TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN"

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes Deke. Welche der folgede Aussage sid wahr? Lösuge zu Aufgabeblatt 5 (4. Mai 004) Präsezaufgabe Jede Mege besitzt etweder ei Maximum oder ei Miimum. Eie Mege reeller Zahle hat geau da ei Supremum, we sie beschräkt ist. Das Maximum eier Mege (sofer es existiert) ist immer ihr Supremum. Das Supremum eier Mege (sofer es existiert) ist immer ihr Maximum. Ist die Mege der Folgeglieder eier Folge edlich, so besitzt sie ei Maximum ud die Folge ist koverget. Jede Mege, die eie obere Schrake besitzt, besitzt auch eie utere Schrake. Falls eie Folge eie Grezwert besitzt, da ist die Mege der Folgeglieder beschräkt. Der Grezwert eier Folge ist etweder das Supremum oder das Ifimum der Mege der Folgeglieder. Jede Mege besitzt etweder ei Maximum oder ei Miimum. Falsche Aussage. Gegebeispiel: Die Mege der gaze Zahle Z. Eie Mege reeller Zahle hat geau da ei Supremum, we sie beschräkt ist. Falsche Aussage. Das Vollstädigkeitsaxiom besagt, dass jede icht leere ach obe beschräkte Mege reeller Zahle ei Supremum besitzt. Diese Aussage ist atürlich (axiomatisch) richtig. Die Umkehrug gilt aber icht: Nicht jede Mege, die ei Supremum besitzt, ist auch beschräkt. Zum Beispiel hat die Mege der egative reelle Zahle ei Supremum (ämlich 0), ist aber icht ach ute beschräkt. X Das Maximum eier Mege (sofer es existiert) ist immer ihr Supremum. Wahre Aussage. Ei Maximum ist per Defiitio eie obere Schrake, die zusätzlich och selbst ei Elemet der Mege ist. Da das Maximum vo eiem Megeelemet ageomme wird, ka es auch keie kleiere obere Schrake als das Maximum gebe. Das Supremum eier Mege (sofer es existiert) ist immer ihr Maximum. Falsche Aussage, da das Supremum eier Mege icht i der Mege selbst ethalte sei muss. Zum Beispiel: Die Mege M {x R x < } besitzt das Supremum, aber M. Ist die Mege der Folgeglieder eier Folge edlich, so besitzt sie ei Maximum ud die Folge ist koverget. Falsche Aussage. Ist die Mege der Folgeglieder eier Folge edlich, so bedeutet dies, dass die Folgeglieder immer wieder dieselbe (edlich viele) Werte aehme. Eie Mege mit edlich viele Elemete ist beschräkt ud besitzt auch sowohl ei Maximum als auch ei Miimum. Trotzdem muss die zugehörige Folge icht kovergiere. Gegebeispiel: Die Folge (( ) ) N besitzt edlich viele Folgeglieder (ämlich ur die beide Werte ud ), trotzdem divergiert diese Folge. Jede Mege, die eie obere Schrake besitzt, besitzt auch eie utere Schrake. Falsche Aussage. Gegebeispiel: Die Mege der egative gaze Zahle. X Falls eie Folge eie Grezwert besitzt, da ist die Mege der Folgeglieder beschräkt. Wahre Aussage. Besitzt eie Folge (a ) N eie Grezwert a R, so bedeutet dies, dass es zu jedem ε > 0 eie Idex N ε gibt, so dass für alle N ε gilt, dass a a < ε. Mit adere Worte: Zu jedem ε gibt es eie Idex N ε, so dass alle Folgeglieder mit eiem Idex N ε i der ε-umgebug des Grezwertes liege. Die Mege der erste N ε Folgeglieder ist aber eie edliche Mege, ud diese ist beschräkt. Sei N N der Idex, so dass a a < für alle > N. Da ist S : max{a, a,..., a N, a + } eie obere Schrake ud s : mi{a, a,..., a N, a } eie utere Schrake. Der Grezwert eier Folge ist etweder das Supremum oder das Ifimum der Mege der Folgeglieder. Falsche Aussage. Gegebeispiel: Kovergete alterierede Folge, zum Beispiel (( ) ) N, 0.

2 Aufgabe 8. Grezwerte, die Erste. Beweise Sie mit Hilfe der Defiitio vo Kovergez, dass die utestehede Folge kovergiere, bzw. divergiere: a ( + ), b ( ) +, c, N, > 0..) BEHAUPTUNG: Es gilt lim ++7 (+). BEWEIS: Der Grezwert ist. Um dass zu zeige forme wir zuächst um: ( + ) ( + + ) ( + ) + 7) ( + ) ( + ) Damit der zweite Term (vom Betrag) kleier als ε wird reicht > ε zu wähle. Für de dritte Term geügt die gleiche Wahl, solage gleichzeitig 6. Sei u ε > 0 beliebig gegebe. Da gibt es eie atürliche Zahl M mit M > ε. Wir wähle also N ε max{m, 6}. Damit gilt für alle N ε a ( + ) + + ( + ) + 7 < ε + ( + ) + + ε ε. }{{} < ε } {{ } }{{} < ε Mit de Recheregel für Grezwerte vo kovergete Folge wird das viel eifacher, ma ka da schreibe lim ( + ) lim + ( +. ) Das geht aber ur, weil der Limes des Neers existiert ud ugleich 0 ist! ( ( ) ).) BEHAUPTUNG: Die Folge (b ) N kovergiert icht. + N BEWEIS: Dazu geügt es zu zeige, daß für alle ugerade N die Ugleichug b + b gilt. De die Aahme der Kovergez mit eie beliebige Grezwert a führt zum Widerspruch mit ε. Für beliebiges N ε ud alle N ε würde da ämlich gelte b + b b + a + a b b + a + a b < ε + ε + Für ugerade gilt aber b + b b + b. Widerspruch! Das sieht ma leicht, da falls, b b 7 6 ud für ugerade > gilt: b + b ( + ) ) BEHAUPTUNG: Es gilt lim. BEWEIS I (ZUM MITDENKEN): Es sei ohe Beschräkug der Allgemeiheit ei ε > 0, das höchstes gleich ist, vorgegebe. Wähle N N, so daß N ε. Da gilt für alle N die Ugleichug + + ε, die äquivalet ist zur Ugleichug ε ( + + ). Wir habe ( ) ( + ε) ε k k k0 ( 0 k ) ε ε + ( ) ε + ( ) ε ( ) ε ε ( + + ).

3 Damit folgt + ε (Warum?), ud weiter ε, wie i der Grezwertdefiitio gefordert. BEWEIS II (AUSFORMULIERT): Sei ε > 0 vorgegebe. Ohe Beschräkug der Allgemeiheit sei ε <. Wähle N ε > ε. Da gilt für alle mit N ε N ε > ε ε + + ε + + ε ε ( + + ) ε ( + + ) ε + ε + ε ε< + ε + ( + ε) + ε ε ( ) ε ( ) ε ( ) ε + ( ) ε k0 ( ) ε k k ( + ε) k Aufgabe 9. Greze-Los! Gebe Sie reelle Folge (a ) N, (b ) N a, so daß (a ) über alle Schrake wächst ( lim a + ) ud (b ) gege 0 kovergiert ( lim b 0) ud jeweils eier der folgede Fälle eitritt:.) lim (a b ) 0..) lim (a b ) c, wobei c eie beliebige vorgegebee Zahl ist. 3.) Die Folge (a b ) N ist beschräkt, kovergiert aber icht..) Wähle a ud b. Da ist a b. Also ist lim a b 0..) Wähle a ud b c. Da ist a b c c. Also ist lim a b c. 3.) Wähle a ud b ( ). Da ist ( a b ) ( ( ) ). Also ist die Folge (a b ) zwar durch ud beschräkt, aber sie kovergiert icht.

4 Hausaufgabe Aufgabe 30. Am Afag ist das Axiom. I der Vorlesug wurde die reelle Zahle mit Hilfe vo folgede Axiome beschriebe: KÖRPERAXIOME: (R R\{0}) (KA) x R y R z R : (x + y) + z x + (y + z) (KM) x R y R z R : (x y) z x (y z) (KA) 0 R x R : 0 + x x + 0 x (KM) R x R. x x x (KA3) x R y R : x + y 0 (KM3): x R y R : x y (KA4) x R y R : x + y y + x (KM4) x R y R : x y y x (KD) x R y R z R : x (y + z) x y + x z Die erste vier Axiome besage, dass (R, +) eie kommutative Gruppe ist. Das (additiv) Iverse vo x wird auch mit x bezeichet. Die ächste vier Axiome besage, dass (R, ) eie kommutative Gruppe ist. Das (multiplikativ) Iverse vo x wird auch mit x bezeichet. Alle 9 Axiome besage, dass (R, +, ) ei Körper ist. ORDNUNGSAXIOME: Die Mege der positive reelle Zahle R + wird durch folgede Axiome beschriebe: (A) Für jedes x R gilt geau eie der folgede drei Aussage: (i) x 0 (ii) x R + (iii) x R + (A) x R y R : x R + y R + x + y R + (A3) x R y R : x R + y R + x y R + VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM: (V) Jede icht leere ach obe beschräkte Mege M R besitzt eie kleiste obere Schrake i R. Mithilfe der Axiome A - A3 lasse sich die Relatioe <,, > ud defiiere, z.b. (U) x y y + ( x) R + {0}..) Beweise Sie die Aussage R +, idem Sie ausschließlich obige Axiome verwede. Gebe Sie i jedem Beweisschritt das verwedete Axiom a..) Gehe Sie u davo aus, daß alle Folgeruge aus de Körperaxiome bewiese vorliege (icht jedoch alle Folgeruge aus de Aordugsaxiome). Leite Sie ötige Folgeruge aus de Aordugsaxiome her, um schließlich die Dreiecksugleichug x + y x + y beweise zu köe. Gebe Sie wieder i jedem Beweisschritt a, welches Axiom Sie verwede..) Die Aussage R + soll rei aus de Axiome hergeleitet werde. Dazu sid mehere kleie Folgeruge ötig: Folgerug F: Das additiv Iverse x eier reelle Zahl x R ist eideutig bestimmt. Beweis: Aahme: Es gibt ei weiteres x R mit x + x 0 ( x) + (x + x ) ( x) + 0 (( x) + x) + x x (wege KA, KA) 0 + x x (wege KA3) x x (wege KA) Folgerug F: Für jede relle Zahl x R gilt ( x) x. Beweis: ( x) + ( ( x)) 0 ud ( x) + x 0 (wege KA3) ( ( x)) x (wege F) Folgerug F3: Für alle a R, alle b R ud alle x R hat die Gleichug a + x b eie eideutige Lösug. Beweis: (i) Behauptug: x ( a) + b ist eie Lösug. Beweis: a + (( a) + b) (a + ( a)) + b 0 + b b (wege KA, KA3, KA) (ii) Behautptug: Die Lösug x ( a) + b ist eideutig. Beweis: Aahme: y R sei eie weitere Lösug mit a + y b ( a) + (a + y) ( a) + b (( a) + a) + y ( a) + b (wege KA) 0 + y ( a) + b (wege KA3) y ( a) + b (wege KA)

5 Folgerug F4: Für alle x R gilt 0 x 0 Beweis: (wege KA3 ) x 0 + x 0 x (0 + 0) x 0 (wege KD). Adererseits gilt x x 0. (wege KA) Aus de beide letzte Gleichuge folgt da x 0 0. (wege F3) Folgerug F5: Für alle x R ud alle y R gilt ( x) y (x y) Beweis: 0 0 y (x + ( x)) y x y + ( x) y (wege F4, KA3, KD) x y + ( x) y 0. Adererseits gilt x y + ( (x y)) 0. (wege KA3) Aus de beide letzte Gleichuge folgt da ( x) y (x y) (wege F) Folgerug F6: Für alle x R ud alle y R gilt ( x) ( y) x y Beweis: ( x) ( y) (x ( y)) (wege F5 ) ( x) ( y) (( y) x) (wege KA4) ( x) ( y) ( (y x) (wege F5) ( x) ( y) ( (x y)) (wege KM4) ( x) ( y) x y (wege F) Folgerug F7: R + Beweis: Aahme: R + R + (wege 0 (KM) ud A) ( ) ( ) R + (wege A3) R + (wege F6).) Nu soll die Dreiecksugleichug rei aus de Axiome hergeleitet werde. Wir dürfe alle Folgeruge aus de Körperaxiome als bekat voraussetze. Sofer wir eie solche Folgerug verwede, schreibe wir gilt wege K. Wir defiiere R 0 + : R {0}. { x we x 0 Erierug: (B) Für alle x R ist der Betrag x R 0 + wie folgt defiiert: x x we x < 0 Folgerug F8: x R 0 + y R 0 + x + y R 0 + Beweis: Falluterscheiduge: (i) x R + ud y R +. Da gilt die Behauptug wege A. (ii) x R + ud y 0 Da gilt die Behauptug wege x + 0 x (wege K) ud wege x R + R 0 +. (iii) x 0 ud y R 0 + Da gilt 0 + y y + 0 (wege K), ud die Behauptug folgt wege (ii). (iv) x 0 ud y 0 Da gilt (wege K), ud die Behauptug folgt wege 0 R 0 +. Folgerug F9: x R 0 + y R 0 + x y R 0 + Beweis: Falluterscheiduge: (i) x R + ud y R +. Da gilt die Behauptug wege A3. (ii) x R + ud y 0 Da gilt die Behauptug wege x 0 0 (wege K) ud wege 0 R 0 +. (iii) x 0 ud y R 0 + Da gilt 0 y y 0 (wege K), ud die Behauptug folgt wege (ii). (iv) x 0 ud y 0 Da gilt (wege K), ud die Behauptug folgt wege 0 R 0 +. Folgerug F0: x y y z x z

6 Beweis: x y y + ( x) R 0 + (wege U ) y z y + ( z) R 0 + (wege U ) Daraus folgt: y + ( x) + z + ( y) R 0 + (wege F8) z + ( x) R 0 + (wege K) x z (wege U) Folgerug F: x y a R x + a y + a Beweis: x y y + ( a) R 0 + (wege U) y + ( x) + a + ( a) R 0 + (wege K) (y + a) + ( (x + a)) R 0 + (wege K) x + a y + a (wege U) Folgerug F: x x y y x + y x + y Beweis: x x x R x + x y + x (wege F) x y y R x + y y + y (wege F) y + x y + y (wege K) x + x y + x y + x y + y x + x y + y (wege F0) Folgerug F3: Für alle x R gilt x x x x Beweis: Falluterscheidug: (i) x 0. Da ist x x (wege B), ud es gilt x x x. x 0 x R 0 + (wege U) x + x R 0 + (wege A) x + ( ( x)) R 0 + (wege K) x x (wege U) Damit folgt x x x. (ii) x 0. Da ist x x (wege B ud K), ud es gilt x x x. x 0 x R 0 + (wege U) ( x) + ( x) R 0 + (wege A) x x (wege U) Damit folgt x x x. Folgerug F4: Für alle x R ud alls y R gilt die Dreiecksugleichug x + y x + y Beweis: x x y y (wege F3) x + y x + y (wege F) x x y y (wege F3) ( x) + ( y) x + y (wege F) Falluterscheidug: (i) x + y 0. Da ist x + y x + y (wege B), ud mit der erste obige Folgerug gilt x + y x + y x + y. (ii)x + y < 0. Da ist x + y (x + y) (wege B), ud es gilt (x + y) ( x) + ( y) (wege K), ud mit der zweite obige Folgerug gilt x + y (x) + ( y) x + y.

7 Aufgabe 3. Grezwerte, die Zweite..) Ud ochmals: Stelle Sie fest, ob die utestehede Folge kovergiere, ud bestimme Sie gegebeefalls de Grezwert: ( a 3 + 4, b ) +, c +, N, > 0..) Es sei x 0. Utersuche Sie das Kovergezverhalte der Folge ( x) N i Abhägigkeit vo x..) BEHAUPTUNG: Es gilt lim BEWEIS: Elemetare Umformuge ergebe: ( ) ( + ) Durch Awedug der Recheregel für Grezwerte vo kovergete Folge erhalte wir die Richtigkeit der Behauptug: ( ) BEHAUPTUNG: Es gilt lim. lim 3 lim + 4 lim lim + lim lim 3 lim DENN: Auf der eie Seite gilt ( ), ud auf der adere Seite gilt ach der Beroullische Ugleichug ( ) ( ) +. Damit ergibt sich die Behauptug (Versuche Sie das agegebe Argumet mit eiem formale ε-n-beweis zu formuliere). BEHAUPTUNG: Es gilt lim + 0. BEWEIS: Es sei ε > 0 vorgegebe. Wähle N N(ε) N mit N ε. Da gilt für alle N ( + )( + + ) ε..) BEHAUPTUNG: Für x 0 gilt lim x 0 ud für x 0 gilt lim x. BEWEIS: Da 0 0 ist, ist der erste Teil der Behauptug offesichtlich. Sei ε > 0 vorgegebe. Ohe Eischräkug köe wir aehme, daß ε ist. Falls 0 < x < ist, ist x x. Die Ugleichug x < ε ist äquivalet zu ( ε) < x. Da die Folge (( ε) ) N gege Null kovergiert, köe wir ei N ε fide (ma versuche zur Übug ei kokretes azugebe), so daß die Ugleichug x < ε für alle N ε gültig ist. Falls x ist, ist x x ud die Ugleichug x < ε äquivalet zur Ugleichug x < ( + ε). Da die Folge (( + ε) ) N über alle Schrake ud somit auch über x wächst, köe wir ei N ε fide, so daß die Ugleichug x < ε für alle N ε gültig ist.

8 Aufgabe 3. Tricky Triagle. Calvi hat offesichtlich Probleme mit zwei besoders schwere Aufgabe. Eie Lösug hat er vo Susie, aber Susie will ihm icht verrate, was die zweite Lösug ist. Helfe Sie Calvi! Wie wir aus zuverlässiger Quelle wisse, lautet die Aufgabe wie folgt: Das große Dreieck habe de Flächeihalt a. Wie ka ma die Summe der Flächeihalte der (uedlich viele) schraffierte Dreiecke bestimme (i Abhägigkeit vo a)? Die Summe der Flächeihalte der (uedlich viele) schraffierte Dreiecke ist 3a. Das ka ma sich auf zwei verschiedee Arte klarmache: geometrisch: Jedes schraffierte gleichseitige Dreieck besitzt drei kogruete Nachbardreiecke. Das uteliegede vo de drei Nachbardreiecke wird wieder i vier kogruete Dreiecke uterteilt. I jedem Schritt ist das Verhältis des Flächeihalts der schraffierte Dreiecke zu dem Flächeihalt der Gesamtfigur mius dem utestehede Nachbardreieck 3. Da der Flächeihalt des utestehede Nachbardreiecks bei wachseder Schrittzahl gege 0 geht, folgt so die Behauptug. aalytisch: Das Verhältis des Flächeihalts der erste schraffierte Dreiecke zum Gesamtflächeihalt a ist i ( ) i ( ) We u geht, da ist der Grezwert der Folge (bzw. der geometrische Reihe) gleich ud somit der Flächeihalt gleich 3 a. ( i ( 4 ) i ) N

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Adreas Hirsch WS 204/5 24.0.204 Höhere Mathematik I (Aalysis) für die Fachrichtug Iformatik Lösugsvorschlag

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.

Mehr

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...

Mehr

ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS

ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS vo Rolf Waldi 1 Kapitel I. Elemetare Zahletheorie 1 Grudlegede Regel ud Prizipie Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit gaze Zahle reche ka ud

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud e Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 008/009 Übug am 8..008 Übug 5 Eileitug Zuerst soll auf de aktuelle Übugsblatt ud Stoff der Vorlesug eigegage werde. Dazu werde

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 6

Aufgaben zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Aufgabe zu Kapitel 6 Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge x ) 2 mit x 2)/ + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we a) ε 0, b) ε 00 ist. Aufgabe

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2 Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.

Mehr

Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel.

Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel. Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dr. D. Zimmerma MSc. J. Köller MSc. R. Marczizik FDSA 4 Höhere Mathematik II 30.04.2014 el, kyb, mecha, phys 1 Kovergezkriterie

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

4-1 Elementare Zahlentheorie

4-1 Elementare Zahlentheorie 4-1 Elemetare Zahletheorie 4. Dirichlet s Satz über Primzahle i arithmetische Progressioe. Satz (Dirichlet 1837). Seie a, k atürliche Zahle. Sid die Zahle a, k teilerfremd, so gibt es uedlich viele Primzahle

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.

Mehr

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id, Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits

Mehr

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt 4 Hausaufgabe Aufgabe 4. Sie sid 0 Miute zu spät i die Vorlesug gekomme ud stelle

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1 Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 08.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie x l x

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich

Mehr

6. Folgen und Grenzwerte

6. Folgen und Grenzwerte 56 Adreas Gathma 6. Folge ud Grezwerte Wie scho am Ede des letzte Kapitels ageküdigt wolle wir u zur eigetliche Aalysis, also zur lokale Utersuchug vo Fuktioe komme. Der zetrale Begriff ist dabei der des

Mehr

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 0.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie l x 50

Mehr

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht

Mehr

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2 D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

5-1 Elementare Zahlentheorie

5-1 Elementare Zahlentheorie 5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie

Mehr

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

Nennenswertes zur Stetigkeit

Nennenswertes zur Stetigkeit Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit

Mehr

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1 Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme

Mehr

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2013 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir Überblick Mittelwertsatz Differetialrechug Natürliche Zahle Iduktiosprizip Kombiatorik Körper

Mehr

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr

Normierte Vektorräume

Normierte Vektorräume Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,

Mehr

1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe

1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe Elemetare Zahletheorie 0 Grudbegriffe 0 Teilbarkeit i N Mit N (oder auch ur N, zumidest i dieser Vorlesug werde die Mege {,, } der gaze Zahle bezeichet; wir ee diese Zahle die atürliche Zahle Wir verwede

Mehr

1 Aussagenlogik und vollständige Induktion

1 Aussagenlogik und vollständige Induktion Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 1 Aussagelogi ud vollstädige Idutio Die Mathemati basiert auf eier Reihe vo Axiome, d.h. auf mathematische Aussage, die als (offesichtlich? wahr ageomme

Mehr

Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.

Die erste Zeile (Nummerierung) denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen. Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.

Mehr

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $ Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe

Mehr

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen

Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt

Mehr

Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a

Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5-d begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge

Mehr

1. Zahlenfolgen und Reihen

1. Zahlenfolgen und Reihen . Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,

Mehr

Zahlenfolgen. Zahlenfolgen

Zahlenfolgen. Zahlenfolgen Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)

Mehr

Mathematische Vorgehensweise

Mathematische Vorgehensweise Kapitel 2 Mathematische Vorgehesweise Um eue Ergebisse zu erziele, ist es häufig otwedig, Aussage präzise zu formuliere ud zu beweise. Daher werde i diesem Kapitel die mathematische Begriffsbilduge ud

Mehr

3 Konvergenz, Folgen und Reihen

3 Konvergenz, Folgen und Reihen 3 Kovergez, Folge ud Reihe Für die Eiführug der reelle Zahle ware Cauchy-Folge vo ratioale Zahle vo großer Bedeutug. Gaz Allgemei lasse sich Folge vo Elemete i eier beliebige Mege A betrachte. Defiitio

Mehr

6. Übung - Differenzengleichungen

6. Übung - Differenzengleichungen 6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf

Mehr

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, 7.2.2007 Holger Witermayr I diesem Vortrag werde wir Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe erarbeite ud eie Vergleich zu Potezreihe ziehe. Ei weiteres Ziel dieses

Mehr

Nachtrag. Alternatives Buch zum Satz von Fermat 1999 bei amazon nur noch gebraucht

Nachtrag. Alternatives Buch zum Satz von Fermat 1999 bei amazon nur noch gebraucht Nachtrag Alteratives Buch zum Satz vo Fermat 1999 bei amazo ur och gebraucht 1 Uedliche (Zahle-) Mege 2 Wiederholug Steuer Bei eiem Eikomme vo ud eiem Steuersatz vo 33% müsse Sie Steuer zahle. Da werde

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8 1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgabe zu de Kapitel 7 ud 8 Aufgabe zu Kapitel 7 Zu Abschitt 7.1 Ü7.1.1 Ω sei höchstes abzählbar, ud X,

Mehr

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016 Übuge zu Aalysis i eier Variable für das Lehramt SS 06 Christoph Baxa ) Drei Lehramtsstudete mache gemeisam Urlaub im Süde. Da sie weig Geld habe, suche sie eie billige Uterkuft. Tatsächlich fide sie ei

Mehr

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018 LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

3. Taylorformel und Taylorreihen

3. Taylorformel und Taylorreihen Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I

Mehr

Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben.

Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben. Floria Häusler Ugleichuge. Grudsätzliches I folgede ist ur vo reelle Zahle die Rede, ohe daß dies im eizele betot wird. Es seie A, B, C,... Terme reeller Zahle, u. U. auch mit Variable. Für Ugleichuge

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr