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2 Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: ( )4;5;6;7; (uedliche) Reihe: Summe vo uedlich viele Glieder der Folge ( ) z.b.: R Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

3 Überblick: Folge ud Reihe Awedug: Mthemtische Fuktioe köe durch Reihe ud/oder Folge drgestellt werde (z.b. äherugsweise Berechug) Mthemtische Zusmmehäge oft ls Folge/Reihe defiiert Theme: Chrkteristische Eigeschfte Klssifizierug vo Folge/Reihe (u.. Kovergezprüfug) Bestimmug vo Folge/Reihe, die eie Fuktio f() beschreibe Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

4 Folge: Beispiel ) ( )4;5;6;7; Bildugsgesetz: f() 4 b) ( ) ; ; ; ;... Bildugsgesetz: f()/ c) ( ); ;4; 8;6; Bildugsgesetz: f()( ) Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

5 Drstellugsforme: Vrite Drstellug uf Zhlestrhl 5 4 Drstellug der Fuktio yf() (Bildugsgesetz) i der Gußsche Zhleebee Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

6 Häufig verwedete Folge Arithmetische Folge: Bildugsgesetz: d( ) :. Folgeglied d: Kostte, die de rithmetisch kostte Abstd zweier ufeider folgeder Folgeglieder gibt zb z.b. ( )4;5;6;7; 4 d Hrmoische Folge: Bildugsgesetz: / Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

7 Häufig verwedete Folge geometrische Folge: Bildugsgesetz: z.b. ( ); ;4; 8;6; ( ) 4 z.b. ( )6; ; Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 6

8 Häufig verwedete Folge rtiole/gebroche rtiole Folge Bildugsgesetz: ählich h rtiole/gegrochertiole i l Fuktio ber mit Argumet ist IN lterierede Folge Folgeglieder sid bwechseld positiv ud egtiv: z.b. ( ); ;4; 8;6 Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 7

9 Begriffe: Beschräktheit, Mootoie ud Alteriered Beschräktheit: ) Eie Folge heißt ch obe beschräkt, we es eie Zhl M gibt, so dss gilt: M b) Eie Folge heißt ch ute beschräkt, we es eie Zhl M gibt, so dss gilt: M c) Eie Folge heißt beschräkt we ud b gilt Mootoie: Eie Folge heißt mooto steiged, we Eie Folge heißt mooto flled, we Eie Folge heißt lteriered we gilt (lterierede Folge) Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 8

10 Begriffe: Grezwert, Kovergez Grezwert: Ählich wie bei Fuktioe köe die Grezwerte vo Folge betrchtet werde ( ). Ist L der Grezwert der Folge ( ), so schreibt m lim L Die Recheregel für Grezwerte vo Folge sid log zu de bekte Grezwert Recheregel vo Fuktioe Besitzt eie Folge eie Grezwert, so ist sie koverget ud sost diverget Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 9

11 Kovergez / ε Itervll Für die Glieder der Folge ( ) gilt im Flle der Kovergez: L ε < < Lε für N bzw. L < ε Dies gilt für beliebig kleie ε kleiere ε Werte führe zu größere Werte für N Ds Itervll (L ε; Lε) wird uch ls ε Itervll bezeichet Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

12 ( ) ( ( ) Klssifiziere Sie folgede Folge! lle Folge beschräkte Folge ( ) ( ) ( ) kovergete Folge ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 5 lterierede Folge ( ) ( ) 6 ( ) 7 8 mootoe Folge Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

13 Grezwerte vo spezielle Folge p g R lim... für > lim 4! lim e k k lim e lim Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

14 Aufgbe Wie lutet ds Bildugsgesetz der Zhlefolge 5 ; ; ; ( ) 5 ;...? Welche Eigeschfte weist diese Folge uf? Alteriered? Mooto steiged oder flled? Beschräkt? Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

15 Aufgbe g Bestimme Sie die Grezwerte der Folge für! l l ( ) Regel de L Hospitl geht icht für Fkultät! für welche r koverget/diverget? lim lim lim r für welche r koverget/diverget? Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4 r

16 Awedug: Hero Verfhre bzw. Bbyloisches Wurzelziehe für > Approimtio vo für Uter der Ahme, dss Folge kovergiert: lim lim lim lim lim (Fipuktgleichug) lim Also: Wir hbe eie Folge, mit der wir bereche köe! Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

17 Awedug: Hero Verfhre bzw Awedug: Hero Verfhre bzw. Bbyloisches Wurzelziehe y > für Approimtio vo für Kovergez Überprüfug: Folge ist koverget we ch ute beschräkt ud mooto (flled)! ( ) folgedes gilt immer : ( ) Elemet ch ute beschräkt b. ( ) { Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 6 mooto flled!

