10 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

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1 0 Aweduge der Dieretial- ud Itegralrechug 0. Relative Extrema Eie Fuktio sei i eier Umgebug des Puktes ξ deiiert. ξ heißt relatives Miimum vo, we es eie Umgebug U vo ξ gibt mit (ξ) ür alle x U. I eiem relative Maximum gilt aalog (ξ). Ei Miimum oder Maximum heißt strikt, we statt oder die strikte Ugleichug gilt. Zu beachte ist bei dieser Deiitio, dass midestes i eiem Itervall (ξ ε,ξ +ε) deiiert sei muss. Liegt der Extremwert am Rade des Deiitiosbereichs vo, so spreche wir vo eiem eiseitige Miimum oder Maximum. Satz [Notwedige Bediguge ür eie Extremwert] Die Fuktio : (a,b) Ê besitze i ξ (a,b) ei relatives Miimum oder Maximum. (a) Ist C, so gilt (ξ) = 0. (b) Ist C 2, so gilt zusätzlich (ξ) 0 alls ξ Miimum, (ξ) 0 alls ξ Maximum. Beweis: (a) Sei ξ ei relatives Miimum. Für h > 0 gilt da Durch Grezübergag olgt (ξ) = 0. h ((ξ +h) (ξ)) 0, ((ξ h) (ξ)) 0. h (b) Für ei relatives Miimum ξ gilt ach (a) (ξ) = 0. Die Taylor-Etwicklug ür = lautet daher = (ξ)+ 2 (a)(x ξ) 2, a (x,ξ), daher 0 (ξ) = 2 (a)(x ξ) 2, a (x,ξ). Für eie Folge (x ) mit x ξ olgt ür die zugehörige a, dass a ξ. Wege der Stetigkeit vo erhalte wir (ξ) 0. Satz [Hireichede Bedigug ür eie Extremwert] Für die Fuktio C 2 (a,b) seie i ξ (a,b) die Bediguge (ξ) = 0 sowie (ξ) > 0 ( (ξ) < 0) erüllt. Da besitzt i ξ ei striktes relatives Miimum (Maximum). Beweis: Ählich wie im Beweis vo Satz 0.(b) bekomme wir aus der Tayloretwicklug um de Pukt ξ wege (ξ) = 0, (ξ) = 2 (a)(x ξ) 2, a (x,ξ). Ist u (ξ) > 0, so ist wege der Stetigkeit vo auch (a) > 0 ür alle a i eier geüged kleie Umgebug vo ξ. Daraus olgt die Behauptug. Bei eiseitige Extremwerte gibt es ur otwedige ud hireichede Bediguge erster Ordug, also ur ür die erste Ableitug vo. Besitzt C ([a,b]) ei Miimum a der Stelle a, so olgt ür h > 0 (a + h) (a) 0 ud damit (a) 0. Gilt (a) > 0, so olgt aus dem Dierezequotiete, dass i a ei striktes relatives Miimum besitzt. Zu beachte ist dabei, dass die Vorzeiche ür de rechte Radpukt sich umkehre. Bei der Bestimmug der globale Extremwerte eier dierezierbare Fuktio sid alle Nullstelle der erste Ableituge ud die Radpukte zu utersuche, bei ubeschräktem Deiitiosbereich zusätzlich das Verhalte im Uedliche. Beispiel Wir utersuche die Fuktio = x2 x+ i I = (, ). 83

