Kurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x.

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1 Kurvediskussio Vorzeigeaufgabe: Sei c R. Skizziere Sie de Graphe vo fx) = + x e x. HS4 Probeprüfug Aufgabe 5 Bestimme Sie das Miimum ud das Maximum der Fuktio fx) = x 3 + 3x x + 0 auf dem Itervall [ 3, 3]. Bestimme Sie ausserdem maximale Teilitervalle auf dee die Fuktio f mooto wachsed bzw. mooto falled ist. Maximum:, 8), Miimum:, 3) mooto falled auf [, ], mooto steiged auf [ 3, ] [, 3] HS3 Probeprüfug Aufgabe gleiche wie HS5) Betrachte Sie die Fuktio log x arctax ) auf dem Defiitiosbereich ]0, + [. a) Fide Sie die lokale Maxima ud Miima. b) Diskutiere Sie die Mootoie der Fuktio. c) Bereche Sie die Grezwerte fx) ud fx). x + x 0 Besitzt die Fuktio eie globale Maximumstelle? Besitzt sie eie globale Miimumstelle? d) Zeige Sie dass f geau zwei Nullstelle hat Sie müsse die Nullstelle icht explizit bereche). a) lokales Maximum:,0) lok. Miimum:, log π/4). b) mooto wachsed auf 0, ), + ) mooto falled auf,) c) x + fx) = +, x 0 fx) = weder gobale Max.- och Mi.stelle. d) argumetiere mit f) = 0 ud Zwischewertsatz [plus streg mo. wachsed auf, )] ETH Caspar So6 Aufgabe c) Sei f : R\{ } R, x x. Bestimme Sie das grösste c < 0, sodass die + x Fuktio für alle x < c streg mooto wachsed ist. c = ETH Caspar Wi7 Aufgabe Sei c R. Der Graph der Fuktio f : R >0 R mit fx) = x lx) ist für 0 < x < e c ach rechts gekrümmt ud für x > e c ach liks gekrümmt. Bestimme Sie de Expoete c. Die Fuktio besitzt bei x 0 = e a ei Miimum. Bestimme Sie de Expoete a. c = 3 a =

2 -dim. Fuktio Vorzeigeaufgabe: fx, y) = x xy + y + schwer : fx, y) = 4x + y )e x 4y Wirtschafts-Prüfugaufgabe fx, y) = x e x + x y), x, y) R a) f = x e x + xe x + x y, y x ) T b) 0,0): lokale Miimalsstelle, -,-): Sattelpukt MAT84 FS7 Übugsserie 4 Aufgabe 3 c) Bestimme die zweite Taylorpolyome i de kritische Pukte. fx, y) = x 5 + y 5 5xy. a) f = 5x 4 5y, 5y 4 5x) T b), ) ist lokales Miimum, 0, 0) Sattelpukt. Wirtschafts-Prüfugaufgabe fx, y) = xx ) + y 3), x, y) R. a) f = 3x 8x + 4, y 6) T b), 3) lokales Miimum, 3, 3) Sattelpukt Wirtschafts-Prüfugaufgabe fx, y) = 3 x + y xy x, x, y) R a) f = 3x y, 4y x) T b), ) lokales Miimum.

3 Ableitug Umkehrfuktio Vorzeigeaufgabe: Gegebe ist die Fuktio fx) = l + x) l x), x D :=, ). Bereche Sie df y 0 ) dy a der Stelle y 0 = f ) 4 Aus Wirtschafts-Prüfug Gegebe ist die Fuktio gx) = x + x, x R\{ }. Bereche Sie, falls möglich, die Ableitug der Umkehrfuktio g y) a der Stelle y = 0. g ) =. Aus Wirtschafts-Prüfug Gegebe ist die Fuktio fx) = e x, x R. Bestimme Sie die Tagete a de Graphe vo f im Pukt, f )) ud bereche Sie die Ableitug f y 0 )) der Umkehrfuktio f a der Stelle y 0 =. y = x /) = x f )) = /f /) =. Aus Wirtschafts-Prüfug Gegebe sei die Fuktio f : [0, ), 0], fx) = l + x. i) Bestimme Sie f y) explizit ud bereche Sie da d dy f y 0 ) a der Stelle y 0 = l. ii) Bereche Sie d dy f y 0 ) a der Stelle y 0 = l mit Hilfe des Satzes zur Ableitug der Umkehrfuktio. i) f y) = e y, f y)) = e y e, y ii) f ) = f ) l)) =. 3

4 Itegrale Vorzeige: 3 six) cos x) dx 0 xe x dx six) cosx)dx. 88x x 86 x 88 + x dx. x six)dx 3. 0 x + ) 3 dx 4. x log xdx 5. 3 x 3 x 4 dx 6. x 6 lx )dx 7. 0 x dx x ) 8. * 0 si x cos x + + ) x + x + Zusatz: hoffetlich / deke icht mehr Prüfugslevel) 9. ** x l x) dx 0. *** x 3 e +x dx. *** x 3 six )dx dx ) lx 88 + x ) + C ) x cosx) + x six) + cosx) + C 5) 4 l 6 3 x3 log x 9 + C 6) x7 7 lx ) 49 x7 + C 3) 4) x3 3 ) 7) 8) si3 ) π 4 + C Zusatz: 9) x3 3 l x) 9 x3 logx) + 7 x3 + C 0) e+x x ) + C ) x cosx ) + six )) + C 4

5 Grezwerte Vorzeigeaufgabe: Bestimme Sie + x + x x + x + e x + ) x x + x + x + 4x x 3x + x + HS Probeprüfug Aufgabe Es sei a := , N. Utersuche, ob die Folge a ) N koverget oder diverget ist, ud bereche de Grezwert a, falls er existiert. koverget mit Grezwert a = 5 HS0 Probeprüfug Aufgabe 5 a) Gebe Sie die Ableitug a vo: b) Bereche Sie: e x x 0 fx) = si + e x ) x. Hiweis: Beutze Sie die Regel vo Beroulli-De L Hôpital. a) f x) = cos + e x ) ex x b) +ex HS07 Probeprüfug Aufgabe 4 a) N 3 b) Bestimme Sie folgede Grezwerte, falls diese existiere: R x x x 3x a) 3 b) 0 HS5 Übugsserie Bereche die folgede Grezwerte: a) x b) e x x 0 x ; c) x + 3/ + d) ) e) x ) si + x 3 + f) cos x x 0 x ; g) log a x x x ; h) x log ) ) log + i) x 0 si x x ; a) 0 b) c) 0.5 d) e 6 e) 0 f) 0.5 g) la) h) 0 i) 0 5

6 HS08 Probeprüfug Aufgabe 4 Bestimme Sie de folgede Grezwert falls vorhade): ) si x x. x + ) 3 0 HS3 Probeprüfug Aufgabe 4 Bereche Sie die folgede Grezwerte ) + 3 logsi x) * ). ) x 0 + si x * = schwerere! ) e 3 ) HS5 Übugsserie 6 - Aufgabe 3 Fide de Grezwert der folgede Folge mit Hilfe des Sadwichsatzes. a) a = si) für N\{0} b) b = si) 3 + cos)) für N\{0} a) a = 0 b) + + b = 3 * HS08 Probeprüfug Aufgabe 3 Ist die achstehede Folge {a } N beschräkt, mooto, kovergiert sie? Bereche Sie de Grezwert, falls dieser existiert. a = + ) ). beschräkt, mooto steiged mit Grezwert a = Zusatz - Vermute icht dass so was kommt! HS Probeprüfug Aufgabe 3 Es sei a := ) si),. Bereche zuächst de Grezwert a der Folge a ). Bestimme da zu jedem ε > 0 ei 0 N, so dass a a ε für alle 0 gilt. a = 0, 0 = ε + Reihe Vorzeigeaufgabe: a) a) Bestimme ob die Reihe kovergiert ud b) für welche x kovergiert die Reihe ) ) b) ) x ) 6

7 ETH Aufgabe Utersuche Sie die Kovergez folgeder Reihe. a) k= 3k k b) c)! d) e) f) 4 + ) a) + b) kov. ach Quot.krit. c) Kov. ach Majoratekrit. d) + e) divergiere f) Kov. ach Wurzelkrit. HS3+HS4 Probeprüfug Aufgabe ) 3 + ) Etscheide Sie ob die folgede Reihe kovergiere oder icht: 5!. 3) cosπ) ) kovergiert absolut ) kovergiert absolut 3) ja MAT HS0 Klausur Aufgabe ) + + 3) Welche der folgede Reihe kovergiere mit Begrüdug): + )! a) kovergiert icht da keie Nullfolge) b) absolut koverget ach Wurzelkriterium) c) kovergiert ach dem Majoratekrit: )) ETH Aufgabe a) x b) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe.! x c) 9 x a) R = b) R = e c) R = 3 ETH Aufgabe Für welche x kovergiere folgede Potezreihe. a) x + x ) b) ) ) c) x + 3) a) x [ 3 4, 4 ) b) x [, 3] c) x 7, 5 ] HS4 Probeprüfug Aufgabe 3b Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe. z R = MAT 007 Prüfug Aufgabe 5 a) Diskutiere die Kovergez oder Divergez der folgede Reihe ). c) Für welche Werte x R kovergiert x + ) a) kovergiert ach dem Wurzelkriterium) c) kovergiert für alle x [, ] 7

8 Taylorpolyome Vorzeigeaufgabe: FS7 Übugsserie - Aufgabe a) Bereche das Taylorpolyom T 4 f) ud fide eie obere Schrake vo ɛ 4 fx)] für x Abschätzug vo R 4 fx)] für die Fuktio f : 0, ) R, x x. ud damit eie ud damit eie Ab- b) Bereche das Taylorpolyom T0 7 f) ud fide eie obere Schrake vo ɛ 7 0fx)] für x schätzug vo R0fx)] 7 für die Fuktio f :, ) R, x x 3 x3 x. ETH Aufgabe Bestimme T f) vo der Fuktio fx) = x ud T 0 g) vo der Fuktio gx) = ex x +. T f) = t ) t ) T 0 g) = + x HS07 Probeprüfug Aufgabe a Es sei f : R R, x cosx)e x gegebe. Bestimme Sie T 4 0 f). a) p 4 = x + x3 3 x4 6 HS Probeprüfug Aufgabe 4 Etwickle die Taylorreihe vo der Fuktio fx) = xe x um die Stelle x = 0. x! x =! x+ HS0 Probeprüfug Aufgabe 3 fx) := x) e x. Bereche Sie die Taylorreihe vo f im Pukt x 0 = 0. via e x -Taylorreihe:) + x )!. HS4 Übugsserie 0 - Aufgabe 3 Bereche die Taylorreihe vo log3+4x ) um x = 0 ud ihre Kovergezradius. log3 + 4x ) = log3) 4/3) x mit Kovergezradius 3/4 HS4 Übugsserie 9 - Aufgabe 3 abgeädert a) Bereche das Taylorpolyom T f) ud fide eie obere Schrake vo ɛ fx)] für x Abschätzug vo Rfx)] für die Fuktio fx) = 4 x. b) Bereche das Taylorpolyom T 3 f) ud fide eie obere Schrake vo ɛ 3 fx)] für x Abschätzug vo Rfx)] 3 für die Fuktio fx) = logx). ud damit eie ud damit eie a) T fx) = + 4 x ) 3 3 x ) R fx) 3 6 x ) b) T 3 fx) = log) + x ) 8 x ) + 4 x )3 R 3 3 fx) 4 x )3 Zusatz: via Ableite FS7 Übugsserie - Aufgabe 5 Bestimme die Taylorreihe vo x) am Etwicklugspukt x 0 = 0. Verwede Satz 5.6) 8 ) x via x) = x = x)