Einführung in die Integralrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Integralrechnung"

Transkript

1 Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind einfch zu berechnen: Ht ein Rechteck die Breite b und Höhe h, so ist seine Fläche F = bh. h b Den Flächeninhlt von Dreiecken knn mn uf den Flächeninhlt von Rechtecken zurückführen. C A B So folgt z.b. durch Kongruenzbetrchtungen, dss der Flächeninhlt des Dreiecks ABC gleich der Hälfte des Flächeninhlts des Rechtecks mit der gleichen Grundlinie und gleichen Höhe ist. Die Flächen von Polygonen knn mn durch Zerlegung in Dreiecke berechnen.

2 Schwieriger wird die Sitution, wenn der Flächeninhlt von Figuren bestimmt werden soll, die nicht gerdlinig begrenzt sind. Beim Kreis z.b. knn mn (wie schon Archimedes dies tt) einbeschriebene und umbeschriebene regelmäßige n-ecke betrchten. Mn stellt dnn fest, dss für wchsende Eckenzhl n die Flächen der einbeschriebenen und umbeschriebenen n-ecke sich immer mehr nnähern und wenn n gegen unendlich geht (in Zeichen n ) einem gemeinsmen Grenzwert zustreben, den mn ls Flächeninhlt des Kreises definiert.. Integrl von Funktionen Um nicht für jede spezielle Figur eigene kunstvolle Überlegungen nstellen zu müssen, betrchten wir jetzt folgende llgemeine Sitution: Gegeben sei eine stetige Funktion y = f(x) für x us einem Intervll der reellen Zhlen von bis b. Wir setzen zunächst vorus, dss f(x) in diesem Intervll immer größer oder gleich ist. y y = f(x) b x Wir stellen uns die Aufgbe, die Fläche der Figur zu bestimmen, die zwischen dem Intervll [, b] der x-achse und dem Grphen der Funktion f liegt (die Umrndung ist in der Zeichnung strk usgezogen). Eine erste grobe Annäherung n den Flächeninhlt erhlten wir, indem wir ds Intervll [, b] z.b. in drei gleichlnge Teilintervlle unterteilen = x < x < x < x 3 = b und die gesuchte Fläche durch die Summe dreier Rechtecke wie im folgenden Bild ersetzen:

3 y f(x ) f(x ) f(x 3 ) = x x x b = x 3 x Ds erste Rechteck ht die Breite x x und die Höhe f(x ), ds zweite die Breite x x und Höhe f(x ), ds dritte die Breite x 3 x und Höhe f(x 3 ). Die Summe der Flächen der 3 Rechtecke ist lso S 3 = f(x )(x x ) + f(x )(x x ) + f(x 3 )(x 3 x ). Wir wollen diese Summe noch etws elegnter schreiben, dmit sie leichter verllgemeinerungsfähig ist. Zunächst kürzen wir die Differenzen x k x k durch x k b. Dnn hben wir S 3 = f(x ) x + f(x ) x + f(x 3 ) x 3. Unter Verwendung des Summenzeichens knn mn dies nun so schreiben: S 3 = 3 f(x k ) x k. Dbei bedeutet 3, dss mn in dem folgenden Ausdruck den Index k der Reihe nch durch,, 3 ersetzen und die entstehenden Ausdrücke durch Pluszeichen verbinden soll. Ntürlich ist S 3 noch eine sehr grobe Approximtion des gesuchten Flächeninhlts. Erhöht mn ber die Anzhl der Teilpunkte, so erhält mn bessere Annäherungen, wie us den folgenden Bildern deutlich wird. y x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 3

4 y x x x 4 x 6 x 8 x x x Allgemein erhält mn bei einer Unterteilung des Intervlls [, b] in n Teilintervlle = x < x < x <... < x n < x n = b eine Approximtion der gesuchten Fläche durch eine Summe von n Rechtecksflächen S n = f(x k ) x k. Mn knn beweisen (und dies lernt mn im. Semester des Mthemtikstudiums), dss bei einer stetigen Funktion f die Folge der S n für n einem wohlbestimmen Grenzwert (Limes) zustrebt, den mn dnn ls Integrl von f über ds Intervll [, b] bezeichnet. Mn schreibt dfür.3 Beispiele f(x)dx = lim n S n Wir können zwr hier nicht den llgemeinen Fll beweisen, führen ber den Grenzübergng n zwei Beispielen vor. Beispiel (.) xdx Hier soll lso die Funktion f(x) = x über ds Intervll [, ] integriert werden, wobei > vorusgesetzt sei. Betrchten wir zunächst den Grphen der Funktion y = f(x) = x. y y = x x 4

5 Wir sehen, dss ds Integrl xdx die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundlinie und Höhe drstellt, lso gleich sein muss. Obwohl wir ds Ergebnis schon wissen, führen wir trotzdem noch die Grenzwertbetrchtung durch, um eine Bestätigung zu erhlten, dss dieser Anstz sinnvoll ist. Dzu unterteilen wir ds Intervll [, ] wieder in n gleiche Teile = x < x <... < x n < x n =. Die Länge jedes Teilintervlls ist hier x k = n und es gilt x k = k n Ds k-te Teilrechteck ht die Fläche y x x x x... x n f(x k ) x k = x k x k = k n n = k n, lso ergibt sich für die n-te Näherungssumme S n = f(x k ) x k = k n = n k. für k =,,..., n. Nun benutzen wir die beknnte Formel für die Summe der ersten n ntürlichen Zhlen n(n + ) k = n =. Setzen wir dies ein, erhlten wir D lim n n S n = n(n + ) n =, erhlten wir insgesmt ws wir erwrtet hben. Beispiel (.) x dx = n(n + ) n xdx = lim n S n =, ( = + ). n Dies ist ds erste Beispiel für die Fläche einer nicht grdlinig begrenzten Figur. 5

6 y y = x x Anlog zum ersten Beispiel unterteilen wir ds Intervll [, ] in n gleiche Teile = x < x <... < x n < x n =. Die Länge jedes Teilintervlls ist x k = n und es gilt x k = k n ergibt sich für ds k-te Teilrechteck die Fläche ( f(x k ) x k = xk x k = k ) n Die n-te Näherungssumme für ds Integrl ist dher S n = f(x k ) x k = k 3 n 3 = 3 n 3 n = k 3 n 3, k. für k =,,..., n. Hier Um weiterzukommen, bruchen wir eine Formel für die Summe der ersten n Qudrtzhlen. Eine solche Formel ist k = n n(n + )(n + ) = = 6 3 n3 + n + 6 n. (Die Leserin knn sich leicht in den Fällen n =,, 3, 4 durch Einsetzen von der Richtigkeit der Formel überzeugen; der llgemeine Fll wird durch vollständige Induktion bewiesen.) Einsetzen ergibt ( S n = 3 n 3 3 n3 + n + ) ( 6 n = n + ). 6n D lim n n = und lim =, erhlten wir insgesmt n 6n.4 Einfche Rechenregeln x dx = lim n S n = 3 3. Negtive Funktionswerte. Wir hben uns bisher uf den Fll beschränkt, dss die zu integrierende Funktion f(x) immer größer oder gleich ist. Ws pssiert, wenn die Funktion uch negtive Werte nnimmt? Betrchten wir dzu die Näherungssumme S n = f(x k ) x k. 6