2 Es gilt ür x > (x) = 2x x+ x 2 (x+) 2 = 0 2x(x+) x2 = 0 mit eiziger Lösug x = 0 i I. Da < 0 i (,0) ud > 0 i (0, ), ist ist streg mooto alled i (,0) ud streg mooto wachsed i (0, ). x = 0 ist daher das globale Miimum. Klar ist x + =, x =. 0.2 Die Regel vo de l Hospital Hier betrachte wir zwei Fuktioe ud g, die i Umgebug eies Puktes ξ deiiert sid, wobei ür ξ auch ± zugelasse ist. Wir ehme a, dass die Grezwerte ür x ξ existiere, also (ξ) α, g(x) β. Aus de Recheregel ür Zahleolge olgt, dass /g(x) = α/β, soer α/β eie Zahl ist. Klar ist auch der Fall α 0 ud β = 0, g 0, weil da /g(x) sig(α). Aber was passiert i de Fälle α = β = 0 ud α = β =? Wir spreche da vo ubestimmte Ausdrücke der Form 0 0 ud. Hier kommt es oebar darau a, wie schell die Fuktioe gege 0 bzw. gege kovergiere. Satz [de l Hospital] Liegt ür die dierezierbare Fuktioe ud g ei ubestimmter Ausdruck der Form 0 0 oder vor, so gilt x ξ g(x) = (x) x ξ g (x), soer g (x) 0 i eier Umgebug vo ξ ud der Grezwert au der rechte Seite existiert. Beweis: Zuächst sei ξ Ê ud (ξ) = g(ξ) = 0. Da olgt aus dem verallgemeierte Mittelwertsatz 8.5 g(x) = (ξ) g(x) g(ξ) = (ξ ) g (ξ ), ξ (x,ξ). Wege ξ ξ ür x ξ olgt die Behauptug. Im Falle ξ = verwede wir die Trasormatio x = t, x g(x) = ( t ) t 0+ g( t ) = t 0+ d dt ( t ) d dt g( t ) ( t = )t 2 ( t t 0+ g ( = ) t )t 2 t 0+ g ( t ) = (x) x g (x) Diese zuächst ur ormal gültige Beziehug ist korrekt, we ma sie vo rechts ach liks liest. Nu sei wieder ξ Ê ud,g(x) ür x ξ. Sei (x) x ξ g (x) = a Ê. Zu jedem ε > 0 gibt es eie Umgebug U vo ξ mit (x) g (x) a < ε ür alle x U. Für x, y U gilt damit ach dem verallgemeierte Mittelwertsatz (0.) (y) g(x) g(y) a < ε. I der Beziehug g(x) = (y) g(x) g(y) (g(x) g(y)) ( (y))g(x) = (y) g(x) g(y) g(y) g(x) (y) 84

3 halte wir y ξ est. Beim Grezübergag x ξ kovergiert der zweite Bruch au der rechte Seite gege. Für x i eier geüged kleie Umgebug vo ξ gilt da g(x) (y) < ε. g(x) g(y) Zusamme mit (0.) olgt /g(x) a. Der Fall ξ = ± wird wie im erste Teil des Beweises behadelt. Beispiele (i) Bei x α lx, α > 0, liegt ei ubestimmter Ausdruck der Form 0 ür x 0 vor. Dieser läst sich leicht au eie bekate Fall zurückühre lx x 0+ xα x lx = x 0+ = x α x 0+ α = 0. x α+ Wir habe damit eie alterative Beweis ür die Tatsache keegelert, dass der Logarithmus lagsamer gege uedlich geht als jede Wurzel gege Null. (ii) Ot muss die Hospitalsche Regel mehrach ausgeührt werde, um zum Erolg zu komme, wie i ( x 0+ x ) (sihx x) (coshx ) sihx = sihx x 0+ (x sihx) = x 0+ (xcoshx+sihx) = x 0+ xsihx+2coshx = 0. (iii) Bei Ausdrücke der Form geht ma zum Logarithmus über. Um beispielsweise x + x /(x ) zu utersuche, verwede wir daher x + x /(x ) = e. lx x + lx/(x ) = x + x = x x + =, Vor allem bei Ausdrücke der Form 0 0 ist die i Abschitt 9.9 vorgestellte Utersuchugsmethode mit Hile der Tayloretwicklug meist eiacher. Nehme wir als Beispiel de Ausdruck h(x)/g(x) mit,g(x) 0 ud h(x) ür x 0, so ist klar, dass der Grezwert icht vo Ableituge vo h abhägt. Bei uverstädiger Awedug der Hospitalsche Regel wird ma dagege die Ableituge vo h ach der Produktregel bestimme. Dagege schreibt ma bei Verwedug der Tayloretwicklug h(x) = +O(x) ud sieht soort, dass der Term O(x) ohe Belag ist. 0.3 Kovexität ud elemetare Ugleichuge Eie au eiem Itevall I Ê deiierte Fuktio heißt kovex, we ür alle x,y I ud t [0,] gilt heißt kokav, we kovex ist. (tx+( t)y) t+( t)(y). Die Mege {z = ta+( t)b, t [0,]} parametrisiert die Strecke mit Edpukte a ud b. Bei eier kovexe Fuktio liegt daher jede Sekate oberhalb des Graphe vo, wie im Bild liks zu sehe ist. Das rechte Bild zeigt eie kokave Fuktio. 85

