4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

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1 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1

2 Integrlrechnung Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der Funktion f(x) des Grphen: 1 Der Zusmmenhng zwischen f(x) und A (x) Übung f(x) A 0 (x) A (x) A 0 (x) A (x) 4c) x 2 x3 3 x x 2 x 2 5d) x 3 x4 4 x x 3 x 3 6e) 1 4 x x x 1 4 x Aus der Tbelle können wir beobchten: 2 Grphen unterhlb der x-achse Funktioniert unsere Berechnungsweise uch für Grphen unterhlb der x-achse.? Nehmen wir ml die Fläche, die von f(x)= x 2 im Bereich von 0 bis 2 eingeschlossen wird. Erinnern wir uns drn, dss wir bei f(x)=x 2 im Bereich von 0 bis 2 8/3 erhlten hben. f(x)= x 2

3 Integrlrechnung Theorie und Übungen 3 Wir beobchten:

4 Integrlrechnung Theorie und Übungen 4 Ws erhlten wir, wenn der Grph oberhlb und unterhlb der x-achse ist? Nehmen wir z.b. die Funktion f(x)=x 1 im Bereich von 0 bis 2 Welches Ergebnis erwrten wir? Wir berechnen: Wir führen nun einen neuen Begriff ein. Für Funktiongrphen oberhlb der x-achse hben wir den Begriff Flächenfunktion verwendet, weil diese Funktion jeweils den Flächeninhlt geliefert ht. Wir dehnen diesen Begriff jetzt us, für Grphen unterhlb der x-achse und für Grphen oberhlb und unterhlb der x-achse. Wir sprechen in diesem Flle nicht mehr von einer Flächen- sondern von einer Integrlfunktion. Diese Funktion entspricht für Grphen oberhlb der x-achse der Flächenfunktion liefert für Grphen unterhlb der x-achse die Fläche mit einem Minuszeichen liefert für Grphen oberhlb und unterhlb der x-achse die Flächenbilnz (Flächen oberhlb der x- Achse werden positiv, Flächen unterhlb der x-achse werden negtiv gerechnet). Auf diese Zhlen wären wir uch gekommen, wenn wir den Grenzwert für die Unter- oder Obersumme berechnet hätten. Definition 1 Gegeben sei eine im Intervll[; x] stetige (zusmmenhängende) Funktion f. Die Integrlfunktion ordnet nun einem Intervll [; x] den gemeinsmen Grenzwert von Unter- und Obersumme im Intervll

5 Integrlrechnung Theorie und Übungen 5 [;x] zu. lim n U n(,x)= lim n O n (,x)=i (x)

6 Integrlrechnung Theorie und Übungen 6 Übung 1. Gegeben ist der untenstehende Grph, bei dem lle mrkierten Flächen der Flächeninhlt 2 hben. Berechne: ) I π (π) b) I π (2π) ) ) c) I 0 ( 3π 2 d) I π 2 ( 3π 2 Auch für die Integrlfunktion gilt: Stz 1 (erster Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) I (x)= f(x) Beweis: Es gilt für <x: I x (x+h)=i (x+h) I (x)

7 Integrlrechnung Theorie und Übungen 7 Wir gehen von einer stetigen Funktion us, deshlb gilt: Es gibt in diesem Intervll ein x (wir nennen es x mx ) mit einem Funktionswert, der von keinem nderen x übertroffen wird und ein weiteres x (wir nennen es x min ) mit einem Funktionswert, der von keinem nderen x unterboten wird (sollte es mehrere geben, wählen wir ein beliebiges us). Es gilt: h f(x min ) I (b+h) I (b) h f(x mx ) Wir dividieren uf beiden Seiten durch h: f(x min ) I (b+h) I (b) h f(x mx ) h soll nun unendlich klein werden (gegen 0 gehen) limh 0. Die Ungleichung ist ufgrund der Stetigkeit immer noch erfüllt: lim f(x I (b+h) I (b) min) lim lim f(x mx ) h 0 h 0 h h 0 Der mittlere Ausdruck ist gerde ein Differentilquotient, wir schreiben lso: lim h 0 f(x min) I (b) lim h 0 f(x mx ) Aufgrund der Stetigkeit gilt: lim h 0 f(x min )= f(b) und lim h 0 f(x mx )= f(b) Dmit erhlten wir (wir ersetzen lim h 0 f(x min ) durch lim h 0 f(x mx ) f(b) I (b) f(b) I (b)= f(b Aus historischen Gründen wird für die Integrlfunktion eine ndere Nottion verwendet: b Definition 2 I (b)= Bemerkungen: f(x)dx Gelesen wird der Ausdruck: Integrl über f(x)dx von bis b. Die Berechnung dieses Grenzwertes bezeichnet mn ls Integrtion oder Integrieren. f(x) heisst Integrndfunktion, x heisst Integrtionsvrible. Ds Integrlzeichen ist us dem lngen Buchstben... (S) für lteinisch summ bgeleitet. Im Flle, dss der Grph von f(x) im betrchteten Intervll oberhlb der x-achse verläuft, entspricht ds bestimmte Integrl im Intervll [;b] der Fläche unter dem Grphen. Wird die Vorussetzung der Stetigkeit fllengelssen, dnn knn ds Integrl nicht immer berechnet werden (die Funktion ist dnn uf dem entsprechenden Integrl nicht integrierbr). Ein Beispiel:

8 Integrlrechnung Theorie und Übungen f(x)= 1 (x 3) Diese Funktion ht n der Stelle x=3 eine Polstelle. So ist diese Funktion uf llen Intervllen, die diese Polstelle enthlten, nicht integrierbr (z.b. [0;4], [-1;7], usw.). Dgegen ist sie z.b. uf dem Intervll [4;7] integrierbr. Der erste Huptstz knn uch folgendermssen notiert werden: b f(x)dx = f(b) 3 Stmmfunktion/unbestimmtes Integrl Im vorderen Abschnitt hben wir bewiesen, dss die Ableitung der Integrlfunktion I (x) gleich dem Funktionswert f(x) ist. Unser Flächenproblem geht lso über in die Frge: Wie lutet die Vorschrift der Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt? Anders gefrgt:

9 Integrlrechnung Theorie und Übungen 9 Können wir sgen, welcher Ausdruck n der Tfel usgewischt wurde? Bei der Differentilrechnung hben wir einer Funktion f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f (x) zugeordnet. Bei der Integrlrechnung ist nun eine Funktion gesucht, die bgeleitet gerde f(x) gibt. Einer solchen ursprünglichen Funktion sgen wir Stmmfunktion, sie wird mit F(x) bezeichnet. Wir definieren: Definition 3 Eine Funktion F(x) heisst Stmmfunktion von f(x), wenn gilt: F (x)= f(x) Bemerkungen zur Stmmfunktion: Bechte, dss eine Funktion f(x) nicht zwngsläufig eine Stmmfunktion besitzt (z.b. f(x)=e x2 ) Besitzt eine Funktion f eine Stmmfunktion, dnn gleich unendlich viele! So sind für f(x)=x 2 nebst F(x)= x3 3 Noch eine Definition: uch F(x)= x3 3 x3 2,F(x)= + 5, usw. Stmmfunktionen. 3 Definition 4 Die Menge ller Stmmfunktionen F(x) von f(x) nennt mn ds unbestimmte Integrl von f(x). Nottion: f(x) dx ={F(x) F(x) ist Stmmfunktion von f(x)} Der Vorgng des Aufsuchens von Stmmfunktionen wird ls Integrtion bezeichnet. Es ist die Umkehrung der Differentition, wo jeweils die Ableitungsfunktion gesucht ist. Beispiel Berechne 3xdx.

10 Integrlrechnung Theorie und Übungen 10 Ds C R ist, werden wir künftig nicht mehr extr schreiben. Zwei Eigenschften des unbestimmten Integrls: Ist 3xdx=3 xdx? Prüfen wir: 3xdx= 3x2 2 +C 3 xdx=3 x2 3x2 +C= 2 2 +C Wir sehen lso, dss die Gleichheit nicht verletzt wird, wenn mn den Fktor 3 rusnimmt. Stz 2 Es gilt die Fktorregel: f(x)dx= f(x)dx( R) Ist x+1dx= xdx+ 1dx? Prüfen wir: x+1dx= x2 2 + x+c xdx= x2 2 +C 1 1dx=x+C 2 xdx+ 1dx= x2 2 +C 1+ x+c 2 D C 1 +C 2 R ist, ist die Gleichheit uch hier nicht verletzt. Stz 3 Es gilt die Summenregel: ( f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x) dx 4 Unbestimmtes Integrl von Potenzfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt (q Q): f(x)=x q f (x)=q x q 1