7 Wir sehen, dss für f(x k ) < ds Produkt f(x k ) x k negtiv wird, lso den negtiven Flächeninhlt des Rechtecks mit den Seiten x k und f(x k ) drstellt. Ds Integrl einer Funktion mit wechselndem Vorzeichen ist lso der Flächeninhlt zwischen der x-achse und dem Grphen von f dort wo die Funktion positiv ist, minus der Fläche zwischen der x-achse und dem Grphen von f, wo die Funktion negtiv ist, vgl. folgendes Bild. + Mnchml lssen sich dmit Integrle ohne Rechnung bestimmen. Zum Beispiel gilt (.3) π sin(x)dx =, denn der positive und negtive Anteil sind us Symmetriegründen gleich groß. x y π π y = sin x Genuso sieht mn (.4) cos(x)dx =, π cos(x)dx =. (Aufgbe: Zeichne den Grphen des Cosinus!) Bemerkung. In der Anlysis wird bei den trigonometrischen Funktionen der Winkel immer im Bogenmß gemessen. Dbei entspricht einem Winkel von 8 Grd ds Bogenmß π (= hlber Umfng des Einheitskreises). Linerität. Ersetzt mn in der Formel f(x k ) x k für die Näherungssumme die Funktion f durch die Summe zweier Funktionen f + f, so erhält mn (f (x k ) + f (x k )) x k = f (x k ) x k + f (x k ) x k. 7

8 Drus folgt eine Rechenregel für ds Integrl () (f (x) + f (x))dx = f (x)dx + f (x)dx. Ist c eine reelle Konstnte, so ht mn ußerdem die Rechenregel (b) cf(x)dx = c f(x)dx. Beispiel. Wir wollen diese Regeln zur Berechnung des Integrls (.5) (x x )dx usnutzen. Der Grph der Funktion y = f(x) = x x im Intervll [, ] schut so us: y = x x Ds Integrl ist lso die Fläche über dem Intervll [, ] unterhlb der Wurfprbel. Mit den Rechenregeln () und (b) erhlten wir (x x )dx = = = xdx + xdx + ( ) xdx ( x )dx x dx. x dx Die Integrle xdx = / = und x dx = 3 /3 = 8/3 htten wir vorher schon ls Beispiele usgerechnet. Insgesmt ergibt sich deshlb (x x )dx = 8 3 = 4 3, der ngesprochene Flächeninhlt ht lso den Wert 4/3. 8

9 Integrtion und Differentition Während wir im vorigen Kpitel ds Integrl in Anlehnung n seine nschuliche Bedeutung ls Flächeninhlt eingeführt hben, zeigen wir hier, dss die Integrtion die Umkehrung der Differentition ist, ws in vielen Fällen die Möglichkeit zur Berechnung des Integrls liefert.. Stmmfunktionen, Fundmentlstz Definition. Eine uf einem Intervll I R differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion einer Funktion f : I R flls F (x) = f(x) für lle x I. Zum Beispiel ist F (x) = x eine Stmmfunktion von f(x) = x. Die Stmmfunktion einer Funktion ist ber nicht eindeutig bestimmt. Denn zählt mn zu einer Funktion F (x) eine Konstnte hinzu, so fällt diese beim Differenzieren wieder herus. So ist uch G(x) = x + c für jede Konstnte c eine Stmmfunktion für f(x) = x. Aufgrund beknnter Formeln für die Ableitung von Funktionen können wir leicht eine kleine Liste von Stmmfunktionen ufstellen. Funktion f(x) Stmmfunktion F (x) x n n+ xn+ sin x cos x e x cos x sin x e x ln x (x > ) x Die Bedeutung der Stmmfunktionen beruht uf folgendem Stz (Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : I R eine stetige Funktion und F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt für lle, b I f(x) dx = F (b) F (). Mn knn sich diesen Stz wie folgt plusibel mchen. Nch Definition ist ds Integrl der Limes der Näherungssummen S n = f(x k ) x k. 9