4 Sid x,...,x k I ud t,...,t k Ê mit 0 t i ud i t i =, so heißt i t ix i Kovexkombiatio der x i. Satz Sei I Ê ei Itervall. Eie Fuktio : I Ê ist geau da kovex, we ür alle Kovexkombiatioe i t ix i, x i I, gilt ( k ) t i x i k t i (x i ). Beweis: Für kovexes ist die Behauptug ür k = 2 erüllt. Für k > 2 verwede wir Iduktio über k. Für eie Kovexkombiatio k+ t ix i köe wir 0 < t k+ < aehme. Der Pukt y = k t i t k+ x i wird durch eie Kovexkombiatio aus k Pukte dargestellt. Aus der Deiitio der Kovexität ud der Iduktiosvoraussetzug ür k olgt (k+ ) ) ( k t i x i = (( t k+ )y+t k+ x k+ ( t k+ ) t ) i k+ x i +t k+ (x k+ ) t k+ t i (x i ) Satz Sei I Ê ei Itervall. C 2 (I) ist geau da kovex (kokav), we (x) 0 ( (x) 0) ür alle x I. Beweis: Für x 0 I lieert der Satz vo Taylor ür = (x 0 ) (x 0 )(x x 0 ) = 2 (ξ)(x x 0 ) 2, ξ (x 0,x). Ist kovex, so ist die like Seite ichtegativ, weil die Tagete y(x) = (x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) eierkovexefuktiouterhalbihresgrapheliegt.divisiodurch(x x 0 ) 2 udgrezübergag x x 0 zeigt (x 0 ) 0. Die umgekehrte Richtug olgt aalog. Demach ist der Logarithmus wege l (x) = x 2 < 0 i seiem Deiitiosbereich kokav. Die Yougsche Ugleichug mit ε (0.2) ab ε 2 a2 + 2ε b2 a,b 0, ε > 0, läßt sich mit der biomische Formel beweise. Die verallgemeierte Yougsche Ugleichug (0.3) ab p εp a p + q ε q b q a,b 0, ε > 0, mit p + q =, < p,q <, beweist ma ür a,b > 0, idem ma ausutzt, daß der Logarithmus mooto ud kokav ist. (0.3) erhält ma aus l ( p εp a p + q ε q b q) p l(εp a p )+ q l(ε q b q ) = l(ab). Für die Ugleichug des geometrische ud des arithmetische Mittels (0.4) ( a i ) / a i, a i > 0, 86

5 gibt es eie Vielzahl vo Beweise. Am elegateste utzt ma die Mootoie des atürliche Logarithmus l aus, (0.4) ist äquivalet zu la i l ( ) a i. Diese Ugleichug ist richtig, weil der Logarithmus kokav ist. Augabe 0. Sei C 2k (I),I = (a δ,a+δ),ürk Æ,δ > 0.ZeigeSie:Ist (a) = (a) =... = (2k ) (a) = 0, ud (2k) (a) > 0 ( (2k) (a) < 0), so besitzt i a ei striktes lokales Miimum (Maximum). 0.2 Für die olgede Fuktioe : I Ê bestimme ma: Die eigetliche oder ueigetliche Grezwerte vo a de beide Itervallgreze vo I; die Teilitervalle, i dee mooto ist; die lokale Miima ud Maxima vo. Skizziere Sie! a) = x 0 b) = x x, I = (0, ). tsi t dt, I = (0,π ) ( x π braucht icht bestimmt zu werde), 0.3 Ma bestimme die olgede Grezwerte a) x l(+e x ), b) +x 2 x xe x2 x 0 e t2 dt, c) x π 4 (tax)ta2x, d) x x(l(+ x 2 +) lx). 87