Beweistechniken Vollständige Induktion - Beispiele, Erweiterungen und Übungen

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1 Beweistechike Vollstädige Iduktio - Beispiele, Erweiteruge ud Übuge Alex Chmelitzki 15. März Starke Iduktio Eie etwas abgewadelte Form der Iduktio ist die sogeate starke Iduktio. Bei dieser Spielart besteht die Iduktiosvoraussetzug icht bloÿ aus der Aahme, dass etwas für gilt, soder für alle Zahle kleier oder gleich. Diese Techik ka sehr ützlich sei ud i Aufgabe Awedug de, i dee us die gewöhliche Iduktio icht weiterbrigt. Hier ei Beispiel: wir wolle beweise, dass jede atürliche Zahl, die gröÿer oder gleich zwei ist, etweder eie Primzahl oder das Produkt vo midestes zwei Primzahle ist. Das ist sicherlich richtig für die Zahl, de sie ist selber eie Primzahl. Nu kommt der Iduktiosschritt: Ageomme die Aussage stimmt für alle Zahle. Nehme wir die Zahl +1. Etweder sie ist eie Primzahl, was die Aussage bestätige würde, oder +1p q für irgedwelche Zahle p ud q, die beide kleier sid als +1. (Du erierst dich, dass ach Deitio eie Zahl prim ist, we sie ur durch sich selbst ud durch eis teilbar ist. Das bedeutet, dass we eie Zahl icht prim ist, sie durch zwei Zahle teilbar sei muss, die beide kleier sid als die Zahl selbst.) Aber ach Iduktiosvoraussetzug sid p ud q beide Produkte vo Primzahle ud somit ist auch +1p*q eis! Eiige Übugsaufgabe.1 Quadratzahle sid Summe vo ugerade Zahle Beweise durch Iduktio, dass die Summe der erste ugerade Zahle ist, oder i Symbolsprache: Der Turm vo Haoi 1 Dieses Spielt wurde vom frazösische Mathematiker Edouard Lucas i 1883 erfude. Wir habe drei Stäbe, auf eiem vo dee Scheibe verschiedeer i1 1

2 Gröÿe i Form eier Pyramide ageordet sid: Ei Zug besteht dari, vo eiem Stab die oberste Scheibe heruterzuehme ud auf eie adere Stab zu setze. Dabei darf aber iemals eie gröÿere Scheibe auf eier kleiere liege. So köte also die Positio ach eiige Züge aussehe, we 6 ist: Es gibt viele Aspekte a diesem Spiel, die für de Mathematiker iteressat sid. Wir stelle us erstmal ur die Frage, wieviele Züge wir brauche um die komplette Pyramide vo eiem Stab auf eie der adere beide zu verschiebe...1 Wieviele Züge brauchst du bei eier Scheibe? Ud bei Scheibe? Wieviele sid es bei 3 Scheibe? Du kast es mit Müze, Bierdeckel verschiedeer Gröÿe oder eifach deier Fatasie ausprobiere... Versuche, eie Vermutug zu äuÿer wie die allgemeie Formel für Scheibe aussieht! Schreibe hierzu die Werte die du für 1,,3 herausbekomme hast i eie kleie Tabelle ud schaue, ob dir eie Regelmäÿigkeit auällt. Tip: Bei 4 Scheibe wirst du 15 Züge brauche...3 Beweise deie Vermutug durch Iduktio. Überlege hierzu, wie du eie Pyramide aus +1 Scheibe verschiebe würdest, we du bereits wüsstest wie ma eie Pyramide aus Scheibe verschiebt!.3 Geometrische Reihe 1 Versuche, durch vollstädige Iduktio zu zeige, dass < für alle 1! i i1 Du wirst feststelle, dass es hierbei ei Problem gibt. Welches? 1 Nu beweise durch vollstädige Iduktio, dass i 1 für alle 1!.4 Übug zur starke Iduktio Ma weiÿ, dass für jede Zahl 3 es eie Primzahl p gibt, die zwische / ud liegt, also / < p <. Beutze diese Tatsache ud die Techik der starke Iduktio, um zu beweise, dass jede atürliche Zahl eie Summe vo verschiedee Primzahle ist. (Hier wird auch die 1 als Primzahl betrachtet.) i1

3 .5 Fiboacci-Zahle Die Fiboacci-Folge ist eie der bekateste sogeate rekursive Folge. Relursiv bedeutet, dass jedes Glied der Folge durch die vorhergehede deiert ist. Die Folge sieht folgedermaÿe aus: Die erste Zahl, wir ee sie a 1, ist 1. Die zweite ist zwei: a. Um u die -te Zahl zu de brauche wir die beide vorhergehede. Die Formel ist a a 1 +a. Das bedeutet, dass jede Zahl der Folge die Summe der beide vorhergehede ist..5.1 Schreibe die erste 8 Glieder der Folge auf!.5. Stell dir vor, du baust eie Mii-Mauer aus Ziegelsteie. Jeder Ziegelstei ist ei Kästche breit ud zwei Kästche hoch. Wir wolle wisse, wieviele verschiedee Möglichkeite es gibt, eie Mauer der Höhe Kästche ud der Läge Kästche zu baue. Hier sid zum Beispiel alle Möglichkeite für 1,,3: Wieviele Möglichkeite gibt es für 4 ud 5? Vergleiche mit deiem Ergebis aus.5.1 ud beweise die Regelmäÿigkeit, die dir auällt! 3 Iduktio am Beispiel eies geometrische Problems Bislag sah es vielleicht so aus, als sei die vollstädige Iduktio ur etwas für Aussage aus der Zahletheorie. Das ist icht gaz falsch, aber es gibt viele Möglichkeite, Frage aus adere Bereiche der Mathematik auf eie Aussage über atürliche Zahle zu reduziere. Das mag zuächst sehr theoretisch klige, aber hier ist ei kokretes Beispiel. Stelle wir us vor, wir habe ei Brett vo der Gröÿe Felder. Für köe wir irgedeie atürliche Zahl eisetze. Zum Beispiel we 5 ist, da ist das Brett 3 3 Felder groÿ. Jetzt ehme wir a, wir decke ei Feld mit eier Müze zu ud versuche die übrige Felder mit Figure abzudecke, die jeweils geau drei Kästche um die Ecke abdecke: Diese Eckgure dürfe sich dabei icht überlappe ud alle Felder, auÿer das mit der Müze, müsse abgedeckt sei. Die Frage ist u, für welche das 3

4 überhaupt möglich ist ud ob es dabei eie Rolle spielt, wo wir die Müze hipacke. Möglicherweise hast du jetzt keie Ahug, wo du afage sollst. I diesem Fall ist es oft eie gute Idee, ei kokretes zu ehme (ei möglichst eifaches!) ud auszuprobiere. We 1 ist, habe wir es mit eiem -Brett zu tu ud die Sache ist klar: Decke ei Feld mit der Müze ab ud decke die restliche drei mit eier Eckgur zu. Das ist atürlich immer möglich, egal auf welches Feld wir die Müze lege: Die ächste atürliche Frage wäre: Was ist mit, sprich mit eiem 4 4- Brett? Nu ja, ei 4 4-Brett besteht im Grude aus vier -Bretter ud wir wisse bereits, wie wir jedes vo diese abdecke. Allerdigs habe wir das Problem, dass wir für jedes -Brett eie Müze brauche. Lege wir doch die vier Müze i die mittlere vier Kästche: Jetzt köe wir problemlos drei davo etfere ud mit eiem Eckteil ersetze! Das gibt us die erwüschte Abdeckug! Bleibt och die Frage: Ist es egal, wo wir die Müze liege habe? Köe wir sie auf jedes beliebige Feld lege ud die restliche mit de Eckgue abdecke? Natürlich! Wir köe die Müze gaz oesichtlich auf jedes der mittlere vier Felder lege. Doch wir köe auch jedes der vier -Bretter drehe ud somit die Müze i jedes Eckfeld des 4 4-Bretts bekomme. Spätestes jetzt sollte us der Verdacht komme, dass wa immer wir es schaffe, ei Feld der Gröÿe auszulege, wir auf dem Erreichte aufbaue köe ud ei Feld der Gröÿe auslege köe. Versuche, de Iduktiosschritt zu de ud damit de iduktive Beweis zu vervollstädige! 4 Erweiterug useres Repertoires - Eie ugewöhliche Iduktio Mal ageomme, wir habe reelle Zahle, die wir a 1, a,..., a ee. Das geometrische Mittel ist deiert als a 1 a...a. Das arithmetische Mittel ist a 1+...a. Wir wolle beweise, dass das arithmetische Mittel immer midestes geauso groÿ ist wie das geometrische, also dass oder, was dasselbe ist a1 a...a a a ( a1 +...a a 1 a...a ) 4

5 uabhägig davo wie viele Zahle wir habe ud was für Zahle das sid. (Probiere es ruhig mit x-beliebige Zahle aus!) Es gibt dafür über 50 verschiedee Beweise, aber wir wolle us eie besoders schöe iduktive Beweis aschaue, der gemeihi Cauchy zugeschriebe wird, eiem groÿe Mathematiker des 19. Jahrhuderts. Für us ist er besoders iteressat, weil er eie recht ugewöhliche Iduktio beutzt. Sei P() die Aussage a 1 a...a ( ) a 1+...a für beliebige Zahle. Wir zeige zuächst, dass P() gilt: Für beliebige zwei Zahle a 1 ud a wisse wir dass (a 1 a ) 0 a 1 a 1 a + a 0 a 1 + a a 1 a a 1 + a 1 a + a 4a 1 a (a 1 + a ) 4a 1 a ( a1 + a ) a 1 a a 1 + a a 1 a Damit ist der Iduktiosafag fertig! Beachte, dass das der erste ichttriviale Iduktiosafag war, bei dem es tatsächlich etwas zu beweise gab. Das u folgede Prozedere mag etwas ugewöhlich erscheie, aber we ma darüber achdekt, ka ma sich davo überzeuge, dass es die Gültigkeit vo P() für alle beweist. Wir werde i zwei Schritte vorgehe. Wir werde zeige: (A) aus P() folgt P(-1) ud (B) aus P() ud P() folgt P(). Auf geht's: (A) Seie a 1,..., a 1 irgedwelche -1 Zahle. Wir deiere A Ageomme P() gilt. Was ist da mit P(-1)? Nu 1 1. (a 1... a 1 ) A P () 1 + A ( ) ( 1)A + A A ud we wir auf beide Seite durch A dividiere, bekomme wir a 1... a 1 A was geau die Aussage P(-1) ist! 5

6 Nu also zu Schritt (B), der etwas achdeke erforder wird: a 1... a (a 1... a ) (a a ) P () P () ( [( ( ) ) ) + ( k+1 ( k+1 ( k+1 ) )] ) Nimm dir die Zeit, jede Schritt achzuvollziehe ud sei icht etmutigt, we es etwas läger dauert! Der Beweis beutzt ur elemetare Umformuge ud die Iduktiosvoraussetzuge. Die Stelle, a dee i Schritt (B) P() ud P() als Voraussetzuge beutzt werde, sid etspreched markiert. 6