10 D f(x k ) = F (x k ) und die Ableitung ein Limes von Differenzenquotienten ist, gilt nnähernd F (x k ) F (x k) F (x k ) = F (x k) F (x k ) x k x k x k Die Näherung ist umso besser, je kleiner x k ist. Somit hben wir f(x) dx f(x k ) x k = F (x k ) x k (F (x k ) F (x k )) = (F (x ) F (x )) + (F (x ) F (x )) (F (x n ) F (x n )) = F (x n ) F (x ) = F (b) F (), d sich in der zweiten Zeile lle bis uf zwei Terme wegkürzen. Bezeichnung. Mn setzt b F (x) := F (b) F (). Die Formel von Stz schreibt sich dnn ls b f(x) dx = F (x). Dies kürzt mn noch weiter b durch f(x) dx = F (x). Beispiele (.) xdx = x und x dx = 3 x3. Dmit erhlten wir wieder die im. Kpitel durch Grenzübergng berechneten Integrle und xdx = x x dx = 3 x3 = = 3 3. (.) In Verllgemeinerung des vorigen Beispiels knn mn Integrle P (x)dx uswerten, wobei P (x) = c + c x + c x c n x n ein beliebiges Polynom n-ten Grdes ist. Eine Stmmfunktion von P (x) ist nämlich es gilt deshlb F (x) = c x + c x + c x c nx n+ n +, P (x)dx = F (b) F ().

11 (.3) Ein interessntes neues Integrl ist sin(x)dx = cos(x) π = cos(π) + cos() = + =. Es stellt die Fläche unterhlb des Sinusbogens über dem Intervll [, π] dr. y = sin x π Es ist bemerkenswert, dss sich ls Flächeninhlt eine gnze Zhl ergibt, obwohl die Länge des Intervlls irrtionl ist.. Substitutionsregel Der nächste Stz liefert eine wichtige Methode zur Berechnung verschiedener Integrle. Stz (Substitutionsregel) Sei f : I R eine stetige Funktion und ϕ : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion mit ϕ([, b]) I. Dnn gilt f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Bezeichnung. Unter Verwendung der symbolischen Schreibweise lutet die Substitutionsregel dϕ(t) := ϕ (t) dt f(ϕ(t)) dϕ(t) = ϕ(b) ϕ() f(x) dx und in dieser Form ist sie besonders einfch zu merken, denn mn ht einfch x durch ϕ(t) zu ersetzen. Läuft t von nch b, so läuft x = ϕ(t) von ϕ() nch ϕ(b). Beispiele (.4) Mn berechne (x + ) 3 dx. Wir können ds Integrl uch ls (t + ) 3 dt schreiben (die Integrtions-Vrible drf umbennnt werden, solnge die keine Kollisionen mit nderen Bezeichnungen entstehen).

12 Wir setzen f(x) = x 3. Mit der Substitution x = ϕ(t) = t + und ϕ (t) = wird dnn f(ϕ(t))ϕ (t) = (t + ) 3, lso (t + ) 3 dt = = 3 f(ϕ(t))ϕ (t)dt = x 3 dx = 4 x4 3 ϕ() ϕ() f(x)dx = 4 (34 4 ) = 8 4 =. Bemerkung. Eine ndere Möglichkeit zur Berechnung ist, den Term (x + ) 3 nch dem binomischen Lehrstz zu entwickeln, (x + ) 3 = x 3 + 3x + 3x + und ds enstehende Polynom 3. Grdes direkt zu integrieren. Aufgbe: Führe ds durch und überzeuge dich, dss dsselbe Ergebnis heruskommt. (.5) Sei > vorgegeben. Mn berechne cos(t) dt. Mit f(x) = cos x und der Substitution ϕ(t) = t gilt: cos(t) dt = cos(t) (t) dt = cos(x) dx = sin x = sin(). Bemerkung. Mn knn dieses Integrl uch direkt mit dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung uswerten. Denn Differenzieren mit der Kettenregel ergibt d sin(x) = cos(x). dx Ds bedeutet, dss F (x) = sin(x) eine Stmmfunktion von cos(x) ist, lso cos(x) dx = sin(x) = sin(). (.6) Mn berechne ds Integrl x dx. Dieses Integrl stellt die Fläche des Viertelkreises mit Rdius dr, siehe Bild. y = x

