7. Reihen. 7.A Grenzwerte von Reihen. 7. Reihen 71

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1 7. Reihe 7 7. Reihe Wir wolle us u mit eiem spezielle Typ vo Folge beschäftige, der i der Praxis sehr häufig vorkommt: ämlich Folge, die i der Form (a 0, a 0 + a, a 0 + a + a 2,... für gewisse a K gegebe sid, dere Grezwert wir also aschaulich als die uedliche Summe a 0 + a + a 2 + auffasse köe. Derartige Folge bezeichet ma als Reihe. 7.A Grezwerte vo Reihe Da Reihe letztlich ichts aderes als spezielle Folge sid, köe wir die Defiitio ud die erste Eigeschafte vo Folge ud Grezwerte atürlich umittelbar auf usere eue Situatio übertrage. Dies wolle wir u im erste Abschitt dieses Kapitels tu. Defiitio 7. (Reihe. Es sei (a eie Folge i K. Da heißt die Folge (s mit s a a 0 + a + + a die Folge der Partialsumme vo (a bzw. die zu (a gehörige Reihe. Wir bezeiche sowohl diese Reihe als auch ihre Grezwert lim s (sofer er existiert mit a bzw. a 0 + a + a 2 +. Bemerkug 7.2. (a Da jede Reihe ach Defiitio eie Folge ist, übertrage sich die Begriffe Kovergez ud Divergez, Beschräktheit usw. aus Kapitel 6 direkt auf Reihe. (b Die Doppelbelegug des Symbols a sowohl für die Reihe (also die Folge ihrer Partialsumme als auch für ihre Grezwert ist zwar mathematisch uschö, aber i der Literatur so fest verakert, dass wir hier icht davo abweiche wolle. Es sollte dadurch keie Verwirrug etstehe: We wir vo Eigeschafte eier Folge rede, also z. B. sage, dass a kovergiert oder divergiert, so meie wir atürlich die Partialsummefolge währed z. B. i Gleichuge der Form a a der Grezwert der Reihe gemeit ist. We Verwechsluge zu befürchte sid, köe wir aber atürlich auch immer die eideutige Schreibweise ( a für die Reihe ud lim a für ihre Grezwert beutze. Beispiel 7.3. (a (Uedliche geometrische Reihe Wir betrachte die Reihe q für ei q K. Für q ist diese Reihe atürlich ubeschräkt ud damit diverget. Asoste habe wir i Satz 3.2 gesehe, dass q q+ q. Der Grezwert für ergibt sich u sofort aus Beispiel 6.34: Da lim q + ur für q < existiert ud da gleich 0 ist, erhalte wir also q lim q q währed die Reihe i alle adere Fälle divergiert. für q <, (

2 72 Adreas Gathma Ei iteressater kokreter Fall dieser Reihe ist die Frage, ob die Dezimalzahl 0, gleich oder etwas kleier als ist. Dies köe wir u beatworte, de die eizig mögliche mathematisch korrekte Defiitio dieser Zahl ist atürlich die geometrische Reihe 0, ( 0 ( Die Zahl 0, ist daher wirklich gleich i diesem Fall ist die Dezimaldarstellug eier reelle Zahl also icht eideutig. (b (Teleskopreihe Wir wolle de Grezwert der Reihe (+ bestimme. ormalerweise lasse sich derartige Reihe icht ohe weiteres bereche, aber i diesem gaz spezielle Fall köe wir eie Trick awede: Wege (+ + köe wir die Partialsumme der Reihe schreibe als ( ( + + ( ( ( ( Derartige Reihe, bei dee sich i de Partialsumme durch geeigete Differeze alle Terme bis auf eie Start- ud Edterm weghebe, bezeichet ma als Teleskopreihe (weil die Summe sozusage wie ei Teleskop zusammegeschobe werde ka. Der Grezwert. der Reihe lässt sich da atürlich eifach bereche; i diesem Fall ist er ( ( + lim ( + lim. + (c (Harmoische Reihe Die Reihe divergiert: Für die Partialsumme mit Idex 2k gilt 2 k ( 3 + ( ( k k ( 4 + ( ( k 2 k k 2. Da + 2 k mit k ubeschräkt wächst, ist die gegebee Reihe also ubeschräkt ud damit ach Lemma 6. diverget. Die folgede eifache Recheregel für Reihe die Verträglichkeit mit Summe, Differeze, Multiplikatio mit Kostate sowie im Fall des Körpers R mit Ugleichuge ergebe sich sofort aus dee für Folge i Kapitel 6. Lemma 7.4 (Recheregel für Reihe. Es seie a ud b kovergete Reihe i K. Da gilt: (a (a + b (b Für c K ist a + ca c b ud a. (c Ist K R ud a b für alle, so ist (a b a b. a b.

3 7. Reihe 73 Beweis. Alle behauptete Aussage gelte trivialerweise für die Partialsumme der Reihe (also we die Summe bis zu eiem feste laufe. Übergag zum Grezwert liefert da mit de Sätze 6.7 ud 6.22 die Behauptuge. Eie aaloge direkte Verträglichkeit mit der Multiplikatio ist atürlich icht zu erwarte, weil ja scho für die Partialsumme ( a ( b icht dasselbe ist wie a b. Wir werde aber später i Satz 7.32 och eie Formel für das Produkt vo Reihe fide. Bevor wir u mit der Herleitug allgemeier Kovergezkriterie für Reihe begie, wolle wir och zwei sehr eifache Hilfsaussage festhalte, die aber deoch oft ützlich sid. Die erste vo ihe ist so eifach, dass sie üblicherweise als Trivialkriterium bezeichet wird; sie besagt eifach, dass eie Reihe höchstes da kovergiere ka, we die aufsummierte Zahle zumidest gege 0 kovergiere. Lemma 7.5 (Trivialkriterium. Ist die Reihe a koverget, so ist (a eie ullfolge. Beweis. Existiert der Grezwert a, so folgt aus de Grezwertsätze Beispiel 7.6. a a a a a 0 für. (a Die Reihe ist diverget, de ach Beispiel 6.20 ist lim (b Das Trivialkriterium ist icht umkehrbar: So ist z. B. zwar eie ullfolge, aber die harmoische Reihe ach Beispiel 7.3 (c trotzdem icht koverget. Ma ka mit diesem Kriterium daher immer ur die Divergez eier Reihe achweise, aber ie die Kovergez. Lemma 7.7. Eie Reihe a mit a R 0 für alle ist geau da koverget, we sie beschräkt ist. Beweis. Da alle aufsummierte Zahle icht-egativ sid, ist die Folge ihrer Partialsumme mooto wachsed. Für eie mooto wachsede Folge ist die Kovergez ach Lemma 6. ud dem Mootoiekriterium aus Satz 6.26 aber äquivalet zur Beschräktheit. 7.B Kovergezkriterie für Reihe Wie im Fall vo Folge im letzte Kapitel wolle wir u eiige Kriterie herleite, mit dee ma die Kovergez eier Reihe beweise ka, ohe ihre Grezwert zu kee. Dabei bleibe atürlich alle Ergebisse aus Abschitt 6.B uverädert awedbar, da Reihe ja letztlich auch ur Folge sid. Es gibt aber eiige zusätzliche Kriterie, die speziell auf de Fall vo Reihe zugeschitte ud meistes eifacher zu überprüfe sid. Wir begie dabei mit eiem Kriterium für reelle Reihe, i dee abwechseld positive ud egative Glieder aufsummiert werde. Satz 7.8 (Leibiz-Kriterium. Ist (a eie mooto fallede ullfolge i R 0, so ist die Reihe ( a a 0 a + a 2 a 3 ± koverget, ud ihre Partialsumme sid abwechseld obere ud utere Schrake für ihre Grezwert. (Derartige reelle Reihe, bei dee sich das Vorzeiche i der Summe immer abwechselt, et ma alteriered. Beweis. Es sei s ( a, also (s die Folge der Partialsumme der betrachtete Reihe. Da (a mooto falled ud die Differez zweier aufeiader folgeder Glieder vo (a damit icht egativ ist, ist die Folge (s 2 der gerade Partialsumme mooto falled: Es gilt s 2+2 s 2 (a 2+ a 2+2 s 2. }{{} 0

4 74 Adreas Gathma Aalog ist die Folge (s 2+ der ugerade Partialsumme mooto wachsed, wie auch das Bild ute rechts zeigt. Damit habe wir ieiader liegede Itervalle [s,s 2 ] [s 3,s 4 ] [s 5,s 6 ], die eie Itervallschachtelug defiiere, da die Läge s 2 s 2 a 2 dieser Itervalle mit gege 0 kovergiert. ach Satz 6.30 kovergiere also die gerade ud ugerade Partialsumme mooto falled bzw. wachsed gege de gleiche Grezwert s. Isbesodere sid die gerade ud ugerade Partialsumme also obere bzw. utere Schrake für s. a 0 s s s 0 a s 2 a 3 +a 2 s 3 s Außerdem liege damit i jeder ε-umgebug vo s fast alle gerade ud fast alle ugerade Partialsumme, ud somit kovergiert auch die gesamte Folge der Partialsumme gege s. Beispiel 7.9 (Alterierede harmoische Reihe. Die Reihe ( ist ach dem Leibiz-Kriterium koverget, de ist eie mooto fallede ullfolge. Ihre Grezwert köe wir mometa och icht bereche (i der Tat ist er gleich log2, wie wir i Beispiel.6 (a sehe werde, aber ach Satz 7.8 liegt er sicher zwische de erste beide Partialsumme ud Übriges ist diese Reihe (gaz im Gegesatz z. B. zur Folge aus Beispiel 6.28 eie, die extrem lagsam kovergiert: Um hier de Grezwert auf k achkommastelle geau zu bereche, müsse wir atürlich midestes die erste 0 k Summade mitehme, de der 0 k -te Summad ist ja 0 k ud ädert somit i jedem Fall och die k-te achkommastelle. Wir köe a dieser alterierede harmoische Reihe aber och eie weitere überraschede Eigeschaft sehe. Dazu sortiere wir die aufzusummierede Zahle mal etwas um ud schreibe usere Reihe als ( ( ( ( Das Prizip hierbei ist, dass die Terme (... für ugerade der Reihe ach als erste Summade i de Klammer stehe, für gerade, aber icht durch 4 teilbare der Reihe ach als zweite Summade i de Klammer stehe, für durch 4 teilbare der Reihe ach außerhalb der Klammer stehe. Es ist klar, dass wir hier wirklich ur die Summade umsortiert, also keie vergesse oder doppelt higeschriebe habe. Reche wir jetzt aber mal die Klammer aus, so erhalte wir ud damit geau die Hälfte der ursprügliche Reihe! Da die Reihe icht de Wert 0 hat (wie wir obe scho gesehe habe, liegt ihr Wert ja zwische ud 2, habe wir ihre Wert durch das Umsortiere also tatsächlich geädert ud müsse damit wohl oder übel feststelle: Das Umorde der Summade i eier kovergete Reihe ka ihre Grezwert äder. Das ist atürlich extrem lästig, weil us das sozusage die Kommutativität der Additio im Fall vo uedliche Summe kaputt macht was völlig der Ituitio widerspricht ud atürlich auch beim Reche mit solche Reihe große Probleme bereitet. Glücklicherweise gibt es eie relativ

5 7. Reihe 75 elegate Ausweg aus dieser Situatio: Es gibt eie Eigeschaft vo Reihe, die etwas stärker als die ormale Kovergez ist, i viele Fälle aber deoch erfüllt ist ud die Umsortierbarkeit ohe Äderug des Grezwerts garatiert. Diese wolle wir jetzt eiführe. Defiitio 7.0 (Absolute Kovergez. Eie Reihe a i K heißt absolut koverget, we die Reihe a ihrer Beträge kovergiert, also ach Lemma 7.7 we diese Reihe a beschräkt ist. (Der ame kommt eifach daher, dass ma de Betrag eier Zahl oft auch als Absolutbetrag bezeichet. Für Reihe, i dee ur icht-egative reelle Zahle aufsummiert werde, stimme die Begriffe koverget ud absolut koverget offesichtlich überei. Wir wolle u sehe, dass der Begriff der absolute Kovergez für allgemeie Reihe wirklich stärker als die gewöhliche Kovergez ist, also dass aus der absolute Kovergez eier Reihe auch die Kovergez folgt. Dazu müsse wir zuächst das Cauchy-Kriterium aus Satz 6.33 auf Reihe übertrage. Auch hier ist dieses Kriterium wieder besoders deswege wichtig, weil es zum eie zur Kovergez äquivalet ist (ma mit ihm also Kovergez geauso wie Divergez achweise ka ud es außerdem i R ud C gleichermaße fuktioiert. Folgerug 7. (Cauchy-Kriterium für Reihe. Eie Reihe a i K ist geau da koverget, we m ε > 0 0 m 0 : a k < ε. k+ Beweis. ach Defiitio ist die Reihe a geau da koverget, we die Folge (s der Partialsumme mit s a kovergiert. Wede wir das Cauchy-Kriterium für Folge aus Satz 6.33 auf (s a, sehe wir, dass dies geau da der Fall ist, we ε > 0 0 m, 0 : s s m < ε. atürlich köe wir hier aus Symmetriegrüde m aehme, ud aus s m s m k+ a k folgt da sofort die Behauptug. Lemma 7.2. Jede absolut kovergete Reihe i K ist koverget. Beweis. Es sei a eie absolut kovergete Reihe, d. h. die Reihe a sei koverget. ach dem Cauchy-Kriterium aus Folgerug 7. gibt es also zu jedem ε > 0 ei 0 mit m m a k a k < ε k+ k+ für alle m 0. Da ist ach der Dreiecksugleichug aber erst recht m m a k a k < ε, k+ k+ ud damit ist wiederum ach dem Cauchy-Kriterium auch die Reihe a koverget. Aufgabe 7.3. Es sei (a eie Folge i K mit a für alle. Ma zeige: a ist absolut koverget a + a ist absolut koverget. Als ächstes hatte wir behauptet, dass die absolute Kovergez eier Reihe sicher stellt, dass ma die Summade ohe Äderug des Grezwerts umorde ka. Dies wolle wir jetzt zeige. Defiitio 7.4 (Umorduge eier Reihe. Es sei a eie Reihe i K ud σ : eie bijektive Abbildug. Da heißt die Reihe a σ( (die offesichtlich aus de gleiche Summade besteht, ur evtl. i aderer Reihefolge eie Umordug vo a.

6 76 Adreas Gathma Satz 7.5 (Umordugssatz. Jede Umordug eier absolut kovergete Reihe ist ebefalls absolut koverget ud kovergiert gege deselbe Grezwert. 5 Beweis. Es seie a eie absolut kovergete Reihe ud σ : eie bijektive Abbildug. Ferer sei ε > 0 beliebig. Da a ach Voraussetzug kovergiert, gibt es ach dem Cauchy- Kriterium aus Folgerug 7. ei 0 mit m k+ a k < ε 2 für alle m 0. Isbesodere habe wir für 0 ud m also Da σ surjektiv ist, köe wir u ei 0 0 wähle, so dass Wir betrachte u für beliebiges 0 die Summe a k ε < ε. ( k {0,,..., 0 } {σ(0,σ(,...,σ( 0}. (2 (a σ(k a k (a σ(0 a 0 + (a σ( a + + (a σ( a. Wege (2 ud 0 0 trete i dieser Summe alle Glieder a 0,...,a 0 sowohl eimal mit positivem als auch eimal mit egativem Vorzeiche auf, hebe sich also heraus. Die übrige a mit > 0 köe sich ebefalls heraushebe, oder mit eiem positive oder egative Vorzeiche auftrete. Wir köe dies symbolisch schreibe als (a σ(k a k ±a k, wobei die Summe hier über gewisse (edlich viele k > 0 läuft ud für jedes solche k das Vorzeiche vo a k positiv oder egativ sei ka. Damit köe wir diese Ausdruck mit der Dreiecksugleichug betragsmäßig abschätze durch (a σ(k a k k ±a k k k a k k 0 + a k ( < ε. Daraus ergibt sich (a σ( a 0, ud damit ach de übliche Recheregel aus Lemma 7.4 a σ( a + (a σ( a Die Umordug a σ( kovergiert also gege de gleiche Grezwert wie die ursprügliche Reihe. Wede wir dieses Ergebis u auch och auf die Reihe a a, so erhalte wir geauso a σ( a, woraus die absolute Kovergez der Umordug folgt. Bemerkug 7.6 (Summe mit abzählbarer Idexmege. Da es bei uedliche Summe im Fall der absolute Kovergez also icht auf die Reihefolge der Summade akommt, köe wir damit auch derartige Summe defiiere, bei dee die Summade zuächst eimal überhaupt keie vorgegebee Reihefolge habe, soder durch eie beliebige abzählbare Mege I idiziert werde: Ist a i K für alle i I, so wähle wir eie bijektive Abbildug σ : I. Ist da die Reihe a σ( absolut koverget, so schreibe wir de Wert dieser Reihe als i I a i : a σ( K. Dies hägt da ach dem Umordugssatz 7.5 icht vo der Wahl vo σ ab, da sich die durch eie adere Bijektio etstehede Reihe ur durch eie Umordug uterscheidet ud somit ichts a der absolute Kovergez bzw. dem Grezwert der Reihe ädert. Ist die Reihe a σ( higege icht absolut koverget, so köe wir i I a i icht sivoll defiiere. a.

7 7. Reihe 77 Aufgabe 7.7. Welche der folgede Bediguge sid hireiched, welche otwedig für die Kovergez eier Folge (a i K? (a ε > : a a 0 < ε. (b ε > : a + a < ε. (c 0 ε > 0 m, 0 : a m a < ε. Aufgrud der schöe Eigeschafte absolut kovergeter Reihe werde wir us im Folgede oftmals eher für die absolute als für die gewöhliche Kovergez vo Reihe iteressiere. Wir wolle u ei paar Kriterie zusammetrage, mit dee ma die absolute Kovergez vo Reihe i viele Fälle eifach achprüfe ka. Das erste vo ihe ist eigetlich sehr offesichtlich: Satz 7.8 (Majorate-/Mioratekriterium. Es seie a ud b zwei Reihe i K mit a b für fast alle. (a Ist b absolut koverget, so auch a. (Ma et b i diesem Fall eie kovergete Majorate vo a. (b Gilt a,b R 0 für alle ud ist a diverget, so auch b. (Ma et a i diesem Fall eie divergete Miorate vo b. Beweis. Ist b absolut koverget, also b beschräkt, so ist wege a b für fast alle auch a beschräkt, ud damit a absolut koverget. Dies zeigt (a. Sid alle a ud b icht-egative reelle Zahle, so ist die absolute Kovergez äquivalet zur gewöhliche Kovergez, ud damit ist die Aussage (b da ur eie äquivalete Umformulierug vo (a. Beispiel 7.9. (a Die Reihe ist koverget: Wege 2 (+ 2 Beispiel 7.3 (b eie (absolut kovergete Majorate vo die Reihe (+ für ist (+ ach (+ 2. Damit kovergiert 2 + ( Beachte, dass ma auf diese Art mit Hilfe des Majoratekriteriums zwar die Kovergez der Reihe beweise, aber icht ihre Grezwert bestimme ka (i der Tat ka 2 ma zeige, dass der Wert dieser Reihe gleich π2 6 ist. (b Für k 2 ist die Reihe k koverget, de wege k 2 für alle ist 2 ach (a eie kovergete Majorate. (c Die Reihe dagege ist diverget, de wege ist die harmoische Reihe aus Beispiel 7.3 (c eie divergete Miorate. We ma mit dem Majoratekriterium die (absolute Kovergez eier Reihe achweise möchte, stellt sich atürlich die Frage, wo ma eie kovergete Majorate herbekommt. Sehr oft ka ma hierfür eifach eie geometrische Reihe q für ei q R >0 mit q < wie i Beispiel 7.3 (a verwede. Aus diesem Asatz ergebe sich i der Tat die folgede beide allgemeie Kriterie, die sehr oft awedbar sid: Satz 7.20 (Quotietekriterium. Es sei a eie Reihe i K mit a 0 für fast alle. Da gilt: (a Ist lim a + a <, so ist die Reihe a absolut koverget. (b Ist lim a + a >, so ist die Reihe a diverget.

8 78 Adreas Gathma ( a Der Fall lim + a a ist dabei i (b zugelasse. Ist die Folge + a jedoch ubestimmt diverget oder kovergiert sie gege, so macht das Quotietekriterium keie Aussage. a Beweis. Wir ehme der Eifachheit halber zuächst a, dass a : lim + a R 0 kei ueigetlicher Grezwert ist. (a Ist a <, so köe wir ei ε > 0 wähle, so dass auch och q : a + ε < gilt. Wege lim a + a a gibt es da ei 0, so dass a + a < a + ε q für alle 0, ud damit a + < q a. Daraus ergibt sich für alle 0 a < q a < q 2 a 2 < < q 0 a 0. Also ist die Reihe q 0 a 0 eie Majorate der gegebee Reihe a. Wege q < kovergiert sie ach Beispiel 7.3 (a absolut, de es ist q 0 a 0 q 0 a 0 q q 0 a 0 q. Die zu beweisede Aussage folgt damit aus dem Majoratekriterium vo Satz 7.8. (b Ist a >, so köe wir ei ε > 0 fide mit a ε >. I diesem Fall gibt es ach der Grezwertbedigug ei 0, so dass a + a > a ε > für alle 0, ud damit a + > a. Damit ist ( a ab 0 eie mooto wachsede Folge positiver Zahle, so dass (a also keie ullfolge sei ka. Die gegebee Reihe divergiert damit ach dem Trivialkriterium aus Lemma 7.5. ( a Hat die Folge + a schließlich de ueigetliche Grezwert, so folgt auch da a + a > für fast alle ach Defiitio 6.3 das Argumet ist damit also dasselbe wie i (b. Das zweite, recht ähliche Kriterium, das auf dem Vergleich mit der geometrische Reihe beruht, beutzt die höhere Wurzel aus Aufgabe Satz 7.2 (Wurzelkriterium. Für jede Reihe a i K gilt: (a Ist limsup (b Ist limsup a <, so ist die Reihe a >, so ist die Reihe a absolut koverget. a diverget. Der Fall limsup a ist dabei i (b wieder zugelasse. Ist jedoch limsup a, so macht das Wurzelkriterium keie Aussage. Beweis. Wir ehme zuächst wieder a, dass a : limsup a R 0 icht gleich ist. (a Für a < sei wieder ε > 0 mit q : a + ε <. ach Lemma 6.43 (a gilt da a < a + ε q, also a < q für fast alle. Also ist q eie Majorate der gegebee Reihe. Da diese wege q < ach Beispiel 7.3 (a (absolut kovergiert, kovergiert auch a ach dem Majoratekriterium aus Satz 7.8 absolut.

9 7. Reihe 79 (b Ist a >, so wähle wir ei ε > 0 mit a ε >. Diesmal folgt da aus Lemma 6.43 (b, dass a > a ε >, also a > für uedlich viele. Damit ka (a aber keie ullfolge sei, ud die gegebee Reihe divergiert ach dem Trivialkriterium aus Lemma 7.5. Hat die Folge ( a schließlich de ueigetliche Limes superior, also de Häufugspukt ud damit eie Teilfolge, die gege kovergiert, so gibt es isbesodere uedlich viele mit a >, ud das Argumet ist wieder geauso wie i (b. Bemerkug 7.22 (Vergleich vo Quotiete- ud Wurzelkriterium. Das Quotietekriterium hat gegeüber dem Wurzelkriterium de Vorteil, dass sich der Quotiet oft eifacher bereche a + a lässt als die Wurzel a. Allerdigs beötige wir im Quotietekriterium eie Grezwert der Quotietefolge, währed im Wurzelkriterium der Limes superior der Wurzelfolge geügt, der ja ach Bemerkug 6.42 zumidest im ueigetliche Sie stets existiert. Dies liegt dara, dass wir im Beweis vo Satz 7.20 brauchte, dass fast alle Quotiete i (a kleier als a + ε ud i (b größer als a ε sid, so dass a dort der Grezwert der Quotietefolge sei musste. Im Beweis vo Satz 7.2 brauchte wir dagege i (a zwar auch, dass fast alle Wurzel kleier als a + ε sid, aber i (b reichte uedlich viele Wurzel größer als a ε. Mit dieser Beobachtug sieht ma allerdigs mit Hilfe vo Lemma 6.43 auch, dass wir de Grezwert im Quotietekriterium vo Satz 7.20 i (a durch de Limes superior ud i (b durch de Limes iferior ersetze köte, um so och allgemeiere Aussage zu erhalte. Hat die Quotietefolge jedoch mehrere Häufugspukte, vo dee eier größer als ud eier kleier als ist, so lässt sich aus der Idee des Quotietekriteriums aber edgültig keie Aussage über die Kovergez der Reihe mehr herleite. Beispiel (a Betrachte wir für ei q K mit q 0 die geometrische Reihe q selbst, ist also a q i der otatio vo Satz 7.20 ud 7.2, so ist offesichtlich a + a a q uabhägig vo, ud sowohl Quotiete- als auch Wurzelkriterium reproduziere eifach das Ergebis aus Beispiel 7.3 (a i de Fälle mit q. (b Für die alterierede harmoische Reihe a ( aus Beispiel 7.9 macht das Quotietekriterium keie Aussage, de dort gilt a + a ( + /( + ( / + + für. Dies war atürlich zu erwarte, da diese Reihe ja auch weder absolut koverget och diverget ist. (c Die Reihe ( 2+ ist ach dem Wurzelkriterium (absolut koverget, de es ist ( für. (d Für alle x K ist die Reihe x! + x + x2 2 + x3 6 + ach dem Quotietekriterium absolut koverget, de es gilt x + /( +! x /! x + 0

10 80 Adreas Gathma für. Auf diese Art habe wir also letztlich eie Fuktio vo K ach K defiiert, die jedem x de Wert der Reihe x! zuordet. Es hadelt sich bei diesem letzte Beispiel geau um die Expoetialfuktio, die ihr zumidest im reelle Fall bereits aus der Schule ket. Sie ist aber letztlich ur ei spezielles Beispiel für eie sehr große Klasse vo Fuktioe, die sich i der Form x a x für gewisse a K schreibe lasse. Wir wolle derartige Fuktioe, die i dieser Vorlesug immer wieder vorkomme werde, daher jetzt eiführe ud etwas geauer utersuche. 7.C Potezreihe Potezreihe ka ma sich i gewissem Sie als Verallgemeierug der Polyome aus Abschitt 3.C vorstelle: statt edlicher Summe a 0 + a x + + a x i eier Variable x betrachte wir u uedliche Reihe der Form a x a 0 + a x + a 2 x 2 +. Wir begie mit der formale Defiitio solcher Reihe, zusamme mit dem wohl wichtigste Beispiel: der Expoetialfuktio. Defiitio 7.24 (Potezreihe ud die Expoetialfuktio. (a Ist (a eie Folge i K ud x K, so heißt die Reihe a x die Potezreihe i x mit Koeffiziete (a. Ist D K die Mege aller x, für die diese Reihe kovergiert, so köe wir die Potezreihe offesichtlich als Fuktio vo D ach K auffasse. (b Die Expoetialfuktio ist die Potezreihefuktio exp: K K mit exp(x (die ach Beispiel 7.23 (d für alle x K absolut kovergiert. x! Aus dem Wurzelkriterium köe wir sofort eie allgemeie Aussage ableite, auf welche Gebiete derartige Potezreihe kovergiere: ämlich auf um 0 zetrierte Itervalle (im Fall K R bzw. auf Kreise um 0 (im Fall K C. Satz ud Defiitio 7.25 (Kovergezgebiete vo Potezreihe, Formel vo Cauchy-Hadamard. Es sei a x eie Potezreihe über K ud r R 0 {} lim sup a (beachte, dass dieser Wert ach Bemerkug 6.42 i jedem Fall existiert. Da gilt: (a für alle x K mit x < r ist die Potezreihe absolut koverget; (b für alle x K mit x > r ist die Potezreihe diverget. Im Fall x r ka keie allgemeie Aussage über die Kovergez der Reihe getroffe werde. Die geometrische Deutug dieser Kovergezaussage im reelle bzw. komplexe Fall zeigt das folgede Bild. Ma et r de Kovergezradius ud {x K : x < r} das Kovergezgebiet der Potezreihe. diverget r absolut koverget 0 r diverget R diverget absolut koverget 0 r C

11 7. Reihe 8 Beweis. Wir wede das Wurzelkriterium aus Satz 7.2 auf die Potezreihe a x a: ach Aufgabe 6.47 (a ist für alle x K ( lim sup a x limsup x a x limsup a x r, also kovergiert die Reihe für x < r absolut ud divergiert für x > r. Bemerkug Beachte, dass die Eigeschafte (a ud (b aus Satz 7.25 de Kovergezradius eideutig charakterisiere als r sup { x : x K mit a x koverget }. ( So ist z. B. auch ohe Berechug des Ausdrucks für r i Satz 7.25 klar, dass die Expoetialreihe aus Defiitio 7.24 (b de Kovergezradius hat, da sie ja auf gaz K kovergiert. I der Tat wird die Gleichug ( i der Literatur auch oft als Defiitio des Kovergezradius eier Potezreihe beutzt. Es sollte icht überrasche, dass ma icht ur mit dem Wurzelkriterium, soder auch mit dem Quotietekriterium eie Aussage über de Kovergezradius eier Potezreihe treffe ka. Allerdigs ist diese icht gaz so uiversell, da sie wie i Satz 7.20 die Existez des Grezwerts der Quotietefolge der Koeffiziete voraussetzt. Satz 7.27 (Alterative Formel für de Kovergezradius eier Potezreihe. Es sei a x eie Potezreihe i K mit a 0 für fast alle. Existiert da der Grezwert r lim a R 0 {}, a + so ist dies der Kovergezradius der Potezreihe. Beweis. Wege lim a + x + ( a x lim x a + a x lim a + a x r kovergiert die Potezreihe ach Satz 7.20 absolut für x < r ud divergiert für x > r. ach Bemerkug 7.26 ist r damit der Kovergezradius der Reihe. Beispiel (a Die Potezreihe x hat ach Satz 7.27 de Kovergezradius r lim / /( + lim + lim ( +, kovergiert also für alle x K mit x < absolut ud divergiert für alle x mit x >. Für x trete i der Tat verschiedee Fälle auf: Im Fall x erhalte wir die harmoische Reihe, die ach Beispiel 7.3 (c divergiert, währed wir für x die alterierede harmoische Reihe habe, die ach Beispiel 7.9 kovergiert. Dies zeigt och eimal, dass usere obige ur vo x abhägige Kriterie auf dem Rad des Kovergezgebiets wirklich keie allgemeie Aussage mache köe. 6 (b Für de Kovergezradius der Potezreihe x gilt ach Satz 7.25 ud 7.27 r lim sup sowie r lim +. Vergleich dieser beide Ergebisse liefert also lim sup. Für alle ε > 0 gilt damit ach Lemma 6.43 (a, dass < + ε für fast alle. atürlich ist aber auch für alle, ud damit ergibt sich zusamme lim

12 82 Adreas Gathma (was gar icht so offesichtlich ist, da der Ausdruck für wachsedes ja durch das uter der Wurzel größer, durch das Ziehe der -te Wurzel aber kleier wird. Aufgabe Utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (im Fall (c i Abhägigkeit vo x R: (a (3 + (, (b!, (c 2 + x. Eie Berechug des Grezwerts im Fall der Kovergez ist icht erforderlich. Aufgabe Ma zeige: (a Sid (a ud (b zwei Folge i R 0 ud ist (b koverget mit positivem Grezwert, so gilt lim sup(a b limsupa lim b. (b Jede Potezreihe a x i K hat deselbe Kovergezradius wie ihre formale Ableitug a x, kovergiert aber icht otwedig für die gleiche x. (Wir werde i Folgerug 0.26 sehe, dass dies da auch geau die gewöhliche Ableitug der ursprügliche Reihe ist. Aufgabe 7.3 (Alterative Darstellug der Expoetialfuktio. Zeige, dass für alle x K exp(x lim ( + x gilt. (Hiweis: Eie Möglichkeit besteht dari, durch eie geeigete Abschätzug zu zeige, dass ( x k ( + x k! mit gege 0 kovergiert. Der Ausdruck lim ( + x i dieser Darstellug der Expoetialfuktio hat übriges eie sehr aschauliche Iterpretatio: We ihr Euro zu eiem Zissatz x ei Jahr lag alegt ud sich die Bak bereit erklärt, icht eimal am Ede des Jahres de Betrag x a Zise auszuzahle, soder stattdesse -mal eie Zissatz vo x bezahlt, so habt ihr dadurch am Ede des Jahres aufgrud des Ziseszises atürlich mehr Geld als bei eier eimalige Ziszahlug, ämlich geau (+ x. Die gerade gezeigte Formel besagt, dass ihr selbst für, also we ihr die Bak zu eier uedliche Aufteilug der Zise auf diese Art überrede kötet, dadurch kei uedliches Vermöge aufbaue kötet, soder am Ede des Jahres lediglich de Betrag vo exp(x hättet. Zum Schluss dieses Kapitels wolle wir us u och mit dem Produkt vo Reihe beschäftige. Habe wir z. B. zwei Potezreihe a k x k ud l0 b l x l, so würde wir erwarte, dass wir ihr Produkt für alle x im Durchschitt der Kovergezgebiete der beide Reihe wie folgt durch uedliches Ausmultipliziere bereche ud wieder zu eier eue Potezreihe zusammefasse köe: ( ( l x l0b l a k x k (a 0 + a x + a 2 x 2 + (b 0 + b x + b 2 x 2 +? a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 x + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 x 2 + c x mit c a kb k. Wir wolle u zeige, dass dies i der Tat erlaubt ist ud zwar auch für allgemeie Reihe, icht ur für Potezreihe (also we wir us das x i der obige Rechug wegdeke. Da die eizele ausmultiplizierte Summade i der etstehede Reihe dabei aber auf eie bestimme Art sortiert werde müsse, sollte es i Abetracht des Umordugssatzes 7.5 icht überrasche, dass wir für die Gültigkeit dieser Rechug die absolute Kovergez der Reihe beötige.

13 7. Reihe 83 Satz 7.32 (Cauchy-Produkt vo Reihe. Es seie a k ud l0 b l zwei absolut kovergete Reihe i K. Setze wir da c a k b k für alle, so ist auch die Reihe c absolut koverget, ud es gilt ( ( k l a l0b Beweis. ach Voraussetzug existiere die Grezwerte A : a k ud B : l0 b l. Wir zeige, dass die Summe (k,l 2 a k b l über die ach Beispiel 2.30 (b abzählbare Idexmege im Sie vo Bemerkug 7.6 existiert ud mit dem Wert beider Seite der Gleichug ( übereistimmt. Dazu betrachte wir die beide im folgede Bild dargestellte Aufzähluge vo 2. c. ( k (a l k (b l (a Summiere wir zuächst die Beträge a k b l i der Reihefolge dieser quadratische Aufzählug, so erhalte wir ach der Summatio vo höchstes 2 Terme, also dee im Quadrat liks obe mit Zeile ud Spalte, maximal de Wert a k b l l0 ( a k ( b l l0 A B. Die Reihe über alle a k b l ist (i dieser Aufzählugsreihefolge also beschräkt. Damit ist die Reihe über a k b l ach Defiitio 7.0 absolut koverget, ud ach Bemerkug 7.6 existiert somit die Reihe (k,l 2 a k b l. Um de Wert dieser Reihe zu bestimme, köe wir ach Lemma 6.8 auch ur eie Teilfolge der Partialsummefolge betrachte. ehme wir hierzu die Partialsumme, bei dee wir die erste 2 Terme aufaddiere, ud lasse dort gege gehe, so erhalte wir a k b l lim (k,l 2 also die like Seite vo (. a k b l lim l0 ( a k ( b l l0 6.7 ( a k ( l0b l, (b I dieser schräge Aufzählugsreihefolge köe wir de Wert vo (k,l 2 a k b l aalog als Grezwert für der Partialsumme bestimme, bei dee wir die erste Diagoale aufsummiere. Da die Summe der a k b l etlag der Diagoale mit k + l gerade c ist, erhalte wir so (k,l 2 a k b l lim c c ud damit durch Vergleich mit (a die behauptete Gleichheit (. Weil die erste Diagoale außerdem im Quadrat liks obe mit Zeile ud Spalte ethalte sid, habe wir weiterhi mit der Dreiecksugleichug c a k b k ( a k b k a k ( b l l0 A B

14 84 Adreas Gathma ud damit auch die absolute Kovergez vo c gezeigt. Die wohl wichtigste Awedug des Cauchy-Produkts erhalte wir im Fall der Expoetialfuktio. Folgerug 7.33 (Fuktioalgleichug der Expoetialfuktio. Für alle x,y K gilt exp(x exp(y exp(x + y. Beweis. ach Beispiel 7.23 (d ud Defiitio 7.24 (b kovergiert die Expoetialreihe auf gaz K absolut. Also gilt für alle x,y K y l exp(x exp(y l! was zu zeige war. ( ( x k ( k! l0 x k k!! ( (x + y! exp(x + y, y k ( k! ( x k y k k (ach Satz 7.32 (ach Satz 3.2 Bemerkug 7.34 (Produkte vo Potezreihe. Sid a k x k ud l0 b l x l zwei Potezreihe i x mit Kovergezradie r bzw. r 2, so gilt ach Satz 7.32 für alle x K mit x < mi(r,r 2 (wo also ach Satz 7.25 beide Potezreihe absolut kovergiere ( a k x k ( l0b l x l ( a k b k x, d. h. das Produkt zweier Potezreihe mit Kovergezradie r ud r 2 ist wieder eie Potezreihe, dere Kovergezradius midestes mi{r,r 2 } beträgt ud die durch uedliches Ausmultipliziere berechet werde ka. Aufgabe (a Es sei q C mit q <. Bereche das Cauchy-Produkt Reihe q. ( q 2 ud damit de Wert der (b Es seie p,q: C C zwei komplexe Polyomfuktioe. Ferer sei D {x C : x < r} für ei r R >0 eie Kreisscheibe i C mit Mittelpukt 0, auf der die Fuktio f (x p(x q(x defiiert ist, auf der also q keie ullstelle hat. Zeige, dass sich f da auf D als Potezreihe schreibe lässt, d. h. dass es a C für gibt mit f (x a x für alle x D.