18 Awedug: Hero Verfhre bzw. Bbyloisches Wurzelziehe je besser gewählt ist, umso scheller kovergiert Folge Bi Beispiel: il mit (,55658) _ Fehler _ Fehler, ,556575,55, ,46446, ,754E 6 8,9974 8, , ,555E 6,4998 5, ,55658,5876,546 6,55658,58559,4774 7,55658,5576,75 8,55658, ,4846E Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 7

19 Aufgbe: Suche eier Folge für g g Fipuktgleichug erstelle ud d Folge bleite: V i V i Vrite : Vrite : : : lim lim lim lim Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 8

20 Aufgbe: Suche eier Folge für Vergleich Vrite (^(/)): Vrite : Vrite : _ Fehler _ Fehler, , , ,8677 6,, , , ,648788, ,888,4464 4,889654,4 5 4, ,7456 4,8596,598E 5 6 4,89487, ,858955,56E 7 4,84568, , ,867946, , ,854478, , Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 9

21 Reihe (uedliche) Reihe: Summe vo uedlich viele Glieder der Folge ( ) z.b.: Theme: R Kovergez Überprüfug vo Reihe Klssifiktio vo Reihe (ählich wie bei Folge) Potezreiheetwicklug ls Aäherug für mthemtische Fuktioe (Tylor Reihe, McLuri Reihe) Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

22 Reihe: Kovergezprüfug g Eie Nullfolge (lso: lim ) ist otwedige ber NICHT hireichede Bedigug für die Kovergez eier Reihe (Beispiele folge) Also: Bilde die uedlich viele ufzusummierede Folgeglieder KEINE Nullfolge, so ist die Reihe DIVERGENT der Umkehrschluss gilt jedoch icht dies ist bereits ds. Kovergezkriterium i mit dem m die Divergez vo Reihe zeige k (icht jedoch die Kovergez) Im folgede werde häufig verwedete Reihe klssifiziert ud hierfür Kovergezkriterie gegebe Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

23 Geometrische Reihe ( ) ud sid Kostte ( )... R ud sid Kostte S N N N )... ( S N N N N )... ( ( ) S S N N N ) ( S N < ) (lso uch koverget für lim lim S R N Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer ± (lso diverget) für lim lim S R N N N

24 Geometrische Reihe d i d K ( )... R ud sid Kostte Reihe ist koverget für <, sost diverget Ist die Reihe koverget, so kovergiert sie gege /< > koverget Beispiele: ( ) /< > koverget Beispiele: ( ) 4 Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer ( ) 4

25 P Reihe... Kovergez: Allgemei: otwedige Bedigug Nullfolge > > Ttsächlich gilt hier: koverget für > ud diverget für Beispiele: Soderfll hrmoische Reihe: > diverget > koverget... 4

26 Alterierede Reihe Reihe über lterierede Folge ( ) Mögliche Drstellug: ( ) b b b b... mit b Alterierede Reihe kovergiert we b eie mootoe (fllede) Nullfolge bilde: b b für lle lim b Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

27 Alterierede Reihe Beispiele p ( )... 4 R 4 b b :? b b lim lim b oft lterierede Reihe uch geometrische Reihe: 4 Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 6 ( ) ( ) b

28 Alterierede Reihe Beispiele II R ) mooto fllede Folge? ( ) ) limb lim lim lim b ) Ist ( b Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 7

29 Alterierede Reihe Beispiele II R mooto fllede Folge? ) Ist ( b ) b ) limb lim lim lim ( ) f ( ) We mooto flled im Itervll [;), d ist uch die Folge (b ) mooto flled Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 8

30 Alterierede Reihe Beispiele II Bereits us der Grfik erkebr, dss f() mooto flled für >, f f ( ) ' für 678 für > 678 > < ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 44 > uch die Folge (b ) ist für mooto flled b,5 ; b4/9<,5 lso: (b ) mooto flled für > Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 9

31 Potezreihe (PR) C C C C C... C : Koeffiziet : Vrible Frge: Für welche kovergiert die Potezreihe? Beispiel: C C Bi il C Ählich h geometrische Reihe koverget für < Für dere C werde weitere Kovergezkriterie beötigt t Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

32 I zetrierte Potezreihe (PR) ( ) ( ) ( ) ( )... C C C C C : Kostte Vrible der ormle Potezreihe wurde durch substituiert Ählich wie Verschiebug vo Fuktiosgrphe um i Richtug Achse: f() Substitutio vo durch : f( ) Kovergezprüfug och zu diskutiere weitere Kovergezkriterie werde beötigt Ausblick: PR mit spezielle C wird us zur Tylorreihe ( ) bzw. McLurireihe () führe, die zur Berechug vo Fuktioswerte diee Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

33 I zetrierte Potezreihe (PR) Wiederholug Verschiebug vo Fuktiosgrphe i Richtug: Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

34 Kovergezprüfug gvo Reihe Ählich wie bei der Lösug vo Itegrle, muss m sich geeigete Verfhre wähle Hier: Überprüfug uf Kovergez i Rezeptform Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer

35 Kovergezprüfug gvo Reihe ) Bilde die Folgeglieder der Reihe eie Nullfolge? Nei: Diverget J: Keie Aussge (weiter mit b) b) It Ist die Reihe eie geometrische ti Reihe oder k i eie solche umgeformt werde? J: < > koverget, sost diverget Nei: Keie Aussge (weiter mit c) c) Ist die Reihe eie P Reihe? Rih? J: > > koverget, sost diverget Ni Nei: Keie Aussge (weiter mit d) Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

36 Kovergezprüfug gvo Reihe d) Ist die Reihe eie lterierede Reihe? J: (b ) mooto fllede Nullfolge? J > koverget, sost diverget Nei: Keie Aussge (weiter mit e) ( ) b mit b Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

37 Kovergezprüfug gvo Reihe e) Vergleichskriterium: Awedbr we die Reihe Ählichkeit mit bekte Reihe R b b ht Fll : R b koverget UND b UND Vorzeiche( )Vorzeiche(b ) > R koverget, sost keie Aussge (weiter mit fgh) f,g,h) Fll : R b diverget UND b UND Vorzeiche( )Vorzeiche(b ) > R diverget, sost keie Aussge (weiter mit f,g,h) R Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 6

38 Kovergezprüfug gvo Reihe f) Quotietekriterium: Awedug bei Reihe dere Folgeglieder li Fktore (z.b. ), Poteze (z.b. c ), Epoete (z.b. c ) oder Fkultäte vo (! (i ) ( )... ) beihlte. > diverget lim < koverget keie Aussge / muss sich leicht vereifche lsse Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 7

39 Kovergezprüfug gvo Reihe g) Wurzelkriterium: Awedug bei Reihe dere Folgeglieder li Epoete (z.b. c ) beihlte. Oft uch Quotietekriterium wedbr! lim > diverget < koverget keie Aussge muss sich leicht vereifche lsse Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 8

40 Kovergezprüfug gvo Reihe g) Itegrlkriterium: Awedug we die Stmmfuktio der Folgeglieder li R strt ermittelbr ist! ( ) f y f ( ), f, IN IR f() sei strt ( ) d f ( ) strt strt d mooto fllede Nullfolge utere Greze uterschiedlich ( ) d ± diverget f ( ) d ± koverget f strt strt strt Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 9 strt

41 Kovergezprüfug gvo Reihe g) Itegrlkriterium: Beispiel hrmoische Reihe f ( ) d f ( ) d strt strt strt R d lim o o o [ l ] lim l diverget o Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

42 Kovergezprüfug gvo Reihe g) Itegrlkriterium: Beispiel P Reihe R utersuchte Rih Reihe f strt ( ) d f ( ) strt strt d lim o d [ ] o koverget Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

43 Kovergezprüfug gvo Reihe g) Itegrlkriterium: f strt strt strt strt ( ) d ± diverget ( ) ± f d koverget Sollte f() icht im gesmte Bereich [strt ;strt] defiiert sei, so k die Folge wie folgt umforme ud utersuche: strt strt strt Sollte ( ) eie moto steigede Nullfolge sei, so k m die mooto fllede Nullfolge l bt betrchte strt Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