13 Wir mchen die Substitution x = sin t, lso dx = d sin t = sin (t)dt = cos t dt. Dmit x von bis läuft, muss t von bis π/ lufen. x dx = / sin t d sin t = / cos t dt. Dbei hben wir sin t = cos t benutzt. Nun verwenden wir noch die Formel cos t = ( + cos t) und erhlten x dx = / ( + cos t) dt = / dt + / cos t dt. Nun ist / dt = π/ (Fläche des Rechtecks mit Höhe und Breite π/) und / π/ sin t cos t dt = = (sin π sin ) = nch dem vorigen Beispiel. Insgesmt erhlten wir x dx = π 4. Wir hben dmit mittels Integrlrechnung gezeigt, dss die Fläche des Einheitskreises gleich π ist. (.7) Sei r > vorgegeben. Mn berechne ds Integrl r r x dx. Dieses Integrl stellt die Fläche des Viertelkreises mit Rdius r dr. Hier mchen wir die Substitution x = rt, lso dx = rdt. Dmit x von bis r läuft, muss t von bis lufen. Es folgt dher r r x dx = r r t rdt = r t dt = r π 4, wobei ds vorige Beispiel benutzt wurde. Die Fläche eines Kreises mit Rdius r ist lso r π. (.8) Sei > vorgegeben. Mn berechne t cos(t ) dt. Mit f(x) = cos x und der Substitution ϕ(t) = t gilt: t cos(t ) dt = cos(t ) (t ) dt = cos x dx = sin x = ( sin( ) sin ) = sin( ). 3

14 .3 Prtielle Integrtion Eine weitere nützliche Methode zur Berechnung der Integrle ist die so gennnte prtielle Integrtion. Stz 3 (Prtielle Integrtion) Seien f, g : [, b] R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(x) g (x) dx = f(x) g(x) b g(x) f (x) dx. Eine Kurzschreibweise für diese Formel ist f dg = fg g df. Stz 3 lässt sich wie folgt beweisen: Wir setzen F (x) := f(x)g(x). Nch der Produktregel für die Ableitung gilt F (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Nch dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung ist F (x)dx = F (x) b. Setzt mn die Ausdrücke für F (x) und F (x) ein, ergibt sich (f (x)g(x) + f(x)g b (x))dx = f(x)g(x). Bringt mn f (x)g(x)dx uf die ndere Seite, erhält mn die Behuptung des Stzes. Beispiele (.9) Mn berechne ds Integrl xe x dx. Wir setzen f(x) = x und g(x) = e x. Dnn ist uch g (x) = e x und die Formel der prtiellen Integrtion liefert (.) Mn berechne ds Integrl xe x dx = xe x e x dx = e e x = e (e ) =. x sin x dx. Der Grph der Funktion x x sin x schut so us: 4

15 y = x sin x π Zur Berechnung des Integrls setzen wir f(x) = x und g(x) = cos x. Dnn erhält mn x sin x dx = x ( cos x) dx π = x cos x = π cos π + cos + = π ( ) + = π. x ( cos x) dx cos x dx Die in obigem Bild gezeigte Figur ht lso genu denselben Flächeninhlt wie der Einheitskreis. (.) Mn berechne ds Integrl x cos x dx. Der Grph der Funktion x x cos x ist im folgenden Bild drgestellt. (Dbei ist der Mßstb uf der y-achse hlb so groß wie uf der x-achse.) π π - -5 y = x cos x - Wir setzen f(x) = x und g(x) = sin x. Dnn erhält mn 5

16 x cos x dx = x (sin x) dx = x π sin x = (x ) sin x dx x sin x dx = π nch dem vorherigen Beispiel. Ds negtive Resultt lässt sich ddurch erklären, dss die Funktion x x cos x im Intervll [ π, π] strk negtiv wird. Aufgbe: Berechne einzeln den positiven Teil und den negtiven Teil / π/ x cos x dx x cos x dx. 6

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung:  wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral

6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 20.05.09 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()

Mehr

2.4 Elementare Substitution

2.4 Elementare Substitution .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe

Mehr

8.4 Integrationsmethoden

8.4 Integrationsmethoden 8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c. SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen

9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen 9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind

Mehr

9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6 Parameterabhängige Integrale Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes

Mehr

6.6 Integrationsregeln

6.6 Integrationsregeln 50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig

Mehr

21. Das bestimmte Integral

21. Das bestimmte Integral 1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Mathematik II. Vorlesung 31

Mathematik II. Vorlesung 31 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:

Mehr

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b

Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b . Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit

Mehr

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer

Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung

Mehr

Anwendungen der Integralrechnung

Anwendungen der Integralrechnung Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt............... 4 8. Kurvenlänge............................. 7 8. Rottionskörper........................... 9 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Riemann-integrierbare Funktionen

Riemann-integrierbare Funktionen Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Notizen zur Vorlesung Analysis 3

Notizen zur Vorlesung Analysis 3 Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 18.01.08 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist

Mehr

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =

Mehr

Analysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL

Analysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen.

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius

Mehr

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder

Mehr

10.5 Vektorfelder. Beispiele. . x. 2. Sei F(x,y) =. y 2. Jedes Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, aber nicht jedes Vektorfeld ist ein Gradientenfeld.

10.5 Vektorfelder. Beispiele. . x. 2. Sei F(x,y) =. y 2. Jedes Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, aber nicht jedes Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. 28.5 Vektorfelder Wir hben gesehen, dss der Grdient einer Funktion z = f(x,y : D R jedem Punkt (x,y D einen Vektor, nämlich f(x,y R 2, zuordnet. Eine solche Zuordnung nennt mn Vektorfeld. Ds Vektorfeld

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt 1.1.9 Wie gross ist der Flächeninhlt

Mehr

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014 Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

9.4 Integration rationaler Funktionen

9.4 Integration rationaler Funktionen 9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Numerische Integration durch Extrapolation

Numerische Integration durch Extrapolation Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N

Mehr

Der Begriff der Stammfunktion

Der Begriff der Stammfunktion Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung

Mehr

Kapitel 3 Integralrechnung

Kapitel 3 Integralrechnung Kpitel 3 Integrlrechnung Der Ausgngspunkt für die Entwicklung der Integrlrechnung ist ds Problem der Berechnung krummlinig begrenzter Flächen. Bereits in der Antike gelng es Archimedes, den Flächeninhlt

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Unter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...

Unter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ... Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $ Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun

Mehr

Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,

Mehr

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0 Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b]

Mehr

Kapitel 4 Differential- und Integralrechnung

Kapitel 4 Differential- und Integralrechnung 36 Kpitel 4 Differentil- und Integrlrechnung Kpitel 4 Differentil- und Integrlrechnung Die Ableitung Inhlt: Differenzierbrkeit von sklren und vektorwertigen Funktionen, Differenzenquotient und Differenzierbrkeitskriterium,

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

1 Differenzieren (in einer Dimension)

1 Differenzieren (in einer Dimension) Für einen (Experimentl-)Physiker ist ie Mthemtik immer nur ein Werkzeug, llerings ein sehr elegntes. Im folgenen wollen wir einige Grunieen er Differentil- un Integrlrechnung wieerholen. 1 Differenzieren

Mehr

J.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09

J.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09 J.M. Sullivn, TU Berlin A: Integrtion Anlysis II, WS 8/9 A. INTEGRATION A1. Einleitung In diesem Semester fngen wir mit Integrtion n. Es gibt viele Möglichkeiten, ds Integrl einer Funktion genu zu definieren;

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln $Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.

Mehr