11 Integrlrechnung Theorie und Übungen 11 Stz 4 Für Potenzfunktionen der Form f(x)=x q (q Q\{ 1}) gilt: Übungen 2. Bestimme jeweils ds unbestimmte Integrl (d.h. suche lle Stmmfunktionen uf). In Resultet dürfen weder negtive noch gebrochene Exponenten vorkommen. ) x 5 dx= b) 2x 3 dx= c) 3x 4 6x+8dx= d) (4x 2 + 2x)dx= e) x n+2 dx= f) nx 2n 1 dx= ( ) 1 1 g) x 3 dx= h) x dx= i) (x+3x 2 )dx= j) m) p) xdx= k) 5 4 xdx= n) 1 x dx= q) 3 xdx= l) 3 6 x 5 dx= o) 1 3 x dx= r) 3 x 2 dx= x 3 dx= 4 4 x 3 dx= 3. Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)=x 2 2x. Gesucht ist diejenige Stmmfunktion F von f, welche die x-achse bei x=1 schneidet, d.h. dort den Funktionswert F(1)=0 besitzt. [ 1 3 x3 x ] 4. Gegeben ist die Funktion f(x)=6x 2 5 x 2,x>0. Auf welcher Stmmfunktion F von f liegt der Punkt P(1 5)? Prüfe nschliessend Dein Resultt.

12 Integrlrechnung Theorie und Übungen 12 5 zweiter Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung Wir können us dem ersten Huptstz nun sehr schnell den zweiten Huptstz herleiten, der sich für die Berechnungen besser eignet. Noch einml der erste Huptstz: b f(x)dx = f(b) Drus folgt: b f(x)dx=f(b)+c Wir möchten nun C berechnen: Einerseits gilt: f(x)dx=0 Andererseits gilt: f(x)dx=f()+c Es folgt lso: 0=F()+C C= F() und dmit: b f(x)dx=f(b) F() womit wir den zweiten Huptstz us dem ersten Huptstz hergeleitet hben. Stz 5 (zweiter Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Gegeben sei eine uf dem Intervll [;b] stetige Funktion f, der Stmmfunktion F existiere. Dnn gilt: b f(x)dx=

13 Integrlrechnung Theorie und Übungen 13 Beispiel Berechne 3 1 x Übungen 5. Berechne die folgenden bestimmten Integrle und überprüfe Dein Ergebnis mit Hilfe einer Skizze. ) 4 0 xdx= b) 6 4 2xdx= 6. Berechne die folgenden bestimmten Integrle und überprüfe Dein Ergebnis mit Hilfe des TI-89. ) 2 0 x 2 dx= b) 7. Für welche Werte >0 gilt: ) 0 4 xdx=8 [=4] b) 3 x 3 dx= c) 2 x 3 dx= (3x 2 + 3x)dx= [=4] 8. Die Prbel mit der Gleichung y=x 2 begrenzt mit der y-achse und der Gerden g : y=9 ein Flächenstück. Welchen Inhlt ht es? [18] 9. Welchen Inhlt ht ds von der Gerden mit der Gleichung 3x 2y=0 und dem Grph der Funktion f(x)= 1 2 x2 begrenzte Flächenstück? [2.25] 10. Auf dem Grphen der Funktion f : R R, f(x)=x 3 liegt der Punkt P(1/?). Er wird mit dem Ursprung 0 des Koordintensystems verbunden. Berechne den Inhlt des Flächenstücks, ds von der Strecke 0P und dem Funktionsgrphen von f eingeschlossen wird. [0.25] 11. Die Punkte P(4?) und Q( 2?) liegen uf dem Grph der Funktion f(x) = 1 4 x Berechne den Inhlt des von der Gerden (PQ) bgeschnittenen Kurvensegements. [9] 12. Gegeben sind die Gerde g : y= und die Prbel f(x)= 1 x2, wobei >0. ) Skizziere die Gerde und die Prbel für =3. b) Berechne den Flächeninhlt des Segmentes, ds die Gerde g : y= von der Prbel f(x)= 1 x2 bschneidet. Überprüfe Dein Ergebnis nchher für =3. [ 42 ] Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 1 3 x2 + 2x+1. Durch den höchsten Punkt H des Grphs wird ds Lot uf die x-achse gefällt. Berechne den Inhlt der Fläche, die von diesem Lot, der x-achse, der y-achse und vom Grph begrenzt wird (Hinweis: die x-koordinte des Scheitelpunktes wird mit b 2 berechnet). [9]

14 Integrlrechnung Theorie und Übungen Wie muss c bei f(x) = 1 2 x2 + c gewählt werden, dmit ds Flächenstück zwischen der Kurve, den beiden Koordintenchsen und der Abszisse x = 3 liegende Flächenstück den Inhlt 10.5 ht (uf der Abbildung wäre c=1). [c=2] 15. Gegeben sind die beiden Funktionen: f(x)= x2,g(x)=2 x Die Schnittpunkte von f(x) und g(x) hben die x-koordinten x 1 = 0 und x 2 = 2. Zeige, dss für jeden Wert von >0 gilt: A 1 = A 2 = A 3.

15 Integrlrechnung Theorie und Übungen Beweise mit Hilfe des zweiten Huptstzes der Integrlrechnung die folgenden Integrtionsregeln. ) b) c) b b b c f(x)=c b ( f(x)+g(x))= f(x) b c f(x)= f(x)+ b c b f(x)+ g(x) f(x)(<c<b) 6 Integrle für Grphen unterhlb der x-achse. Frge: Wie gross ist die gesmte schrffierte Fläche? Wir können die Frge nicht bentworten, indem wir einfch von 0 bis 5 integrieren. Wrum nicht? Wir müssen lso die zu berechnende Fläche mit Hilfe der Nullstellen in Teilflächen zerlegen. Dnn können wir bei den negtiven Flächen den Betrg berechnen und dnn lle Teilergebnisse ufsummieren. Bei unserem Beispiel sieht ds so us:

16 Integrlrechnung Theorie und Übungen 16 Übungen 17. Wie gross ist die gesmte schrffierte Fläche (Figur links ohne TR, Figur rechts mit TR)? [ ; 5.47] 8 f(x)=x 2 4x 8 f(x)=x 3 x ) Berechne den Flächeninhlt des Gebietes zwischen der Kurve y=x 3 6x 2 +8x und der x-achse. [8] 0 4 b) Berechne ds bestimmte Integrl x 3 6x 2 + 8xdx (die Integrlfunktion des TI-89 drf verwendet werden). Diskutiere nschliessend ds Ergebnis. [0] 19. ) Welche Fläche schliesst die Kurve y = 4x(x 2 4) im Intervll [-4; 4] mit der x-achse ein (die Integrlfunktion des TI-89 drf verwendet werden)? [320] b) 4 Berechne ds bestimmte Integrl 4x(x 2 4)dx. [0] 4 c) Gegeben sei die Funktionenschr f (x)=4x(x 2 4). Bestimme den Prmeter >0 so, dss der Flächeninhlt, der vom Grph der Funktion f (x) und der x-achse im Intervll [-4; 4] eingeschlossenen Fläche 960 beträgt. [=3] 20. Berechne den Inhlt der Fläche, die vom Grph der Funktion f(x) = x 2, der Normlen n von f in P(1 1) (n ist diejenige Gerde, die senkrecht uf der Tngenten von f n der Stelle x=1 steht) und der x-achse begrenzt wird. [ 4 3 ] 21. Gesucht sind die Prmeter und c der qudrtischen Funktion g(x)=x 2 +c, deren Grph einerseits die gleichen Nullstellen wie die Funktion f(x)= x 3 2x 2 + 4x+8 ht ndererseits mit der x-achse eine Fläche einschliesst, die hlb so gross ist wie die Fläche, die vom Grph von f(x) und der x- Achse eingeschlossen wird (die solve- und integrl-funktion des TI-89 dürfen verwendet werden). [= 1,c=4 oder =1,c= 4] 22. Der TI-89 drf für diese Aufgbe ohne Einschränkung verwendet werden. Gegeben ist die Funktion f(x)= 1 20 x4 6 5 x ) Bestimme die Wendepunkte des Grphs von f(x). [W 1 ( 2 0),W 2 (2 0)]

17 Integrlrechnung Theorie und Übungen 17 b) Eine gnzrtionle Funktion g zweiten Grdes (oder Funktion 2.Grdes g) ht die Eigenschft, dss ihr Grph den Grph von f(x) in dessen Wendepunkten berührt (d.h. die Steigungen der Grphen sind n diesen Stellen gleich). Bestimme g. [g(x)= 0.8x ] c) Berechne den Inhlt des Flächenstücks, ds von den Grphen der beiden Funktionen zwischen den beiden Wendepunkten begrenzt wird (die integrl-funktion des TI-89 drf verwendet werden). [1.71]

18 Integrlrechnung Theorie und Übungen 18 7 Lösungen 2. ) d) x 6 6 +C b) x 4 2 +C c) 3x 5 5 3x2 + 8x+C 4x x n+3 x2 +C e) n+3 +C f) x 2n 2 +C g) 1 1 2x2+C h) 3x 3+ 2x+C i) x x +C j) 2 x 3 3 +C k) x 4 m) 4 4 x 5 +C n) p) 2 x+c q) +C l) 18 6 x 11 +C o) x 5 5 +C 2 x 5 5 +C 3 3 x 2 +C r) 16 4 x+c 2

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