44 Approimtio uedlicher durch edliche Reihe Näherug: strt N strt strt N N Err strt Der Fehler Err k wie folgt eigegrezt werde (Ahme: ( ) mooto fllede Nullfolge): N f ( ) d Err f ( ) N d Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 4

45 Tylor Reihe Potezreihedrstellug für Fuktio f() gesucht: f ( ) ( ) C C ( ) C ( )... PR C C müsse bestimmt werde:. Schritt: Ableituge bilde: f ' C C C f f ( ) ( ) ( )... '' ( ) C C ( ) 4C 4 ( )... ( ) ( ) ( )! ( ) ( )!! C C C ( )...! I Ableituge eisetze: C f() f () f ()C > f ()/ f () C f() C C ()/! Vorsicht: PRf() gilt ur, we PR kovergiert! Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 44

46 Tylor Reihe Zusmmefssug Fuktio f() wird durch Potezreihe drgestellt: f C PR C ( ) C C ( ) C ( )... ( ) f ( ) ( )! Kovergezbereich bezüglich gibt de Bereich für de die Fuktio f() durch diese Potezreihe drgestellt werde k Awedug: typischerweise wird die Fuktio f() durch eie edliche Potezreihe geähert Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 45

47 Vergleich Tylor Reihe li. Approimtio Fuktio f() I zetrierte Potezreiheetwicklug: i f ( ) C ( ) PR C f () 4 C Tgete f() im Pukt (;4) : f ' ( ) 4 PR 4 4( )... ( ) ( ) f () 4 4( ) 4 4 t( ) f ' Additio der erste Folgeglieder der Tylor Reihe etspricht lierer Approimtio Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 46

48 Vergleich Tylor Reihe li. Approimtio Fuktio f() Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 47

49 McLuri Reihe Soderfll der Tylor Reihe mit : f ( ) C PR f ( ) ()! C C C C... Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 48

50 Bekte Reihe Aus bekte Reihe köe leicht spezielle Reihe hergeleitet werde hergeleitet werde Folgede Reihe sid bekt: ) ; i ( koverget e i (-;) koverget... ( ) ( ) ) ; i (- koverget... 7! 5!!! si ) ; i (- koverget...!! e 7 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ; i (- koverget... 6! 4!!! cos Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 49 ( ) (-;) i koverget t

51 Ableitug spezieller Reihe us Ableitug spezieller Reihe us bekte Reihe (Beispiele) ( p ). Ableitug eier bekte Fuktio: ( ) ( ) ( ) ( )... C C C C f ( ) ( ) ( ) ( )... ' C C C C f Beispiel: f()si() > f ()cos() Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

52 Ableitug spezieller Reihe us bekte Reihe (Beispiele). Multipliktio (z.b.: gesucht Reihe für f() cos()): f ( ) C C C C C.... Substitutio (z.b.: gesucht Reihe für f()cos( )): bekte Reihe : gesucht Reihe für f ( ) C ( g( ) ) f ( z) f C z ( ) mit z g( ) (z.b.: z ) : Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

53 Itegrle vo Fuktioe 4. Itegrtio eier Fuktio: f ( ) d C d Beispiel: e f ( ) e d e d ( ) C Stmmfuktio vo f ( ) d e!!!!! 5 5! d! 8... C 8! d!! ( )! oft schwer oder gr icht zu bestimme Stmmfuktio der Reihe problemlos zu bestimme C Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

54 Aufgbe Überprüfe Sie, ob die gegebee Kovergezbereiche korrekt sid! Sollte ds verwedete Kovergezkriterium für die Rdbereiche keie Aussge mche, so verwede Sie weitere Kovergezkriterie!... koverget i (-;) e si cos t!...! 5 koverget i (-; ) ( )... koverget i (- ; ) ( )!! 5! 7! 6 ( )... koverget i (-; ) ( )!! 4! 6! ( )... koverget i [-;] 7 Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 5

55 Aufgbe Bestimme Sie us der Potezreihe für si() Potezreihe für folgede Fuktioe: cos(): () Hiweis: i cos d d si si() Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 54

56 Aufgbe Zeige Sie, dss die gegebee Fuktioe durch die ebeflls gegebee Reihe drgestellt werde köe! e si!!......!! 5 5! ( )... McLuri - Reihe ( ) 7 7! Ählichkeit zur geom. Reihe oder McLuri - Reihe McLuri - Reihe Mthemtik II Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer 55

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