Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14

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1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt 4 Hausaufgabe Aufgabe 4. Sie sid 0 Miute zu spät i die Vorlesug gekomme ud stelle fest, dass der Professor bereits eie Tafel vollgeschriebe hat. Weil Sie auf Ihrem Papier doppelt so schell schreibe köe wie der Professor a der Tafel, macht Ihe das keie Sorge ud Sie begie, das Versäumte abzuschreibe. I der gleiche Zeit schreibt der Professor atürlich weiter ud hat eie weitere halbe Tafel gefüllt, bis Sie die erste Tafel abgeschriebe habe. Bis Sie die wiederum abgeschriebe habe, hat der Professor och /4 Tafel Vorsprug. Der Abstad verrigert sich zwar städig, aber köe Sie de Professor jemals eihole? We ja: Wie lage brauche Sie, bis Sie das geschafft habe? Lösug zu Aufgabe 4. Natürlich werde Sie de Professor eihole. Das Paradoxo lässt sich folgedermaße auflöse: Wir betrachte die Folge (t ) der Zeitpukte, zu dee wir jeweils Ihre bzw. de Fortschritt des Professor messe, der Afagszeitpukt sei dabei t 0 = 0. Als Zeiteiheit ehme wir die Zeit, die Sie zum Abschreibe eier Tafel beötige, da ist t =. Als ächstes betrachte wir die Situatio zum Zeitpukt t 2 = +, da t 2 = + +, ud so weiter. Allgemei gilt 2 4 t = (. k=0 2) Jetzt erket ma das Problem: Die Folge der Zeitpukte, zu dee wir die Situatio beleuchte, ist eie geometrische Reihe ud kovergiert daher gege de Grezwert T := lim t = = 2. We Sie also die Argumetatio kosequet so weiterführe, betrachte Sie ur /2 Zeite uter 2 (Sie schaffe also garatiert weiger als 2 Tafel) ud währed dieser Zeit hat der Professor immer eie Vorsprug. Im Grezwert T habe Sie ämlich geau zwei Tafel abgeschriebe. Der Professor hat bis dahi halb so viel geschafft (Sie schreibe ja doppelt so schell), hat aber auch eie volle Tafel Vorsprug, also ebefalls zwei Tafel. Zum Zeitpukt T = 2 hole Sie de Professor also ei, diese Zeit erreiche Sie i der obige Betrachtug aber gar icht. Das Problem ist übriges auch als Paradoxo des Zeo oder Achilles ud die Schildkröte bekat. Aufgabe 4.2

