2 Folgen. Reihen. Konvergenz

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1 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 28 2 Folge. Reihe. Kovergez 2. Grudlage 2.. Folge: Defiitio ud erste Beispiele Defiito: Eie (reelle Zahle-)Folge ist eie Zuordug, bei der jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl etwa a geat zugeordet ist. Schreibweise: a, a 2,..., a,... oder a, =, 2,... oder (a ) N Variate: Ma begit das Zähle bei Null statt bei Eis, d.h. die Folge begit mit a 0 statt mit a. Also: Es wird jedem N 0 eie reelle Zahl zugeordet, geschriebe a 0, a,..., a,..., bzw. a, = 0,, 2, bzw. (a ) N0 N-Folge: Sei N N. Eie edliche Folge, geauer eie N-Folge, ist eie Zuordug, wo jedem =, 2,..., N ei a R zugeordet ist. Scho vorgekommee Beispiele (mit leicht geäderte Bezeichuge): () Vgl. die Defiitio i.2.5: Gegebe a, d R. Da sei: a := a + d, = 0,, 2,... Die Folge a 0, a, a 2,... heißt eie arithmetische Folge mit Differez d. (2) Die geometrische Folge (vgl..2.6): Gegebe K, q, q 0. (I.2.6 war K = D ei Geldbetrag, q = a = + p 00 ). Defiiere: a := K q, = 0,, 2,... Bezeichug: Die Folge a := Kq, = 0,, 2,... heißt eie geometrische Folge mit Quotiet q. Iterpretatio: K := ei Grudkapital, q = + p 00. Da: K q = Kapital ach -fachem jährliche Zisesziszuschlag (p% Zise). I.2.6 hatte wir zur Folge a := a, = 0,, 2,... auch Summe der Form Allgemei: Defiitio 2 A := + a a = a+ a (a ),,2,... sei eie Folge betrachtet.

2 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 29 Betrachte s := a 0 + a a, = 0,, 2,... Da: s, = 0,, 2,... ist eie (eue) Folge. s heißt die -te Partialsumme der Folge (a ) N0, (s ) N0 heißt Folge der Partialsumme. Übliche Bezeichug: Für die Folge der Partialsumme hat ma eie extra Name: Sie heißt die (uedliche) Reihe mit de Glieder a 0, a,... Schreibweise dafür: a 0 + a a +... = Achtug: Diese -e Summe sid vorläufig ur formale Schreibweise für die Folge der s, = 0,, 2,..., ud icht etwa Zahle. Amerkug: Ma hat auch die Reihe der a bei Folge, die mit a begie: Ma schreibt da a + a 2 + a 3... = = 2..2 Weitere Beispiele. Das Problem der Kovergez (3) Harmoische Folge ud Reihe: Folge: a :=, =, 2,... Partialsumme: s = , =, 2,... Reiheschreibweise: = (4) Alterierede harmoische Reihe: Folge: a := ( ), =, 2,... Reihe: ( ) = ( ) +... = (5) Empirische (edliche) Folge: Etwa die Folge der Dax-Idizes a eier vorgegebee Folge vo Zeitpukte. Solch eie Folge heißt auch eie Zeitreihe. Folge vo Aktiekurse geüge auf de erste Blick keie mathematische Gesetzmäßigkeite ud werde ur statistisch utersucht. Empirische Folge sid etwa auch die Meßreihe der Naturwisseschaftler. (6) Die Folge a := ( + ) =, 2,... Also: a = 2, a 2 = ( 3 2 )2 = 2, 25, a 3 = ( 4 3 )3 = 2, 37037,... (Die zugehörige Reihe spielt keie Rolle i der Mathematik.) a a

3 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 30 Iterpretatio des Folgeglieds ( + ) i (6) : Bei eiem Zissatz vo 00% (der Eifachheit halber) hat ma: Kapital + Ziseszis ach eiem Jahr bei Zisausschüttug K ( + ) = 2K jährlich 2 K ( + 2 ) ( + ) = 2, 25K halbjährlich 2 4 K ( + 4 )4 2, 44K vierteljährlich 2 K ( + 2 )2 2, 63K moatlich.. Also für immer größer: Immer kürzere Friste bei der Zisausschüttug. Frage: Wie groß ka das Kapital letztlich werde? Problem geerell: Was wird aus a, we immer größer ud schließlich über alle Schrake groß wird? Ud: Ka ma die erst eimal ur formal defiierte uedliche Summe a i der Schreibweise für Reihe uter Umstäde als reelle Zahl auffasse? Bevor wir diese Frage mit Hilfe des Begriffs der Kovergez beatworte werde, wolle wir och eie weitere Beispieltyp betrachte Rekursive Defiitio vo Folge Es ist möglich, Folge rekursiv zu defiiere. Das geht so: Rekursive Defiitio vo Folge: Beispiel: Im eifachste Fall: Ma gibt a 0 vor (oder a, we die Zählug mit begit). Aschließed gibt ma eie eideutige Vorschrift a, wie a + aus a zu bereche ist für =, 2,... Da: Die Folge (a ) N0 gilt als defiiert. Etwas allgemeier: Ma gibt a 0, a,..., a 0 a für ei 0 0. Daach beschreibt ma durch eie eideutige Vorschrift, wie für > 0 das a + aus de a 0, a,..., a zu bereche ist. Auch da: Die Folge (a ) N0 gilt damit als wohldefiiert. (7) a 0 = ud a + := 2 (a + 2 a ) für. Es ist

4 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 3 a 0 =, a =.5, a 2 = , a 3 = ,... Amerkug: Arithmetische ud geometrische Folge ka ma auch auf prägate Weise rekursiv defiiere.(vergl. Vorlesug) Wir komme u zur Frage: Was habe die Vermehrug der Kaiche, Kust ud Architektur, ud Aktiekurse gemeisam? Dazu gebe wir als Beispiel eie der berühmteste Folge der Mathematikgeschichte: (8) Die Fiboacci-Folge: Es sei f 0 :=, f := ud rekursiv defiiert: f +2 := f + f +, = 2, 3,... Die erste Folgeglieder sid,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,... Aweduge der Fiboacci-Folge: Die Fiboacci-Folge diet als ei Modell für die Vermehrug der Kaiche, we ma vo folgede Aahme ausgeht:. Zu Begi des erste Moats existiert ei Paar Kaiche. 2. Ei Kaiche ist erwachse, we es midestes 2 Moate alt ist 3. Ei Paar erwachseer Kaiche erzeugt jede Moat ei Paar juger Kaiche. 4. Kaiche werde beliebig alt. Da ist f die Azahl der Kaichepaare am Ede des te Moats. (Vergl. Volesug) Ma ka zeige: Für kommt f + f der Zahl α = ) 2( + 5 = beliebig ahe. (Z.B. ist f f 0 = =.6 8.) Es ist α = α ud α ist die Verhältiszahl beim sogeate Goldee Schitt. Objekte, bei dee das Verhältis : α oder α : eie Rolle spielt, gelte i der klassische Kust ud Architektur als schö ud ausgewoge. Das hat ma auch i usere modere Zeite überomme: Das Verhältis der Seiteläge userer Kreditkarte ist α! I eier bestimmte Theorie der Börsekurse gibt es die sogeate Elliot-Welle. Ma geht vo eiem welleförmige Auf ud Ab der Kurse aus ud bei de Verhältisse der Welleläge taucht die Goldee-Schitt-Zahl α bzw. α auf. Schließlich spiele die Paare f, f +2 der Fiboaccizahle auch bei der Blattaordug vo Pflaze eie Rolle. Fazit: Die Fiboacci-Zahle sid ei Teil der Struktur userer Welt.

5 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ Kovergez Wir utersuche, was bei usere Beispiele passiert, we der Folgeidex beliebig groß wird. Bei () Für d > 0 etwa wird d ach dem Archimedische Axiom größer als jede vorgegebees C > 0 ud somit wächst auch a = a + d über jede Schrake hiaus. Bei (2) Für q = : a ist kostat gleich. Für q > : Wieder ka ma zeige, daß q über alle Schrake wächst. Aber we 0 < q < : q wird beliebig klei ud kommt der 0 beliebig ahe. Da auch: q wird beliebig klei ud q + a + a a = q q = q q q kommt dem Wert beliebig ahe. (Geauer i Defiitio ) q Bei (3), (4) ud (6): Was wird aus de Teilsumme s = Glieder ( + ), =, 2,... für? k= k, σ = ( ) k k k= ud de Der Sachverhalt, der i de Überleguge zuvor mit eiem Wert beliebig ahe komme formuliert wurde, wird u geau gefaßt Defiito der Kovergez Defiitio : (Kovergez) Es sei (a ) =,2,... eie Folge. a R. Ma defiiert: (a ) N ist koverget mit a als Grezwert oder Limes bzw. (a ) N kovergiert gege a für : Schreibweise für diese Sachverhalt: : Zu jedem (we auch och so kleie) ε > 0! gibt es ei N N (uter Umstäde sehr groß), so daß für alle N gilt: a a < ε (d.h. der Abstad zwische a ud a ist kleier als das ε). lim a oder a a. Ist lim a = 0, so heißt (a ) N eie Nullfolge.

6 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 33 Eie Reihe a heißt koverget mit Summe a, we die Folge ihrer Teilsumme s = a 0 = a a, = 0,, 2,..., gege a kovergiert. We dies der Fall ist, schreibt ma a = a. I diesem Fall steht die formale uedliche Summe also für eie eideutig bestimmte reelle Zahl! Bemerkuge: Der Grezwert eier Folge ist, we er existiert, eideutig bestimmt. Die Tatsache der Kovergez ud der Grezwert äder sich bei eier Folge icht, we ma für edlich viele Idizes die Folgeglieder abädert. Bei eier kovergete Folge ist die Mege aller Folgeglieder (als Teilmege vo R) beschräkt (vergl..3.4 ). Variate der Defiitio: Bezeichug: Sei a R, ε > 0. Das Itervall ]a ε, a + ε[ heißt die ε-umgebug vo a. Schreibweise: U ε (a) :=]a ε, a + ε[. (Es ist das Itervall mit Mittelpukt a ud der Läge 2ε). Variate der Kovergezdefiitio: lim a = a :! Zu jedem ε > 0 gibt es ei N N, so daß gilt: Alle Folgeglieder a mit N liege i der ε-umgebug vo a. { Für jedes ε > 0 gilt: Bis auf edlich viele Ausahme liege alle a i U ε (a). Iterpretatio: Ma ka a bis auf eie beliebig kleie Fehler ε durch a approximiere, we ma ur geüged groß wählt. Das führt zur verbreiteste praktische Awedug der Kovergez vo Folge: Wo reelle Zahle berechet werde, z.b. i de Tascherecher, werde sie meist als Grezwert passeder Folge berechet. Die Berechug der Folgeglieder geht so weit, bis eie gewüschte Geauigkeit (beispielsweise ε = 0 0 ) erreicht ist Erste Bestimmug vo Grezwerte: Tatsache: () lim = 0.

7 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 34 (2) Für q R mit q < ist lim q = 0. (3) Für q mit q < ist (4) Es ist Außerdem: = ( + ) =. q = q.! (5) Für die rekursiv defiierte Folge mit a = ud a + = 2 (a + 2 gilt lim a = 2. (6) lim a := ( + ) = e = ! Die Zahl e heißt Eulersche (Wachstums-)Zahl. Zum Beweis: Beweisskizze vo () - (4) mit elemetare Überleguge i der Vorlesug. Zum Beweis vo (5) braucht ma feiere Methode. Bei (6) beweist ma die Kovergez (mit dem Mootoieriterium, s.ute) ud defiiert die Zahl e als de Grezwert. Sie ka da durch eie edliche Dezimalbruch bis auf eie tolerierte kleie Fehler beschiebe werde. (Bei userer Agabe ist der Fehler < ε = 0 2.) a ) Aweduge ud Deutuge: Zum Ergebis aus (6) (vgl. Iterpretatio des Beispiels (6) i 2..2 ): Bei kotiuierlicher Verzisug ud 00% Zise erhöht sich K i eiem Jahr auf K e = 2, K. Zum Ergebis aus (3): Auswirkug vo Ivestitioe auf das Volkseikomme (siehe Vorlesug). Amerkug: Die Schwierigkeit bei der Utersuchug, wie sich eie Folge bei wachsedem verhält, beruht häufig auf dem Widerstreit gegesätzlicher Tedeze, demostriert am Beispiel a = (+ ) = ( + ) versus a + = ( +2 + )+ : Die eizele Faktore + bei a sid (größer ud) größer als die Faktore +2 + bei a +. Aber: Bei a + hat ma eie Faktor mehr. Was gibt de Ausschlag bei der Frage, ob a < a + oder a > a +? Ist es der zusätzliche ( + )-te Faktor +2, bei a +, der de Wert vergrößert, oder die Tatsache, daß die Faktore i a alle größer sid als die erste -Faktore i a +. (Dazu ud zum Vergleich mit der Folge der b := ( + )+ vergleiche die Vorlesug.)

8 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ Kovergez gege ± (Ueigetliche Kovergez) Bei mache Folge, wie etwa a =, wachse die Folgeglieder über alle Schrake hiaus. Das ist ei defiiertes überschaubares Verhalte ud wird mit eier Defiitio hooriert. Defiitio (Kovergez gege ± ): Sei (a ) N0 eie Folge. Ma defiiert lim a = (bzw. ) Zu jedem C > 0 gibt es ei N N, so daß für alle N gilt: a > C (bzw. a < C) Ma sagt: (a ) N ist ueigetlich koverget. Ist (s ),,... die Reihe mit der de Glieder a, d.h. die Folge der s = a 0 + a a so schreibt ma bei ueigetlicher Kovergez vo (s ),,... : a = bzw. a = ud sagt: Die Reihe der a kovergiert gege ±. Promietes icht triviales Beispiel: = Iformatio als Kotrast: ( ) = =! (Beweis i der Vorlesug) = l 2 0, Iteressates Spielfeld für Mathematiker: Gegebe eie Uterreihe vo. Kovergiert sie gege ei reelles α oder = gege +? Reche mit kovergete Folge ud Reihe Satz : (a ),,2,... ud (b ),,2,... seie kovergete oder ueigetlich kovergete Folge ud es sei α R. Da gilt: () lim (αa ) = α lim a (2) lim (a + b ) = lim a + lim b (3) lim (a b ) = ( lim a ) ( lim b )

9 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 36 (4) ud, falls alle b 0, lim b 0 : a lim a lim = b lim b Dabei werde für reelle Grezwerte a ud die ueigetliche Grezwerte ± folgede formale Recheregel mit (Kommutativgesetze) beutzt: a + = a = = ( ) = ( ) ( ) = ud für a{ 0 : a < 0 a = a > 0 ud a ( ) = { a < 0 a > 0 Beachte: Es sid keie Aussage gemacht für 0 (± ), ud ± ± Diese Ausdrücke heiße ubestimmte Ausdrücke ud sie mache ohe weitere Agabe keie Si. Weiteres dazu siehe Für kovergete Reihe gilt teilweise das Etsprechede: α = α (a + b ) = Aber Vorsicht! Es ist (im allgemeie) Produktregel gilt icht! a a + b (a b )! ( a ) ( b ), d.h. die aaloge Beweise: () (4): durch geschicktes Abschätze Für die Reihe: Sid s := a a ud t := b b die Teilsumme, so gilt αa αa = α s Aber im allgemeie (a 0 + b 0 ) (a + b ) = s + t s t = ( a k )( b k )! a b a b k=0 k=0 Beispiel für das Reche mit kovergete Folge: () Wir betrachte das Beispiel aus (5) der Tatsache i : Ma zeigt, daß a > 0 für alle ud hat da ( ) a + = ( a + 2 ) 2a a + = a a Ma zeigt u, daß die Folge der a kovergiert (sie ist mooto falled ud ach ute beschräkt, s. ). Der Grezwert sei a. Ma macht sich klar, daß die Folge (b := a + ) =,2,...

10 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 37 da ebefalls gege a kovergiert. Iterierte Awedug der Aussage im Satz liefert da aus der rechte Aussage vo ( ) : 2a 2 = a a 2 = 2, d.h. es ist a = Abschätze bei kovergete Folge Tatsache (a ) =,2,... ud (b ) =,2,... seie kovergete Folge mit de Grezwerte a bzw. b. Da: Ist a b für alle, so ist a b. Achtug (!) : Es ist möglich, daß a < b für alle, aber a = b. Beispiel für letzteres: (a ) =,2,... sei die kostate Folge a = 0 für alle mit Grezwert 0, ud es sei b =, =, 2,.... Da ist a < b für alle N, ud lim a = 0 = lim b Eisetze vo Folge i Polyome: Defiitio (Polyome): Sei m N 0 ud seie α 0, α,.., α m R mit α m 0. Die Zuordug die aus x R die Zahl α m x m + α m x m α x + α 0 =: p(x) produziert, heißt ei Polyom, geauer: das Polyom mit de Koeffiziete α 0, α,..., α m. Ma spricht vo eiem Polyom m-te Grades. Nu sei (a ) =,2,... eie gege a R kovergete Folge. Durch das Polyom wird eie eue Folge c = p(a ) = α m a m + α m a m α a + α 0 defiiert. (Ma sagt, c etsteht durch Eisetze vo a i das Polyom.) Aus de Regel (),(2) ud (3) des Satzes i folgt da (etwa durch Iduktio über de Grad m des Polyoms), daß die Folge c = p(a ) =,2,... ebefalls kovergiert, ud zwar gege p(a) = α m a m + α m a m α a + α 0. Als Fazit: Tatsache: Ist lim a = a, so ist lim p(a ) = p(a) Ubestimmte Ausdrücke Wir betrachte die Grudfolge a =, =, 2,... ud setze sie ei i das Polyom α m x m + α m x m α x + α 0 =: p(x)

11 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 38 mit α m 0. D.h. wir betrachte die p() := α m m + α m m α + α 0, =, 2,.... Tatsache Es ist lim (p()) = { αm > 0 α m < 0 Beweis: Ma hat ach de Recheregel p() = m ( α m + α m + α m α m + α 0 m ), lim (p()) α m ud somit: lim (p()) = α m = { αm > 0 α m < 0 Wir habe dabei das i beschriebee formale Reche mit de Zeiche ± beutzt. Zum dort agegebee ubestimme Ausdruck seie folgede Beispiele betrachtet. Sei: β k x k + β k x k β x + β 0 =: q(x), β k 0, ei weiteres Polyom. Wir ehme a, daß q() 0 für alle ud utersuche r(x) := p(x) q(x) ud die Folge der p() r() :=, =, 2,.... Es ist q() r() = m ( α m + α m + α m α 2 + α m 0 ) m k ( β k + β k + β k β 2 + β k 0 ) k Nach de Recheregel folgt wie im Beweis der Tatsache : Tatsache 2 Es ist lim r() = lim r() = lim m k αm, ud daraus schließlich β k Registriere: Für m, k ist lim p() = ± = lim m > ud α m β k > 0 m > ud α m < 0 β α k m m = β k 0 m < k q(). Nach de Recheregel wäre also lim r() so etwas wie ±, Daß dieser Ausdruck keie wohldefiierte Si hat, sieht ma a der Tat- ±

12 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 39 sache 2 : Der Ausdruck immt vo Fall zu Fall gaz verschiedee Werte a. Zusatz: () Ma ka auch die egative Grudfolge ( ) =,2,... betrachte. Sie hat de ueigetliche Limes. Setzt ma sie i usere Polyome p(x) ud q(x) ei, so erhält ma als Grezwerte die Werte für die (positive) Grudfolge multipliziert mit ( ) m im Falle vo p(x), ud multipliziert mit ( ) m k im Falle vo r(x). (2) Statt der Grudfolge ka ma auch jede adere Folge (a ) =,2,... betrachte, die ueigetlich kovergiert: Ma ka die Folge der p(a ), =, 2,... ud die Folge der r(a ), =, 2,... utersuche. Ist lim a =, so sid die Grezwerte dieselbe wie bei () =,2,... ud ist lim =, so sid die Grezwerte dieselbe wie bei ( ) =,2, Kovergezkriterie a Es seie (a ),,..., (b ) =o,,... ud (c ),,... Folge. Kovergezkriterie für Folge: () (Mootoiekriterium) Ist (a ),,... mooto wachsed (d.h.ist a + > a für alle = 0,,... ) ud ach obe beschräkt (d.h. es gibt C R mit a C für alle =,2,... ), so ist (a ),,... koverget. Ebeso: Ist die Folge (a ),,... mooto falled ud ach ute beschräkt, so ist sie koverget. (2) (Eischließugskriterium) Es gelte a c b. Außerdem seie (a ),,... ud (b ) =o,,... koverget mit demselbe Grezwert a. Da kovergiert auch (c ),,... gege a. (3) (Cauchykriterium) Es gilt: (a ),,... ist koverget Amerkug: Zu jedem ε > 0 gibt es ei N > 0, so daß für alle, m N gilt: a a m < ε Mittels () beweist ma die Kovergez der Zisfolge ( + ). (2) (wie () ) erlaube, Kovergez festzustelle, ohe daß ma de Grezwert scho im voraus ket. Kovergezkriterie für Reihe: () Ei otwedige Kriterium für Kovergez: Ist a koverget, so ist lim a = 0.

13 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 40 (2) (Cauchykriterium für Reihe) Die Reihe a ist koverget Zu jedem ε > 0 gibt es ei N > 0, so daß für alle, m N gilt: m a k < ε k= (3) (Majoratekriterium) Es seie a 0 für alle ud a sei koverget. Ist da 0 b a für alle (oder auch ur für alle ab eiem feste N), so ist auch b koverget. Ma et da die Reihe a eie Majorate für b. (4) Quotietekriterium Es sei a 0 für alle = 0,,.... a + Gilt lim = q <! so ist die Reihe a koverget. a Beispiele: Zu (3) : Ma möchte die Kovergez der Reihe 2 = = utersuche. Eie Majorate ist die Reihe mit de Glieder a =, a =, = 2, 3,... ( ) Diese Reihe ist koverget mit Summe 2 (Beweis wie bei (4) der Tatsache i 2.2.2). Nach dem Majoratekriterium: = 2 ist koverget. = (Iformatio: Es ist 2 = π2. Der Beweis davo ist schwierig.) 6 Zu (4) : Es ist a + = a die Reihe = Betrachte die Reihe Als Iformatio:! ( + )!! koverget. Es ist = +!! = = =: q <. Nach dem Quotietekriterium ist also ( ) ) = e ( = lim +.

14 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ Folge ud Wachstum Mooto wachsede Folge wurde scho betrachtet (z.b. im Mootoiekriterium i 2.2.8). Noch eimal die Defiitio: Bezeichug : Sei (a ) := (a ) =,2,... eie Folge. Da heißt (a ) mooto wachsed : a + a für alle =, 2,... streg mooto wachsed : a + > a für alle =, 2,... mooto falled : a + a für alle =, 2,... streg mooto falled : a + < a für alle =, 2,... Die Frage ach der Kovergez vo solche mootoe Folge habe wir beatwortet: Sid sie beschräkt, so sid sie koverget (Mootoiekriterium) [ex] Eie weitere iteressate Frage ist: Gegebe zwei mooto wachsede Folge, die gege kovergiere. Welche vo beide wächst am schellste? Bezeichug 2 : Es sei a = Kq mit K > 0 ud q >, ud es sei b = L k mit L > 0 ud k N. Die Folge (a ) N ud (b ) N sid beide koverget gege. Bei der Folge a spricht ma vo expoetiellem Wachstum (das steht im Expoete), bei der Folge b vo polyomialem Wachstum. Tatsache (expoetielles Wachstum schlägt polyomiales Wachstum): Seie K, L > 0, q >, k N. Da ist Kq lim L k = Beweis: Später, bei mehr Theorie (Regel vo Beroulli-L Hôpital). Vergl. das Beispiel für q =, ud k = 5 i der Vorlesug. Bei diese Date überholt die Folge q die Folge k zwische = 299 ud = Aufgabe Aufgabe. Betrachte Sie die Folge x 0 =, x = 2 (x + a x ). Bereche Sie jeweils die erste 4 Folgeglieder für a) a = 2 b) a = 4 Habe Sie eie Vermutug, ob diese Folge kovergiere? We ja, wogege? Aufgabe 2. Die Budesregierug stiftet eie Förderpreis für mathematisch iteressierte Studetie ud Studete. Dazu wird das Stiftugskapital vo EUR zu 5% jährlich verzist.

15 2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 42 Wieviel ka pro Jahr ausgezahlt werde, we gleich mit der Auszahlug begoe wird? Wie hoch hätte die Verzisug sei müsse, damit die Auszahlug doppelt so hoch gewese wäre? Aufgabe 3. Utersuche Sie, welche der achstehede Folge koverget, welche diverget sid. Wie lautet im Fall der Kovergez der Grezwert? a) a = b) b = c) c = d) d = si() e) e = ( ) f) f = Aufgabe 4. Bestimme Sie de Wert folgeder Reihe für festes N. Wie verhalte sich die Reihe, falls N geht? a) N k=0 3 k+2 4 k b) N 2 k + 3 k k=0 4 k c) N 2 k 3 k 4 k k=0 Aufgabe 5. Ei Wirtschaftszweig wird zur Zeit jährlich mit Mio EUR gefördert. Die Regierug beschließt, die Förderug auslaufe zu lasse, ud zwar soll der Förderbetrag jedes Jahr um 0% gekürzt werde. Wieviel Geld wird isgesamt och i diese Wirtschaftszweig ivestiert werde?