Grenzwertberechnungen

Transkript

1 Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie grosse Bedeutug bei uedliche Folge: Hier iteressiert us vor allem das Verhalte für grosse bzw. was geschieht, we gege Uedlich geht. Eie Zahlefolge heisst ach obe(ute) beschräkt, we es eie Zahl K(k) gibt, so dass für alle Glieder a gilt a K (a k). Eie Folge heisst beschräkt, we sie sowohl ach obe als auch ach ute beschräkt ist. Beispiele:. a = -. a = (-) 3. a = - 4. a = (- ) Bei mooto zuehmede ud beschräkte Folge ist vo alle obere Schrake die kleiste vo Iteresse. Ihr ähert sich die Folge mit wachsedem immer besser a. Eie solche Schrake et ma deshalb auch Grezwert. Eie Zahlefolge hat höchstes eie Grezwert. Folge, die eie Grezwert habe, et ma auch kovergete Folge. Folge ohe Grezwert et ma divergete Folge. Folge mit dem Grezwert 0 heisse Nullfolge. Übug Nr. Utersuche, ob die Folge eie Grezwert besitze. Begrüde! a) a = b) a = c) a = d) a = +! e) a = f) a = ( + ) g) a =, a + = 3a h) a =, a =, a + = a a - ( ) +, >

2 Übuge. Welche Grezwert hat die Folge? a) (5 + ) b) ( - ) c) ( ) 5 d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) Sid die folgede Aussage wahr? We die Aussage wahr ist, suche ei passedes Beispiel, falls sie falsch ist, gib eie Begrüdug oder ei Gegebeispiel. a) Es gibt Zahlefolge, die zugleich koverget ud diverget sid. b) Es gibt eie Zahlefolge, welche die beide Grezwerte g = - ud g = hat. c) Jede mooto fallede Folge ist ach obe beschräkt. d) Jede ach obe beschräkte Folge ist mooto falled. e) Es gibt Folge, die sid streg mooto steiged ud streg mooto falled. f) Eie streg mooto fallede Folge ka icht ach ute beschräkt sei. g) Eie beschräkte Folge ist etweder streg mooto falled oder streg mooto steiged. h) Es gibt beschräkte Folge, die keie Grezwert habe. i) Das Produkt aus eier kovergete ud eier divergete Folge ka keie kovergete Folge sei. j) Die Summe zweier divergete Folge ist immer diverget. 3. Welches ist der grösste Wert, de der Quotiet eier uedliche GF, die mit 4 begit, aehme ka, we die Summe aller Glieder icht übersteigt? 4. Wie viele Glieder der GF 5, 4,... muss ma bei a begied, addiere, we ihre Summe um höchstes 0,00 vom Grezwert der Reihe abweiche darf? Lösuge. a) 5 b) c) 0 d) 0 e) 0 f) 4/5 g) 4 h) i) /3 3. q < /

3 Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Fuktioe. Grezwerte für gege 5. Bereche folgede Grezwerte: 5 50 e) lim 5 8 f) lim (4 - ) g) lim ( ) h) lim 3 6. Bestimme folgede Grezwerte: e) lim f) lim g) lim e - 7. Bestimme folgede Grezwerte Bestimme folgede Grezwerte e) lim 3 + g) lim ( + + ) h) lim + ( + ) f) lim ( + ) Lösuge 5. a) 0 b) 0 c) 0 d) e) 0 f) 4 g) - h) - 6. a) b) /5 c) 0 d) ½ e) f) 0 g) 0 7. a) /3 b) 0 c) - d) 8. a) /3 b) 0 c) /3 d) e) 0 f) 0 g) h)

4 . Grezwerte für gege 0 9. Sei f : 4 < < 4 4. Eistiere folgede Grezwerte: lim f() bzw. lim f()? 4 0. Bereche folgede Grezwerte: ( 3 8) d) lim e) lim f) lim Beurteile mit schlüssiger Begrüdug, ob die folgede Aussage über de Grezwert eier Fuktio wahr oder falsch sid: a) We a eier Stelle 0 sowohl der liksseitige als auch der rechtsseitige Grezwert eistiert, da eistiert der Grezwert a dieser Stelle 0. b) We der Grezwert a eier Stelle 0 eistiert, da eistiert a dieser Stelle 0 sowohl der liksseitige als auch der rechtsseitige Grezwert. c) We a eier Stelle 0 sowohl der liksseitige als auch der rechtsseitige Grezwert eistiert ud beide gleich gross sid, da eistiert der Grezwert a dieser Stelle 0. d) We der Grezwert a eier Stelle 0 icht eistiert, da eistiert a dieser Stelle 0 etweder der liksseitige oder der rechtsseitige Grezwert icht. e) We der Grezwert a eier Stelle 0 eistiert, da ist er gleich gross wie der liksseitige ud der rechtsseitige Grezwert a dieser Stelle 0. f) We die Fuktio a der Stelle 0 defiiert ist, da eistiert der Grezwert a dieser Stelle 0. g) We der Grezwert a eier Stelle 0 eistiert, da ist die Fuktio a dieser Stelle 0 defiiert. Lösuge 0. a) 4 b) /3 c) 4 d) e) f) 4/5. wahr: b, c, e

5 Katosschule Solothur Grezwertberechuge Stetigkeit Sei y = f() eie Fuktio. f heisst a der Stelle 0 stetig, we der Grezwert lim f() eistiert ud gleich dem Fuktioswert a dieser Stelle ist, 0 d.h. we gilt: lim 0 f() = f( 0). Die Stetigkeit eier Fuktio a eier bestimmte Stelle ist eie lokale Eigeschaft, d.h. eie Eigeschaft der Fuktio, die sich auf eie bestimmte Pukt, auf eie bestimmte Wert 0 bezieht. Werte, für die eie Fuktio icht stetig ist, heisse Ustetigkeitsstelle; die Fuktio heisst a dieser Stelle ustetig Gegebe seie die beide folgede Fuktioe: f() = 3 ud f() =. Skizziere die Grafe der beide Fuktioe ud beurteile da jeweils, ob folgede Aussage wahr oder falsch ist: Die Fuktio ist a der Stelle 0 = icht defiiert, besitzt a dieser Stelle jedoch eie Grezwert. 3. Utersuche die folgede Fuktioe auf Stetigkeit a der Stelle 0: a), 3 f() = 3, = 3 b), f() = 0, = c), f() =, > 4. Bestimme a so, dass die Fuktioe stetig sid. a) c) + a, f() =, = +, a f() =, > a +, [ 0,3 ] b) f() = a, [ 0,3 ] 3 + (a ) a, a d) f() = a, > a 5. Bestimme a ud b so, dass f auf R stetig ist: 6. Bestimme a ud b so, dass f überall stetig ist: f () a + b, =, [ 0,] [ 0,], f() = a + b,< < +, Lösuge 3. a) f(3) = 9 b) ei c) f() = 4. a) a = 0 b) a = 4 c) a = 5. a =, b = 0 6. a =, b = ± 3 d) a = 0