ 2 (t). ẋ 3 (t) Gnz nlog knn mn ds bestimmte Integrl koordintenweise berechnen. Wir definieren: x 1(t) dt x(t) dt = b x 2(t) dt. x 3(t) dt Der Wert dieses Integrls ist lso wieder ein Vektor. Wir betrchten nun Anwendungen dieses Konzepts. Beispiele Zur Vorbereitung repetieren wir us Kpitel 8 den Zusmmenhng zwischen Geschwindigkeit und Strecke im eindimensionlen Fll.

2 14.2 Gewöhnliche Integrtion von Vektorfunktionen Von einem bewegten Mssenpunkt sei der Geschwindigkeitsvektor v(t) = v 1(t) v 2 (t) v 3 (t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t beknnt. Zur Zeit t 0 befinde er sich n der durch den Ortsvektor x(t 0 ) = x 0 gegebenen Stelle. Wo befindet er sich zum Zeitpunkt t? Es sei x(t) der Ortsvektor des Mssenpunkts zur Zeit t. Nch (8.4) ist dnn v(t) = x(t). Für die 1. Koordintenfunktion gilt dher Durch Integrtion erhlten wir t t 0 v 1 (u) du = v 1 (t) = ẋ 1 (t). t t 0 ẋ 1 (u) du = x 1 (t) x 1 (t 0 ), denn x 1 (t) ist ntürlich eine Stmmfunktion von ẋ 1 (t). (D die obere Integrtionsgrenze t heisst, wurde die Integrtionsvrible neu mit u bezeichnet.) Anloge Formeln gelten für die beiden ndern Koordinten. Diese drei Beziehungen lssen sich gemäss der obenstehenden Definition zur folgenden Vektorgleichung zusmmenfssen: t v(u) du = x(t) x(t 0 ). t 0 Wir erhlten ls Antwort uf die eingngs gestellte Frge x(t) = x(t 0 ) + t t 0 v(u) du. Wir stellen fest, dss die Integrtion uch für Vektoren ls Umkehrung der Differentition betrchtet werden knn (vgl. (12.8), wo uch ds eindimensionle Anlogon der obigen Formel steht). Ein konkretes Beispiel: Ein Punkt bewegt sich im Rum mit der Geschwindigkeit v(t) = 2t 1 3t t 3 Wo ist er zur Zeit t = 2, wenn er zur Zeit t = 0 ) im Nullpunkt, b) im Punkt P (1, 1, 2) wr?

3 Integrtion von Vektorfunktionen (14.3) Vektorfelder (vector field) Bis jetzt hben wir Vektorfunktionen x(t) betrchtet, bei denen der Vektor x vom Prmeter t, lso nur von einer Vriblen, bhing. Nun wollen wir Vektoren untersuchen, die vom Ort (welcher durch drei Vriblen, nämlich die drei Koordinten, beschrieben wird) bhängen. Diese Sitution lässt sich drstellen, indem mn in jedem Punkt X des Rumes den zu X gehörigen Vektor ufzeichnet. Die Länge und die Richtung dieses Vektors können sich von Punkt zu Punkt ändern. Die untenstehenden Illustrtionen sind us zeichnerischen Gründen zweidimensionl; in Wirklichkeit ht mn sich die Sitution räumlich vorzustellen. ) Eine Flüssigkeit strömt durch eine Röhre. In jedem Punkt X ist die n dieser Stelle herrschende Strömungsgeschwindigkeit (ein Vektor!) eingezeichnet: b) Windgeschwindigkeit. In jedem Punkt eines gewissen Teils der Lufthülle ist die zugehörige Windgeschwindigkeit eingetrgen (hier scheint gerde ein Wirbelsturm zu wüten): c) Krftfelder. Dies ist eine wichtige physiklische Anwendung. In jedem Punkt des Rumes (oder eines Teilgebiets dvon) wirkt eine bestimmte Krft, deren Grösse und Richtung im llgemeinen von ihrem Angriffspunkt bhängt:

4 14.3 Vektorfelder (vector field) 123 Nun betrchten wir die Sitution llgemein. Um den Punkt X vektoriell drstellen zu können, wählen wir einen Ursprung O. Zum Punkt X gehört dnn ein Ortsvektor, nämlich der Vektor x = OX. D der im Punkt X ngebrchte Vektor F von X und dmit von x bhängt, schreibt mn dfür F ( x). Dmit liegt eine Funktion vor, welche jedem Vektor x des Rumes einen neuen Vektor F ( x) zuordnet, lso eine Funktion, die uf R 3 definiert ist und Werte in R 3 nnimmt: F : R 3 R 3. Eine solche Funktion nennt mn ein Vektorfeld. Wenn der Vektor F eine Krft drstellt, wie im Beispiel c), dnn spricht mn uch von einem Krftfeld. Der Vektor F = F ( x) ist wie üblich durch seine drei Koordintenfunktionen gegeben: F ( x) = F 1( x) F 2 ( x). F 3 ( x) Dbei sind die Funktionswerte F 1 ( x), F 2 ( x), F 3 ( x) reelle Zhlen, welche vom Vektor x = x 1 x 2 x 3 lso jeweils von drei reellen Zhlen bhängen. F 1, F 2 und F 3 sind somit (reellwertige) Funktionen von drei Vriblen. Auf Funktionen von mehreren Vriblen wird später noch genuer eingegngen (Kpitel 22). Es folgen zwei formelmässig gegebene Beispiele: 1. Elektrosttisches Feld einer Punktldung:,

5 Integrtion von Vektorfunktionen Eine llgemeine Schlussfolgerung us dem ersten Beispiel, erklärt m Beispiel von Hndy strhlen:

6 14.3 Vektorfelder (vector field) 125 Weitere Beispiele zu dieser Schlussfolgerung: 2. Wenn die involvierten Funktionen nicht so gut beknnt sind, hilft eine Wertetbelle (Bilder Storrer Seite 188 und 189):

7 Integrtion von Vektorfunktionen (14.4) Kurvenintegrle (line integrl)

8 14.5 Weitere Informtionen über Kurvenintegrle 127 Somit können wir zusmmenfssend sgen: Die in der besprochenen Sitution geleistete Arbeit ist definiert durch W = F ( x(t)) x(t) dt. Ein Integrl dieser Form heisst ein Kurvenintegrl. Es knn uch für beliebige Vektorfelder, unbhängig vom Begriff der Arbeit, definiert werden. Wir hlten lso llgemein fest: Es sei F = F ( x) ein beliebiges Vektorfeld und C sei ein Kurvenstück, gegeben durch die Prmeterdrstellung x = x(t) (t [, b]). Unter dem Kurvenintegrl (oder Linienintegrl) von F über C versteht mn ds Integrl (1) F ( x(t)) x(t) dt. Bechten Sie, dss es sich bei (1) um ein gnz gewöhnliches Integrl einer Funktion einer Vriblen hndelt. Ist die Definition des Kurvenintegrls einml vorhnden, so knn mn den Begriff der Arbeit in seiner llgemeinsten Form ls ein derrtiges Kurvenintegrl definieren die motivierenden Betrchtungen hben gezeigt, dss ds Kurvenintegrl für diesen Zweck unentbehrlich ist. Schreibt mn die Vektoren in Komponentenform so erhält mn, usführlich geschrieben: F ( x) = F 1( x) F 2 ( x), x(t) = x 1(t) x 2 (t), F 3 ( x) x 3 (t) (2) F ( x(t)) x(t) dt = ( F1 ( x(t))ẋ 1 (t) + F 2 ( x(t))ẋ 2 (t) + F 3 ( x(t))ẋ 3 (t) ) dt. Unter Verwendung der Formeln (1) oder (2) lssen sich Kurvenintegrle berechnen (siehe (14.6), wo uch ein Rechenschem ngegeben ist). (14.5) Weitere Informtionen über Kurvenintegrle

9 Integrtion von Vektorfunktionen (14.6) Beispiele zur Berechnung von Kurvenintegrlen

10 14.6 Beispiele zur Berechnung von Kurvenintegrlen Zu berechnen sei x d x, wobei C der Einheitskreis in der x-y Ebene sei. Für C C können wir die Prmeterdrstellung us (8.2.2) wählen: x(t) = cos t sin t, t [0, 2π]. 0 Ds Vektorfeld F ( x) ist hier schon ls Integrnd gegeben, nämlich durch F ( x) = x, in Koordinten lso einfch F ( x) = x 1 x 2. x 3 Unser Rechenschem liefert F ( x(t)) = cos t sin t 0, Für den Integrnden F ( x(t)) x(t) erhält mn Dmit wird uch ds Kurvenintegrl x(t) = sin t cos t. 0 cos t( sin t) + sin t cos t = 0. C x d x = 0. Die Ttsche, dss der Integrnd gleich Null ist, ht eine gnz nschuliche Begründung: D die Kurve C ein Kreis ist, steht der Tngentilvektor x stets senkrecht uf dem Vektor x (= F ( x)). Ds Sklrprodukt ist lso Null. Noch etws nschulicher und mit gebührender Vorsicht: Fssen wir F ls Krftfeld uf, so steht bei einer Kreisbewegung die Krft F ( x) = x stets senkrecht uf dem unendlich kleinen Kurvenstück d x. Somit ist ds Sklrprodukt x d x = 0 und dmit uch die geleistete Arbeit: x d x = 0. C Wichtig: 1. Lesen Sie jetzt ds komplette Kpitel im Storrer I selber durch. 2. Lösen Sie dnch mindestens 5 Aufgben hinten im Kpitel und vergleichen Sie mit den Lösungen m Schluss des Buches. Bei Bedrf lösen Sie mehr Aufgben. 3. Gehen Sie in die Übungsstunde. Drucken Sie ds Übungsbltt dzu vorher us, lesen Sie vorher die Aufgben durch und mchen sich erste Gednken dzu (zum Beispiel, wie mn sie lösen könnte). 4. Dnn lösen Sie ds Übungsbltt: zuerst immer selber probieren, flls nicht geht: Tipp von Mitstudi benutzen, flls immer noch nicht geht: Lösung von Mitstudi nschuen, 1 Stunde wrten, versuchen, us dem Kopf herus wieder zu lösen, flls immer noch nicht geht: Lösung von Mitstudi bschreiben (und verstehen - lso sollte mn insbesondere keine Fehler bschreiben!). 5. Lösen Sie die entsprechenden Prüfungsufgben im Archiv.

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