Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

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1 Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge

2 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig, jede Zahl hat ihre este Positio. Die Folge 2,1,4,3, ist eie adere als 1,2,3,4, Eie Folge ist daher eie Abbildug IN IR: Jeder Positio i wird eie reelle Zahl r i zugeteilt. Die Abbildug () = 2 erzeugt so die Folge der gerade Zahle: 2,4,6,8,. 2

3 Schreibweise : () als Schreibweise ür Folge : als Idexschreibweise (1) (2) (3) (4) (5) (6) () Meist eiacher: ( ) ϵin oder eiach ( ) Die Klammer ist ötig zur Uterscheidug der Folge zu eiem eizele Elemet. 3

4 4 Reihe Ot ist ma a de Diereze der Folgeglieder iteressiert s := -1. s deiiert da selbst eie Folge ud es gilt 0) (... ) ( ) ( s k k Die sid da die Partialsumme der Reihe k s k 1 Beispiel eier Reihe: k k q 1 ( 0 :=0)

5 Rekursiv deiierte Folge Speziell i der Iormatik trete (bei Kosteaalyse) ot rekursiv deiierte Folge au, bei dee jede Zahl ach eier este Vorschrit aus dem Vorgäger -1 (oder weitere Vorgäger) berechet wird. Wichtig: Festlege der Aags(Start)-Werte, damit die Folge überhaupt eideutig deiiert ist. Beispiele: g 1 = 1, g =2 g -1 ür =2,3,4, (Verdoppel) 0 =1, 1 =1, = ür =2,3,.. (Fiboacci-F.) h 1 =1, h = h -1 ür =2,3, (Fakultät) g: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,, also g +1 = 2 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, h: 1, 2, 6, 24,, also h =! 5

6 Wachstum Typisch Awedug vo Folge: Bestimmug der Lauzeit eies Programms ür verschiedee Eigabe. Beispiel: Azahl der Vergleiche v zwische je zwei Elemete, die i eiem Sortierprogramm erolge, um Elemete zu sortiere (Isert-Sort). Bei Lauzeitvergleiche ist isbesodere iteressat, wie sich die Lauzeite ür immer größere verhalte. Wachse? Falle? Wie stark? Eie Folge heißt mooto wachsed, we jedes Elemet größer als sei Vorgäger ist: -1 ür 2. Streg mooto wachsed, alls > -1. Etspreched (streg) mooto alled ür ud <. 6

7 Schrake Midest- oder Maximallauzeite sid wichtig, daher sid wir a obere/utere Schrake ür usere Folgeelemete iteressiert: Gibt es eie Zahl C ϵ IR mit C ür alle, so et ma C eie obere Schrake. Alle Zahle größer als C sid da atürlich auch obere Schrake. Am iteressateste ist atürlich die kleiste obere Schrake = Supremum: sup Etspreched heißt ei c ϵ IR mit c ür alle utere Schrake, isbesodere die größte utere Schrake = Iimum: i Hat eie Folge sowohl eie obere, als auch eie utere Schrake, so et ma sie beschräkt: < i k=1,2,.. k sup k=1,2,.. k < ür =1,2, 7

8 Kovergez I Iteressat ist vor allem, was mit passiert. ür große im Grezwert Gutmütiger Fall: die Folgeglieder kovergiere gege eie Grezwert y, d.h. dass ür hireiched großes alle Folgeglieder beliebig ahe bei y liege: 0: 0 ( ) IN : 0 ( ) Zur Erklärug: deiiere ε-umgebug vo y U ( y) : x IR : x y y Für alle ε>0 gibt es ei 0, so dass gilt: aus 0 olgt -y <ε Beliebig ahe bei y heißt u, dass ür jedes och so kleie ε>0 die Folgeglieder ab eiem 0 (ε) alle i U ε (y) liege. 8

9 Kovergez II Es düre also isbesodere ur edlich viele Folgeglieder außerhalb vo U ε liege! Für kleieres ε muss ma da meist ei größeres 0 (ε) ehme. Kovergez heißt also: y IR : 0: ( ) IN : 0 ( ) : U ( 0 y Es gibt ei y, so dass es ür alle ε>0 ei 0 gibt mit der Eigeschat: ür alle 0 gilt ϵ U ε (y) ) Da heißt y der Grezwert der Folge: y lim 9

10 Kovergez III Beispiele: lim 1 0 (Wähle ( ) : 1/ 1.) 0 lim 1 1 (Umorme zu 1 + 1/ 1) lim 1 1 ( (-1) / = 1/ 0 ) 10

11 Kovergezkriterium Es gibt verschiedee Sätze, die sich mit Kovergezkriterie beschätige, z.b.: Eie beschräkte, mootoe (wachsed oder alled) Folge reeller Zahle ist koverget. Der Grezwert ist da geau das Supremum, bzw. Iimum! 11

12 Beispiele 3+1-Folge: Start mit irgedeiem k>0. Ist k gerade: k k/2 Ist k>1 ugerade: k 3k+1 Ist k=1: STOP Beobachtug: Folge edet stets irgedwa mit STOP MATLAB-Programm Fiboacci-Folge beschreibt atürliche Wachstumsprozesse: = : Größe der -te Geeratio ergibt sich aus de beide Vorgägergeeratioe! Geometrische Reihe: j 1 q q 1 q 1 j q oder 1: q j1 j1 1 q 1 12

13 Häuugspukt Die Folge ( ) mit : ( 1) 1 kovergiert icht gege eie Grezwert, aber die Werte 1 ud -1 habe ähliche Eigeschate wie ei Grezwert: I jeder Umgebug sid uedlich viele Folgeglieder ethalte, aber ebe ür beide Werte! Eie Wert mit dieser Eigeschat (i jeder Umgebug sid uedlich viele Folgeglieder ethalte) et ma eie Häuugspukt der Folge. Ma beachte de Uterschied zwische ur edlich viele Folgeglieder liege außerhalb der Umgebug (Grezwert) ud uedlich viele sid i der Umgebug (Häuugspukt)! 13

14 Existez Eie beschräkte, uedliche Folge reeller Zahle besitzt immer midestes eie Häuugspukt! Beweis durch Itervallschachtelug: Ohe Beschräkug der Allgemeiheit liege die Folge i [0,1]. Daher ethält das Itervall [0,1] uedlich viele Folgeelemete. Da muss eies der beide Teilitervalle [0,0.5] oder [0.5,1] auch uedlich viele Glieder ethalte! Dieses Itervall köe wir da wieder halbiere mit demselbe Ergebis. Daher erzeuge wir au diese Art ud Weise eie geschachtelte Folge immer kleierer Itervalle, dere Obergreze eie mooto allede, beschräkte, also kovergete Folge bilde. Grezwert dieser Folge ist ei Häuugspukt! 14

15 Größter Häuugspukt I Vo besoderem Iteresse ist wieder der größte Häuugspukt oder Limes superior der Folge. Dazu betrachte wir zuächst ür eie beschräkte Folge ( ) die Folge (g ) mit g sup. : m m Wege der Beschräktheit vo ( ) ist auch (g ) beschräkt. Weiter ist (g ) mooto alled(!), also koverget mit Grezwert lim sup : lim g lim sup Dieser Grezwert ist der größte Wert, ür de i jeder Umgebug uedlich viele liege, also der größte Häuugspukt. m m 15

16 Größter Häuugspukt II Zum Beweis sid zwei Eigeschate zu zeige: I jeder Umgebug liege uedlich viele Glieder Kei größerer Wert hat diese Eigeschat. Dazu überlege wir us, dass ür C := limsup x ür eie beschräkte Folge (x ) gilt, dass ür jedes ε>0 ur edlich viele x größer als C+ε sid. Wäre uedlich viele Glieder größer als C+ε, so köte ma daraus eie uedliche Folge deiiere mit Häuugspukt! 16

17 Divergez Was passiert, we keie Kovergez vorliegt? Divergez: y Für alle y ex. ei ε>0, so dass ür alle 0 gilt: es ex. 0 mit ϵ U ε (y) IR : 0: 0 ( ) IN : 0 ( ) : U ( y) als Negatio der Kovergez: yir : 0: ( ) IN : 0 ( ) : U ( 0 y) Es ex. ei y, so dass ür alle ε>0 gilt: es ex. ei 0, so dass ür alle 0 gilt: ϵu ε (y) Es gibt zwei verschiedee Forme der Divergez: (1) Divergez als Kovergez gege Uedlich (+ oder -) lim : C IR : 0 ( C) IN : 0 ( C) : lim : C IR : 0 ( C) IN : 0 ( C) : (2) Divergez durch mehr als eie Häuugspukt: :=(-1) (1 ud -1) oder g := (-1) (+ ud - ) C C 17

18 O-Notatio Wir schreibe eie Folge ( ) jetzt kurz ud eiach z.b. als 2 a Stelle vo 2. I eier Klasse vo Folge O( 2 ) wolle wir Folge zusammeasse, mit eiem bestimmte Divergezverhalte, z.b.:, weil 2, 16 2, weil us ei kostater Faktor egal ist, aber , weil das kleier ist als 3 2. Aber icht 2, weil ma ür jedes kostates C ϵ IR ei ide ka mit 2 > C 2. 18

19 Deiitio Mathematisch schreibt ma das so: O : ( g) : C 0, 0 IN : 0 C g Es ex. C>0 ud 0, so dass ür alle > 0 gilt: Cg Neu ist das 0 : Die Ugleichug muss icht ür alle Glieder gelte, soder erst ab eiem bestimmte Idex (also ür sehr große ); edlich viele Ausahme sid erlaubt. Uter der Voraussetzug : g 0 O( g) : C 0, 0 IN : 0 : ka ma dies umschreibe g C I dieser Form ist das 0 überlüssig: die Folge /g eiach ur beschräkt sei. muss 19