f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

Transkript

1 Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,..., n 1 ) n ψ n 1 ( 1,..., n 1 )} Wobei die ϕ i, ψ i : R i R lle jeweils stetig sind. Dnn knn mn für eine stetige Funktion: Ds Integrl über G wie folgt definieren: b ψ 1 ( 1 ) ψ ( 1, ) f () d :... G ϕ 1 ( 1 ) ϕ ( 1, ) f : G R ψ n 1 ( 1,..., n 1 ) ϕ n 1 ( 1,..., n 1 ) f () d n... d 3 d d 1 Ds ist zwr die llgemeine Form, ber es ist nützlich sie sich für den R und R 3 eplizit nzuschuen. Normlgebiete im R Im R ht mn nur zwei Vriblen. Dmit hben hier die Normlgebiete folgende Form: { } G (, ) R b, g1 () g () Wobei b R und g 1, : [, b] R zwei stetige Funktion sind. Also Beispiel möchte ich folgendes Gebiet geben: G {(, ( ) } ) R, + 1 (sin () + 5) 1

2 Nun ergibt sich für eine stetige Funktion folgende Integrtionsregel: G f (, ) dd f : G R b g () g 1 () f (, ) d d Aus der Schule kennt mn j die Flächenberechnung zwischen zwei Grphen und ds würde nun genu der Integrtion von f 1 über G entsprechen. Dfür erhält mn folgendes: b g () Vol (G) 1dd 1d d G b g 1 () (g () g 1 ()) d n muss lso immer erst die Gebietsgrenzen definieren und knn dnn obige Formel nwenden. Beispiel: Wir betrchten ds Gebiet, ws durch folgende Grenzen eingeschlossen wird: und wollen ds Integrl der Funktion + f (, ) berechnen. it der letzten Bedingung hben wir die Funktion: und diese ht eine Nullstelle bei. Somit hben wir folgende Grenzen: Dmit erhlten wir nun: G f (, ) dd ( [ d d [ ] d ( ) d ] ) d

3 Normlgebiete im R 3 Wir betrchten ls erstes wieder ein Normlgebiet im R : { } G (, ) R b, g1 () g () Druf definiert mn nun zwei stetige Funktionen: h 1, : G R und knn dmit ein Normlgebiet definieren: { } K (,, z) R 3 b, g1 () g (), h 1 (, ) z h (, ) Für eine stetige Funktion: f : K R knn mn dmit folgende Integrtionsformel ngeben: Beispiel K f (,, z) dddz b g () h (,) g 1 () h 1 (,) f (,, z) dz d d Wir wollen ds Volumen für folgendes Normlgebiet berechnen: it obiger Formel ergibt sich: [, 1] [, 1] h 1 h (, ) + vol (K) 1dddz K [ 1 1 [ 1dz d d ( + ) d d + ( + 1 ) d + ] 1 ] 1 d 3

4 Trnsformtionsstz Sei R n eine messbre enge und Φ : Φ () {Φ () } sei ein Diffeomorphismus. Ds heißt Φ und Φ 1 sind stetig differenzierbr. Für eine Funktion f : Φ () R gilt: 1. : f ist uf Φ () integrierbr f Φ det Φ ist uf integrierbr. : f () d f (Φ ()) det Φ () d Dmit knn mn nun über viele speziell geformte engen integrieren, solng mn einen Diffeomorphismus ht, der die enge us einem Normlgebiet formt. Beispiel Sei λ >. Wir wollen zu einer messbren enge R n ds Volumen der um λ gestreckten enge berechnen, lso: λ : {λ R n } Vol (λ)? Dzu müssen wir ls erstes eine pssende Funktion Φ definieren: Φ : R n R n λ λ 1. λ n Diese Abbildung ist liner und dmit ein Diffeomorphismus. Wir erhlten für den Grdienten: λ Φ ()..... λ E n λ Dmit erhlten wir für die Determinnte: det Φ () λ n Nun können wir den Trnsformtionsstz nwenden: Vol (λ) 1 d λ λ n 1 d 1 det Φ () d 1 d λ n Vol () 4

5 λ Polrkoordinten Häufig möchte mn Funktionen über Kreisbschnitte integrieren. Dzu verwendet mn die sogennnten Polrkoordinten, welche einen Punkt mit dem Winkel zur -Achse und einem Rdius eindeutig bestimmen. r n knn nun wie folgt drstellen: ( ) Will mn nun ein Kreissegment wie dieses Φ (r, ) ( r cos r sin [, π] ( ) cos r sin Φ (r, ) sin r cos ( ) det Φ r cos + sin r ) r r 1 N mittels Φ prmetrisieren, so erhält mn: {( ) } r cos N r sin r [r 1, r ], [, ] Ds heißt lso: Φ ([r 1, r ] [, ]) : Φ () 5

6 Φ r 1 r r 1 r r ist offensichtlich ein Normlgebiet und somit können wir den Trnsformtionsstz sinnvoll nwenden: f () d f (Φ (r, )) det Φ () d (r, ) N r f (Φ (r, )) r dr d r 1 Beispiel Wir wollen die Fläche des Einheitskreises D { R 1 } mit Hilfe der obigen Formel usrechnen. Wir hben lso r [, 1] [, π] [, 1] [, π] Dmit folgt: D 1 d 1 d π 1 π π 1 d 1 r dr d Also stimmt hier schon ml lles ;) 6

7 Vribler Rdius Nun knn mn ebenflls leicht Gebiete beschreiben, die ein Kreissegment mit vriblem Rdius sind. Also so zum Beispiel: N g() Ds bedeutet nun: N {( r cos r sin ) [, ], r [, g ()] Φ ({(r, ) [, ], r [, g ()]}) : Φ () Und ist dmit wieder ein Normlgebiet. Ds knn mn sich so vorstellen: } r g() Φ g() Beispiel Also Beispiel wollen wir ml die Fläche einer Spirle usrechnen. Es sei: [, π] g () : { (r, ) [, π], r [, ]} Dmit erhält mn folgende Fläche: 1 g() Nun wenden wir den Trnsformtionsstz einfch n: Vol (N) 1 d 7

8 Und ds ist doch ein schönes Ergebnis. π π [ ] r π π [ ] π r dr d d 4 d Kugelkoordinten In 3 Dimensionen kommt zu den Polrkoordinten noch ein weiterer Rumwinkel hinzu. n nennt diese Koordinten dnn Kugelkoordinten: r cos ϕ sin θ Φ (r, θ, ϕ) r sin ϕ sin θ z r cos θ Φ (r, θ, ϕ) θ [, π] ϕ [, π] det Φ r sin θ Bildlich knn mn sich ds so vorstellen: sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ 1 Dmit knn mn nun ebenflls über Kugelsegmente integrieren. Beispiel Wir suchen ds Volumen der Kugel K { R 3 R } in Abhängigkeit des Rdius R. Dzu ergeben sich folgende Bedingungen für die Kugelkoordinten: r [, R] θ [, π] ϕ [, π] 1 Quelle:

9 Somit können wir wieder den Trnsformtionsstz nwenden: π π R 1 d r sin θ dr dθ dϕ K π π [ ] r 3 R sin θ dθ dϕ 3 π π R3 3 sin θ dθ dϕ π R3 3 [ cos θ] π dϕ π R3 3 dϕ 4 3 πr3 Zlinderkoordinten Wenn mn die Polrkoordinten ohne zusätzlichen Rumwinkel im R 3 nutzen möchte, knn mn die Zlinderkoordinten verwenden. Dbei wird die z-komponente unverändert gelssen: r cos ϕ Φ (r, ϕ, z) r sin ϕ z z Φ (r, ϕ, z) ϕ [, π] det Φ r n knn sich ds in etw so vorstellen: cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 1 Quelle: