Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

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1 Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud bereche Sie gegebeefalls de Grezwert, wobei a gegebe ist durch c +i d +i 6 e + g h k k Hiweis: Zeige Sie bei g zuächst, dass a a ud bei h, dass a +. a + b +i f + Lösug: a lim + + lim b a + i + i > Die Folge a divergiert also; somit divergiert auch die Folge a selbst. c a + a +i +i + i + i Die Folge ist also keie Cauchy-Folge, also icht koverget. Sie ist diverget. d a +i Damit kovergiert auch die Folge a e lim + lim lim + + lim + + f lim a lim lim lim g a a + a + a a + + a a a

2 Feriekurs Seite Da a ist a +. Die Folge divergiert also. k k... h k lim a k k + k k+ k + k Teleskopprodukt. Folge II Bestimme Sie die Grezwerte der wie folgt defiierte Folge a : a +si +cos b si π c + d c e +i ++i f i + + Lösug: a a si + + cos b a < ɛ 0 c a + d a c + c c + c c e +i ++i +i ++i i + +i i+ i i f Rekursive Folge Die Folge a N0 reeller Zahle sei rekursiv defiiert durch a 0 a a für. Zeige Sie, dass die Folge kovergiert ud bereche Sie de Grezwert. Lösug: Es gilt: < a < N 0 ud a > a N. Die Folge ist also streg mooto falled ud ach ute beschräkt Beweis durch vollst. Iduktio. Es existiert also ei Grezwert a. a lim a lim a a a a + 0 a { ± } {, } Da a 0 ud da die Folge streg mooto fällt, folgt daraus a.

3 Feriekurs Seite. Kovergete Folge Sei a eie kovergete Folge mit lim a : a ud s : a + a a. Zeige Sie, dass damit auch lim s a gilt. Lösug: Sei ɛ > 0. Da folgt aus der Kovergez vo a, dass es ei Nɛ N gibt, so dass a i a < ɛ für i > N. { N Für > max } a i gilt: s a N, ɛ i N a i + i in+ a i a ɛ + ɛ N ɛ. Limes superior/iferior, Häufugspukte Bestimme Sie für die Folge a N i R de Limes superior, de Limes iferior ud alle Häufugspukte. Fide Sie im Fall der Kovergez auch ueigetliche Kovergez de Grezwert. a a : + b a : + + c a : + + Lösug: a a + + ud a ud sid Grezwerte vo Teilfolge vo a ud damit Häufugspukte. Es gibt keie weitere Häufugspukte, da jede weitere kovergete Teilfolge uedlich viele gerade oder ugerade Idizes hat ud somit gege oder kovergiert. Da größter Häufugspukt ist, gilt lim sup a ; aalog ist lim if a. Da a zwei Häufugspukte hat, ist die Folge icht koverget. b a ud a + + Aalog zu a gibt es keie weitere Häufugspukte ud es gilt lim sup a bzw. lim if a ; die Folge ist also icht koverget. c Es gilt: < + < + a + ud a +. ud sid Häufugspukte vo a. Es gibt aalog zu a ud b keie weitere. Also ist lim sup a ud lim if a. Die Folge ist icht koverget.

4 Feriekurs Seite 6. Aussage über Folge Sei a N R. Zeige Sie: lim sup a a N ist icht ach obe beschräkt. Lösug: lim sup a heißt, dass es für alle c R uedlich viele N gibt mit a > c; a ist also ach obe icht beschräkt. Sei c R. Gäbe es ur edlich viele N mit a > c, z.b.,..., m, da wäre b : max {c, a,..., a m } eie obere Schrake für a, Widerspruch zur Voraussetzug! Also gibt es zu jedem c R uedlich viele N mit a > c, also lim sup a. 7. Kovergez vo Reihe Utersuche Sie folgede Reihe auf absolute Kovergez bzw. Divergez. a b c si d e! x Hiweis zu e: Archimedisches Axiom: x R 0 N : 0 > x Lösug: a a : a + a < Nach dem Quotietekriterium kovergiert die Reihe also absolut. b Sei b. Die Folge b ist eie mooto fallede Nullfolge. Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert die Reihe also. c six für alle x R. Daraus folgt: si. Da kovergiert, kovergiert ach dem Majoratekriterium auch die gegebee Reihe absolut. d Die Reihe divergiert, da eie divergete Miorate existiert: > > e Nach dem Archimedische Axiom existiert ei 0 N, so dass 0 x. Für alle 0 gilt da: + +! x+! x x ++ x x < 0 Daraus folgt mit dem Quotietekriterium die absolute Kovergez für alle x R. 8. Werte vo Reihe Bestimme Sie die Werte der agegebee Reihe.

5 Feriekurs Seite a b Lösug: a b c c + d aalog zu a 7 d Zuerst betrachtet ma Damit ist die -te Partialsumme Teleskopsumme: s + ± Kovergezradie vo Potezreihe Bestimme Sie die Kovergezradie der folgede Potezreihe: a x e + e b x x + + c + d Lösug: a x a x R lim sup a lim sup lim sup / b e +e x a x R lim a lim e + e a + e + lim + e + + e e + e + e c Nach dem Wurzelkriterium muss gelte: x lim + + lim x + x! < R + d R + lim sup lim sup + Hier ist es wichtig, tatsächlich de Limes superior zu bilde, da kei eideutiger Grezwert existiert, soder ur Häufugspukte. x

6 Feriekurs Seite 6 0. Fuktioalgleichug der Expoetialfuktio Beweise Sie für z, w C mit Hilfe des Cauchy-Produkts: expz expw expz + w Lösug: Die Expoetialreihe ist absolut koverget, weshalb das Cauchy-Produkt agewadt werde ka. expz expw! k0 k z! z k w k k0 w k k! k0 z k w k k! k!! z + w expz + w. Sius, Cosius Zeige Sie, dass für alle x R gilt: a cosx cos x cosx b six si x + six Lösug: a cosx cosx + x cosx cosx six six [cosx cosx six six] cosx [six cosx + cosx six] six cos x si x cosx cos x cos x cosx cos x cosx b six six + x [six cosx + six cosx] cosx+[cosx cosx six six] six si x + six cos x si x + six