PC-Übung Nr.2 vom

Transkript

1 PC-Übung Nr. vo Sebstin Meiss 31. Oktober 9 1. Ds idele Gs Ein Tucher it eine Lungenvoluen von 6 L tet in 3 Wssertiefe Pressluft unter Ugebungsdruck ein T = 4 C = const.. Auf welches Voluen üsste sich seine Lunge usdehnen, wenn er nch de Einten zur Wsseroberfläche ufsteigt? b U wieviel üsste die Tepertur erhöht werden, u in eine it eine beweglichen Kolben verschlossenen Gefäß V = 6l zur gleichen Voluenusdehnung zu gelngen? p = const. = Druck in 3 Wssertiefe?. Die kinetische Gstheorie Betrchten Sie Moleküle eines Gses, die sich nur in einer Fläche bewegen können ein zweidiensionles Gs. Bestien Sie die Geschwindigkeitsverteilung und die ittlere Geschwindigkeit bei der Tepertur T. b Mxwell und Boltznn htten die Antwort uf Frge schon 186 gefunden. In drei Diensionen, in Kugelkoordinten und nch Integrtion über die Winkel, erhält n fv = 4π v e v πkt wobei v = v = v x + v y + v z Berechnen Sie die Most Probble Geschwindigkeit v MP, den RMS-Wert v RMS = < v > und den ittleren Wert v ve. 3. Die Virilentwicklung Entwickelt n die idele Gsgleichung nch inversen Potenzen des olren Voluens v = V, erhält n eine Reihe, die ds Verhlten n des relen Gses pproxiiert. Diese sieht wie folgt us: p T = R v 1 + B v + C v +... Bestien Sie die Koeffizienten B und C usgehend von der vn-der-wls- Gleichung durch Tylor-Entwicklung. 1

2 1. Ds idele Gs Lösungen Zunächst einl üssen wir den Druck unter Wsser bestienhydrosttischer Druck p Hyd = h g ρ Der Druck ist Krft pro Fläche. Wir stellen uns nun eine Fläche von 1 c vor, uf die eine Wssersäule drückt. Von Bedeutung ist nun die Erdbeschleunigung g und die Dichte ρ des Wssers, die uns die Msse pro Volueneinheit liefert. Hier ist zweiter Schritt: Urechnung Dichte und Näherung von g p Hyd = 3 9, 81 s 1 g c 3 1 kg 1 3 s 3 p Hyd = 3 kg = 3 N N = 3 s c 1br = 1 N c Dher herrscht ein Wsserdruck von etw 3 br. Hinzu kot der Luftdruck, sodss der Tucher eine Druck von 4 br usgesetzt ist. Nun gilt T = const. Dher gilt ds Gesetz von Boyle-Mriott llg. Gsgleichung bei konstnte T Dher: pv = nrt, T = const pv = const p 1 V 1 = p V p 1 = 4br, V 1 = 6l, p = 1br, V gesucht V = p 1V 1 4br 6l = = 4l p 1br Seine Lunge üsste sich lso uf 4 Liter usdehnen. Anlog knn n nun für konstnten Druck folgende Beziehung nwenden Gesetz von Gy-Lussc pv = nrt V = nrp = const. T Wir suchen nun die Tepertur, die n brucht u bei konstnte Druck ein Voluen von 6 Litern uf 4 Liter uszudehnen: V 1 = V T = T 1 V T 1 T V 1 77K 4l T = = 118K 6l Die Tepertur üsste lso uf 118 Kelvin = 835 Grd Celsius erhöht werden, u diese Voluenusdehnung zu bewerkstelligen.

3 . Die kinetische Gstheorie Wir betrchten Moleküle, die sich in einer Ebene bewegen. Für die Geschwindigkeitsverteilungen für v x und v y, die Geschwindigkeiten in x - bzw. y - Richtung, nehen wir nexp... steht für e...! : fv x = πkt exp fv y = πkt exp v x v y Die Whrscheinlichkeitsverteilung für die Geschwindigkeiten erhlten wir nun durch Integrtion von F v x, v y dv x dv y = fv x fv y dxdy Bestien wir erstl ds Produkt hinten unter de Integrl fv x fv y dv x dv y = πkt exp v x + vy dv x dv y U ds jetzt usrechnen zu können, wndeln wir zu Polrkoordinten u. Bechte hier uch ds PDF zu den Polrkoordinten. Wir verwenden hier: v x = ν cos φ v y = ν sin φ Jetzt wird ds Gnze etws lustig. Wir üssen jetzt j i Integrl dv x und dv y ersetzen durch dφ und dν, weil wir us x und y ν und φ ls Vriblen gecht hben nicht direkt ugewndelt, ber wir hben jetzt zwei ndere Vriblen!. Hierfür gibt es eine schöne Sche, die ich nicht vollkoen verstnden hbe, ber nwenden knn. Die sog. Jcobin-Mtrix hilft uns bei der Uwndlung der Integrtionsvriblen und zwr gilt ich schreibe es l für den konkreten Fll uf. Wir hben fv x, v y und ugewndelt in fν, φ A = fvx ν fvx φ dν dφ fvy ν fvy φ dν dν Mn findet lso in den Splten jeweils die Funktionen f 1,...f n, bei uns nur zwei fv x und fv y und in den Zeilen jeweils die prtiellen Ableitungen nch einer Vriblen, bei uns zwei Zeilen, einl ν und einl φ. 3

4 Bei dieser Uwndlung gilt uch i llgeeinen Fll für ehr Vriblen und so weiter denke ich dv x dv y = deta dνdφ wobei A die Jcobin-Mtrix ist. Mn frge ich bitte nicht, woher dieser Zusenhng kot. Wir hben ihn dls nur verwendet. Bilden wir nun einl die Differentile: vx dv x = ν vy dv y = ν v x ν, φ = cos φ v y ν, φ = ν sin φ dν + φ dν + φ vx φ vy φ dv x = cos φdν ν sin φdφ dv y = sin φdν + ν cos φdφ ν ν dφ dφ Jcobin: cos φ ν sin φ A = sin φ ν cos φ deta = ν cos φ + ν sin φ = νsin φ + cos φ = ν dv x dv y = νdνdφ Wer bis hier hin noch folgen knn, knn jetzt ds Intergrl von oben in Polrkoordinten ufstellen : Wir ersetzen lso v x und v y durch ihre polren Vriblen und ersetzen noch die Integrtionsvriblen: F ν, φdφdν = πkt exp ν cos φ + ν sin φ νdνdφ Ob n es glubt oder uch nicht, wir sind jetzt fst fertig. Zuindest liegt der schwerste Teil hinter uns. Wir nutzen jetzt i exp l us, dss sin x + cos x = 1, dnn bleibt d nur noch ν stehen. F ν, φdφdν = πkt exp ν νdνdφ 4

5 Wir integrieren jetzt zunächst über φ. Wir hben keine Abhängigkeit von φ ehr in de gnzen Schodder, d.h. bei der Integrtion über φ verhält sich der Rest konstnt. Die Integrtion über φ läuft von bis π von Grd bis 36 Grd π πkt exp ν [ νdνdφ = φ πkt exp ν ] π νdν Grenzen einsetzen, einl π und untere Grenze die tut nix ;- π ν πkt exp Jetzt hben wir nur noch ν drin. Klr ist lso Ich uss jetzt < v >= νdνdφ = kt exp ν F νdν = kt exp ν bestien. Substitution : Prtielle Integrtion ν kt exp ν νf νdν = dν = [ ] ν = ν exp νdν ν kt exp ν νdν dν ν ν ν exp d ν π kt exp dν = Zur Berechnung: Diese Arten von Integrl löst n offenbr genu nch diese Verfhren. Frgt ich nicht, wieso und woher ich ds Ergebnis hbe. Für solche Integrle gibt es Tbellen und so, d steht ds drin. Dls hben wir die Forel uch einfch nur so bekoen. Es gibt uch Integrle, die rechnerisch gr nicht lösbr sind, ds ist so eine Wissenschft für sich. Insofern uss n dieses Ergebnis nun nehen, wie es ist, weil ich dzu keine Herleitung nbieten knn. Es ist ber ds Endergebnis dieser Aufgbe. Außerde, weil ds eine Whrscheinlichkeitsverteilung ist: kt exp ν νdν = 1 5

6 b Gegeben ist die Funktion Zu bestien ist fv = 4π v e v πkt v RMS = < v >wobei < v >= v fvdv und v ve =< v > wobei < v >= vfvdv v MP wobeif v MP = undv MP /fv MP Mxiu von f Wir bestien zunächst v MP f v = 4π v e v πkt f v = 4π πkt f v = 4π πkt e v kt v3 e v e v v kt v3 = oder v kt v3 = Die hintere Kler ht die trivile Lösung v =. Ds ist jedoch ein Miniudies lässt sich logisch bleiten oder thetisch it f v überprüfen. Für v können wir us der Kler hinten ein v heruskürzen und erhlten Dit ergibt sich v = = kt v v = ls whrscheinlichste Geschwindigkeit v MP. 6

7 Berechne nun v RMS v RMS = < v > < v >= < v >= v 4π πkt < v >= 4π πkt v fvdv v e v dv v 4 e v dv Dieses Integrl knn nun gelöst werden, it Hilfe einer Forelslung, die folgendes enthält x 4 e x dx = 3 π 8 5 it = v 4 e v 3 π dv = 8 5 < v >= 4π 3 π πkt 8 5 Fore nun hinten u, ziehe π nch vorn < v >= 3 π 1 π πkt 5 < v >= π π πkt Verrechne nun die Wurzeln bzw. Exponenten und erhlte < v >= 3 π π 3 5 k 5 T 5 3 π 3 k 3 T 3 5 Diesen Zwischenschritt knn n sich dnn spren, wenn n ds uch i Kopf hinbekot, der steht nur hier, dit n erkt, ws sich wo wegkürzt. < v >= 3 π k T π < v >= 3kT v RMS = < v > = 3kT 7

8 Berechne nun noch v ve Kürze hier ein wenig b, d es nlog zu v RMS funktioniert Forelslung: Mit = v ve =< v >= < v >= v4π πkt < v >= 4π πkt x 3 e x dx = 1 vfvdv v 3 e v dv = 1 < v >= 4π πkt v e v dv v 3 e v dv x e x dx = 1 1 π < v >= 3 4 k 4 T 4 3 π 3 k 3 T 3 4 8kT < v >= π = π = 1 8

9 3. Die Virilentwicklung Hier geht n von der vn-der-wls-gleichung für rele Gse us olres Voluen p + v b = RT v Mn löst diese nch p uf: T p = RT v b v Klere rechts RT us v p = RT v 1 1 b v p T = R v 1 1 b v RT v RT v Mn ht rechts in der Kler nun den Bruch 1. Dieser ist der Grenzwert der 1 b v unendlichen geoetrischen Reihe n b v n = 1 + b v + b v + b v b v n k= für b < 1. siehe hier bitte PC-Mthe PDF zur geoetrischen Reihe. Mn v brucht hier keine Tylorentwicklung i eigentlichen Sinne. Mn ersetzt diesen Grenzwert nun durch die Reihe und erhält p T = R v 1 + b v + b v + b v Nun knn n den Ter it noch nch vorne ziehen und hier 1 v usklern Nch Aufgbenstellung: p T = R V 1 + b v p T = R v v b RT v RT v + b v + b v RT + b v + b v p T = R v 1 + B v + C v +... Bestien Sie die Koeffizienten B und C usgehend von der vn-der-wls- Gleichung durch Tylor-Entwicklung. Nun knn n lso B und C ngeben B = b C = b RT 9