2 Der Pharao Tarmosis hat sich eie gaz besodere Pyramide i de Kopf gesetzt ud bestellt seie Baumeister Numerobis zu sich. Folgedes Gespräch ist aus de alte Papyri überliefert: Tarmosis Numberobis, ich habe Dich komme lasse, weil Du mei bester Baumeister bist. Numerobis Zuviel der Ehre, mei Pharao! Tarmosis Ich habe eie Auftrag für Dich. Erfüllst Du ih, so will ich Dich mit Gold ud Edelsteie überhäufe. Versagst Du, so möge die Nilkrokodile über Dei Schicksal bestimme. Numerobis (schluckt) Tarmosis Ich will, dass Du mir eie Pyramide baust, die für alle Zeite vo der Größe meier Herrschaft küdet. Die Pyramide soll auf eiem Würfel erbaut sei, 00 mal 00 mal 00 Fuß solle die Ausmaße sei. Darauf schichte eie zweite Würfel, desse Seiteläge halb so lag ist, darauf wiederum eie dritte, desse Seiteläge och ei Drittel des erste beträgt, da ei Viertel ud so fort. Hast Du verstade, Numberobis? Numerobis Verzeih, mei Pharao, we ich zweifle, aber so eie Pyramide würde doch sehr hoch werde? Tarmosis Bis i de Himmel soll mei Meisterwerk reiche! Ud mit Gold solle die Wäde verkleidet sei! Numerobis Aber ka es de geug Stei ud geug Gold gebe für eie solche Pyramide? Wäre sie icht höher als jeder Mesch, ja sogar als die Götter reiche köte? Tarmosis Kleigläubiger, zweifle icht a meie Berechuge! Geh ud mach Dich a die Arbeit, auf dass das Werk zum Fest des Soegottes volledet sei! Numerobis (schleicht mit hägedem Kopf ud bedrückter Miee vo dae) Köe Sie Numberobis helfe? Wie hoch würde die geplate Pyramide? Lässt Sie sich tatsächlich mit eiem edliche Stei- ud Goldvorrat baue oder köe Sie Tarmosis Behauptug widerlege? Lösug zu Aufgabe 4.2 Sie ud Numerobis sid schelle Recher ud habe atürlich sofort das Problem erkat: We Sie uedlich viele Würfel der Seiteläge 00 (i Fuß) aufeiader stapel, erreicht die Pyramide eie Höhe vo 00 =, weil die harmoische Reihe bestimmt gege uedlich divergiert. Deoch hat Tarmosis recht (schließlich ist er Pharao): Für die Goldverkleidug beötigt ma jeweils vier der sechs Seitefläche jedes Würfels, diese habe eie Oberfläche vo je 00 2 Quadratfuß, isgesamt beötigt ma also eie Goldoberfläche vo = π2 2 6, das ist eie edliche Mege (selbst we eirechet, dass die Goldbeschichtug ja eie gewisse Dicke habe muss). Die Berechug des Grezwerts ist übriges icht so eifach. Ählich klappt es auch mit dem Steivolume: Das Volume eies Würfels beträgt ( ) 00 Kubikfuß, also beötigt ma ei Gesamtvolume vo <, 2 2

3 auch diese Reihe kovergiert also. De Grezwert azugebe ist leider och schwerer als bei der obige Reihe. Jedefalls behält der Pharao recht: Selbst we die Pyramide uedlich hoch würde, ließe sie sich doch mit edlichem Materialvorrat errichte. Was Numerobis allerdigs Sorge macht: Damit sich die Pyramide errichte ließe, müsste auch die Zeit für die Errichtug edlich sei ob sich das Problem i de Griff bekomme lässt? Aufgabe 4. Seie (a ) ud (b ) kovergete Folge mit lim a = a ud lim b = b. Zeige Sie, dass da auch die Folge c := a b kovergiert ud dass lim c = ab gilt. Fide Sie ei Beispiel, das zeigt, dass die Umkehrug dieser Aussage im Allgemeie icht gilt. Lösug zu Aufgabe 4. Sei ε > 0, da müsse wir ei N N fide, so dass a b ab < ε für alle N. Wir wähle zuächst ei δ > 0 so, dass δ < ε 2 + ( a + b )ε gilt. Da gibt es ei N N, so dass a a < δ ud b b < δ für alle N ist. Für alle solche gilt a b ab = (a a)(b b) + b(a a) + a(b b) a a b b + b a a + a b b < δ 2 + b δ + a δ < ε, also erfüllt dieses N usere Aforderuge ud die Behauptug ist gezeigt. Ei eifaches Gegebeispiel für die Umkehrug: Sei a := ud b :=, da ist die Folge a b = atürlich koverget, die Folge a ist es aber icht. Aufgabe 4.4 Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez ud bestimme Sie falls möglich ihre Grezwert. a) π c) (+2)( 7) b) ( ) d) Lösug zu Aufgabe 4.4 a) Es gilt π = ( ) = =0 π /π da <, isbesodere kovergiert die Reihe. π = π,

4 b) Diese Reihe setzt sich aus zwei geometrische Reihe zusamme: ( ) ( = ) = /5 + /5 c) Für die Summade dieser Reihe gilt ( 5) = ( =0 5) =0 = = ( + 2)( 7) = ( + 2 )( 7 ) 2, ( 5) 2 die Summade bilde also keie Nullfolge. Damit kovergiert die Reihe icht. d) Für die Summade dieser Reihe gilt Damit folgt die Reihe divergiert also = = 2. =, Aufgabe 4.5 Beweise Sie das Sadwich-Theorem aus der Vorlesug: Seie (a ), (b ) ud (c ) Folge mit lim a = lim b = d ud es gebe ei N N so, dass für alle N die Ugleichug a c b erfüllt ist. Da kovergiert die Folge (c ) ud es gilt lim c = d. Lösug zu Aufgabe 4.5 Im Folgede seie alle so groß gewählt, dass die Ugleichuge a c b erfüllt sid. Da gilt für alle solche : c d max { a d, b d }, da für jedes etweder c d, da gilt c d b d, oder aber c < d, da gilt c d a d. Sei u ε > 0, da gibt es ei N N, so dass sowohl a a < ε als auch b b < ε für alle N, damit folgt also auch c d < ε für alle diese. Das zeigt die Behauptug. Aufgabe 4.6 Zeige Sie mit Hilfe des Sadwich-Theorems: Für jedes α > 0 gilt lim α =. Lösug zu Aufgabe 4.6 I dieser Aufgabe verwede wir die Beroulli-Ugleichug. Zur Erierug: Für N ud x > gilt ( + x) + x. 4

5 Die Beroulli-Ugleichug ka ma z. B. mit Iduktio über beweise. Wir defiiere die Folge a := α, da folgt durch Awedug der Beroulli-Ugleichug: α = ( + a ) + a () Wir uterstelle zuächst, dass α > ist, da gilt a > 0, also folgt aus () für alle N die Ugleichug 0 a α. Die rechte Folge α kovergiert für gege 0, die like (kostate) Folge atürlich ebeso. Damit folgt aus dem Sadwich-Theorem, dass auch die Folge a kovergiert, ud zwar ebeso gege Grezwert 0. Da aber α = a + ist, folgt lim α = 0 + =. Ist u 0 < α <, so ist auch 0 < α < ud es gilt α = = α Da >, kovergiert für ach dem obe gezeigte, damit geht auch der α α Bruch ud somit α selbst gege. α. Aufgabe für die Tutorübug Aufgabe 4.7 Die Folge (a ) sei rekursiv defiiert durch a 0 =, a + = + a. Zeige Sie, dass die Folge mooto ud beschräkt ist ud bestimme Sie ihre Grezwert. Lösug zu Aufgabe 4.7 Wir zeige zuächst, dass a 2 für alle N 0 gilt. Dazu führe wir vollstädige Iduktio über : Iduktiosafag ( = 0): Wege a 0 = ist a 0 2 klar. Iduktiosvoraussetzug: Für ei N 0 gilt a 2. Iduktiosschritt ( + ): Wir zeige, dass a + 2 aus der Iduktiosvoraussetzug folgt. Es gilt: Damit ist die Behauptug gezeigt. a + = + a (IV ) + a + = + a (IV )

6 Im zweite Schritt zeige wir, dass die Folge (a ) mooto wächst, d. h. es gilt a + a für alle N 0. Auch dazu verwede wir eie Iduktio über : Iduktiosafag ( = 0): Es gilt a = + = a 0, die Behauptug gilt also für = 0. Iduktiosvoraussetzug: Für ei N 0 gilt a + a. Iduktiosschritt ( + ): Wir habe zu zeige, dass a +2 a + gilt. Dazu forme wir die Behauptug ei weig um: a +2 a + + a + + a a + a Da die letzte Aussage ach Iduktiosvoraussetzug gilt, ud da wir ur Äquivalezumformuge verwedet habe, folgt damit die Behauptug. Aus der Mootoie ud der Beschräktheit der Folge ergibt sich mit dem Satz aus der Vorlesug, dass (a ) kovergiert. (Geau geomme hätte es für eie mooto wachsede Folge geügt, Beschräktheit ach obe zu beweise, also a 2 ach ute ist eie mooto wachsede Folge ja ohehi durch das erste Folgeglied a 0 beschräkt. Das wusste wir aber och icht, als wir de Beweis geführt habe, also habe wir sicherheitshalber auch eie utere Schrake mitbewiese. Machmal ist so etwas hilfreich für de Beweis der Mootoie.) Um de Grezwert vo (a ) zu bereche, beutze wir die Rekursiosgleichug. Der Grezwert a muss diese Gleichug ebefalls erfülle, es muss also gelte: Die Nullstelle ergebe sich zu a = + a a 2 = + a a 2 a = 0 a,2 = ± = ± 5 2 Da 5 > 2 ud wir ja wisse, dass a 2 (was da auch für de Grezwert a gelte muss), ka vo de beide Nullstelle ur die positive der gesuchte Grezwert sei. Es gilt also lim a = Aufgabe 4.8 Kostruiere Sie Folge (a ) ud (b ) mit so dass gilt: lim a = ud lim b =, a) lim(a + b ) = +, b) lim(a + b ) =, c) lim(a + b ) = 0 d) lim(a + b ) = π 6

7 Lösug zu Aufgabe 4.8 a) Wir setze z. B. a := 2 ud b :=, da gilt a + b =. b) Hier drehe wir die Kostellatio aus b eifach um: a :=, b := 2 da ist a + b =. c) I diesem Beispiel müsse sich die beide Folge gerade aufhebe, wir wähle also z. B. a =, b =, da ist a + b = 0 die kostate Nullfolge. d) Die eifachste Lösug besteht auch hier dari, zwei sich aufhebede Folge zu verwede ud bei eier davo die Kostate π eizubaue, z. B. a := + π, b =. Damit ergibt sich a + b = π. Aufgabe 4.9 Utersuche Sie, ob die folgede Reihe kovergiere ud bereche Sie falls möglich ihre Grezwert. a) b) 2 c) 2! d) 00 Lösug zu Aufgabe 4.9 a) Wir schreibe die Reihe zuächst eimal sauber auf: + Betrachtet ma die Summade der Reihe, so stellt ma fest, dass + gilt, die Summeglieder bilde also keie Nullfolge. Damit ka die Reihe aber icht kovergiere, es gilt vielmehr + =. b) Bei dieser Reihe bilde die Summeglieder offebar eie Nullfolge, wir müsse also usere Utersuchug fortsetze. Es gilt: 2 = 2 ( ) ( = =0 ) 7

8 Die letzte Reihe kee wir aus der Vorlesug: Es hadelt sich um eie geometrische Reihe vom Typ =0 q, diese kovergiert ach Vorlesug geau da, we q < ist (das ist hier wege q = / erfüllt) ud besitzt de Grezwert. Damit folgt q 2 = ( ) = =0 = =. c) Diese Reihe erket ma wahrscheilich icht direkt wieder. Wir versuche erst eimal, Kovergez oder Divergez zu beweise. Dafür bietet sich hier das Quotietekriterium a: a + a = 2( + )! ( + )!2 = < Also kovergiert die Reihe ach Quotietekriterium. Der Grezwert ist etwas schwerer zu bereche wir müsse wieder versuche, die Reihe i eie bekate Reihe umzuschreibe. Dafür bietet sich hier die Expoetialreihe e x = x =0 a (die Sie vielleicht! och icht kee de Grezwert müsse Sie also och icht herausfide köe): 2! = 2 ( )! = 2 =0! = 2e = 2e Dabei habe wir eie Idexverschiebug beutzt, um die ( )! i! umzuschreibe (ud zugleich de Startidex 0 i die Reihe zu bekomme). d) Diese Reihe kommt us aus der Vorlesug bekat vor es gilt 00 = 00 Die Reihe ist also bis auf de Faktor die harmoische Reihe, ud da diese divergiert, 00 kovergiert auch usere Reihe icht. Es gilt also 00 =.. 8

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