Elementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion -

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1 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite vo Elemetare Beweismethode - Direter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollstädige Idutio - 0. Vorbemerug zum Begriff des (allgemeie) Beweises Ei Beweis ist die Bestätigug eier Vermutug oder Behauptug. Mathematischer Beweis Eie Behauptug X gilt als bewiese, we eie edliche Kette vo logisch orrete Impliatioe vorhade ist. {A,,A } B B m X {A,,A } Mege vo Axiome Variate : Kette vo logisch äquivalete Behauptuge X C C m {A,,A } Notwedig sid aber immer ur Impliatioe der Richtug Axiome Behauptug. Direter Beweis Es wird vo eiem bereits als richtig bewieseem Satz (Voraussetzug p) ausgegage ud daraus die Wahrheit des zu beweisede Satzes (Behauptug q) abgeleitet. Bei der logische Schlussfolgerug wird vorwieged die Impliatio oder die Äquivalez verwedet. Beispiel (eifach) Behauptug: Das Quadrat jeder gerade atürliche Zahl ist gerade. Beweis: Sei eie gerade atürliche Zahl. Da lässt sich darstelle als, wobei eie atürliche Zahl ist. Daraus folgt: ² ()² () () 4 ² ( ²). ist daher das Doppelte eier atürliche Zahl (Ausdruc i Klammer; sogar dieser ist bereits gerade) ud damit gerade. Beispiel (Impliatio) : AM-GM-HM-Ugleichug für Zahle a + b Behauptug : Es gilt die Ugleichug ab für a>0, b>0 + Beweis : Voraussetzug : biomische Formel (a+b)² a² + ab + b² Durch Subtratio vo 4ab folgt : (a+b)² - 4ab (a-b)² 0 a Daraus folgt Umittelbar die erste Ugleichug, we ma sich beim Radiziere wg a,b > 0 auf das positive Vorzeiche beschrät. b Weiter gilt : ab ab ab ab a + b a + b

2 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite vo Beispiel 3 (Äquivalez) Behauptug : + a + a² + + a < a für 0 < a < Beweis : Multipliatio mit -a (-a > 0, d.h. das Ugleichheitszeiche bleibt bestehe) ergibt : -a + a a² + a² - a³ +/- + a a + a + < Wege 0 < a + < ist die etstadee UG richtig, ud da die Recheoperatioe umehrbar eideutig sid, ist auch die Ausgagsugleichug richtig. 3. Idireter Beweis Beweis durch Widerspruch Um die Behauptug q zu beweise, geht ma vo der Negatio q aus ud schließt vo q auf eie falsche Aussage r, d.h. q r. Da muss aber auch q falsch sei, da ma bei der Impliatio ur vo eier falsche Voraussetzug zu eier falsche Behauptug ommt. We aber q falsch ist, muss q war sei. Formal : X B... Bm W A (Behauptug X, Axiom A) Dazu muss bei der Formulierug vo X stets die Formel omplette Aussage muss egiert werde. Beispiele zur richtige Negatio X " X ist falsch beutzt werde, d.h. die Behauptug X Richtige Negatio X Falsche Negatio Alle Schafe sid schwarz Nicht alle Schafe sid schwarz Alle Schafe sid icht schwarz Jede Zahl ist gerade Nicht jede Zahl ist gerade Jede Zahl ist ugerade ist irratioal ist ratioal 3 ist irratioal Beispiel 4 (Primzahlebeweis) Behauptug : X Es gibt uedlich viele Primzahle Aahme : X Es gibt edlich viele Primzahle Beweis : X sei richtig. Seit J die edliche Azahl aller Primzahle. Die Primzahle werde aufsteiged aufgelistet : p, p 3, p 3 5, p 4 7,. bis p j Ud dere Produt gebildet : N j p p p... p Offesichtlich : N ist durch jede Primzahl teilbar. Da ist aber die Zahl N+ durch eie Primzahl teilbar, ud daher selbst eie Primzahl. Diese Primzahl ist i der obige Liste icht aufgelistet, da N+ > N > p j Widerspruch, da die Aahme war, dass usere Liste alle Primzahle ethält. Also ist X falsch ud daher X richtig. j p j

3 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite 3 vo Beispiel 5 Behauptug : Die Zahl ist irratioal. Aahme : Beweis : sei ratioal. Da a ma, darstelle als Bruch wobei ud atürliche Zahle ud o. B. d. A. teilerfremd sid. Daraus folgt durch Quadriere: ² ² ². ² Folglich ist eie gerade Zahl. Da die Wurzel aus eier gerade Quadratzahl auch gerade ist (Satz), ist selbst gerade. Also ist / eie atürliche Zahl. Nu forme wir die letzte Gleichug um: ² ². Das zeigt, dass ud somit auch gerade atürliche Zahle sid. ud sid also gerade ud habe somit beide de Teiler. Damit sid ud icht teilerfremd im Widerspruch zu der Aahme. Also ist die Aahme, sei ratioal, falsch. Beispiel 6 Gegebe : 3 irratioale Zahle. Behauptug : Es gibt uter diese drei Zahle, dere Summe auch irratioal ist. Aahme : Es gibt eie Zahle, dere Summe irratioal ist, d.h. je zwei Zahle habe eie ratioale Summe. Beweis : Bezeichug der 3 irratioale Zahle mit x, y ud z Die Summe a y + z b z + x c x + y sid also alle ratioal. ( z + x) + ( x + y) ( y + z) b + c a Da ist x Da a, b ud c ratioal sid, muss auch die Zahl x ratioal sei. Widerspruch zur Voraussetzug, dass x, y ud z alle irratioal sid. Demach ist die Aahme falsch, ud usere Behauptug, dass es Zahle gibt, dere Summe irratioal ist, ist richtig

4 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite 4 vo Beweis durch die vollstädige Idutio Historisches Die vollstädige Idutio ist zuerst 654 bei Blaise Pascal ud 659 bei Pierre de Fermat zu fide. Sie wurde jedoch bis 879 ur für arithmetische Probleme beutzt. Erst als Gottlob Frege mit ihr die Klasse der atürliche Zahle defiierte, wurde sie zu eiem allgemeigültige Beweisverfahre i der Mathemati. Motivatio Es wird vermutet, dass eie Aussage für alle atürliche Zahle gilt. Bei der gegebee Problemstellug ist es allerdigs och icht geluge, eie für alle atürliche Zahle gültige Aussage azugebe. Da die Mege der atürliche Zahle uedlich ist, ist es ebeso icht möglich die Richtigeit der Aussage für jede Zahl eizel zu beweise. Durch die Methode der vollstädige Idutio a aber trotzdem gezeigt werde, ob die Aussage für die gesamte Mege richtig ist. Idee Ist beat, dass eie bestimmte Aussage für gilt ud dass sie für jedes beliebige auch für + gilt, da folgt ach dem Idutiosaxiom, dass die Aussage für alle gilt. Auf de erste Blic scheit das Problem ur aders formuliert worde zu sei, idem die ächste Zahl eifach als die vorhergehede plus bezeichet wurde. Immer och sid es uedlich viele Zahle, doch durch de allgemeie Ausdruc + a davo ausgegage werde, dass die Aussage für bis gilt. Selbst die Formel, die ma zu beweise sucht, a im Beweis als Voraussetzug für Zahle uterhalb der atuelle Zahl (das bedeutet uterhalb vo + ) verwedet werde. Übersicht Mit dieser Beweismethode werde Sätze/Formel bewiese, die vo atürliche Zahle abhäge. Das Prizip der vollstädige Idutio lautet : Ist eie Aussage für eie atürliche Zahl 0 wahr ud folgt aus der Wahrheit der Aussage für eie atürliche Zahl 0 die Wahrheit der Aussage für +, da ist die Aussage für alle Zahle 0 gültig. Daach erfolgt der Beweis i folgede Schritte :. Idutiosafag (IA) : Die Wahrheit der Aussage wird für 0 gezeigt. Meist a ma 0 wähle.. Idutiosvoraussetzug () : Die Aussage sei für wahr 3. Idutiosschluss (IS) : Ma zeigt, dass die Aussage für + wahr ist. Beispiel 7 Zu beweise ist, dass ( + ) Ageomme, die Formel wurde bereits bis zur Zahl bewiese. Nu soll gezeigt werde, dass die Formel für + ebeso Gültigeit besitzt (d.h. ach dem Beispiel soll die Summe (+) berechet werde). Die erste Summade bilde eie solche Summe, ud zwar für, was leier ist als +. Also darf ma - durch die Voraussetzug, dass die Formel für bereits bewiese ist - diese Schritt abermals awede: ( + ) ( + ) + ( + ) I diesem Ausdruc wird (+) ausgelammert:

5 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite 5 vo ( + ) + ud dies weiter umgeformt zu + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ((( + ) + ) Zu beachte ist, dass beliebig gewählt werde darf. Beim Vergleich dieses Ausdrucs mit dem zu beweisede Ausdruc ist festzustelle, dass lediglich durch + ersetzt ist. Damit ist der Schritt vo zu + für allgemeie Werte vo bewiese. Der große Vorteil des Idutiosbeweises zeigt sich dari, dass die Schritte icht mehr eizel durchgeführt werde müsse. Bewiese werde muss ur, dass eie Aussage für die uterste Zahl (etweder 0 oder ) gilt ud ebeso, we sie bis zu eier beliebige Zahl gilt, dass sie auch für die ächste Gültigeit besitzt. (So ist es theoretisch möglich jede Zahl durch die städige Awedug der eizele Schritte zu erreiche.) Beispiel 8 Aufgabe : Berechug der Summe S der erste ugerade Zahle. Lösug : Es ist S, S 4, S 3 9 Behauptug : S ² Idutiosafag () : Idutiosvoraussetzug : Die Aussage ist für A() wahr. Idutiosschluss : S + S + (+) ² + + (+)² Die Formel ist somit für + bewiese. Beispiel 9 (Beroullische Ugleichug) Aufgabe : Ma beweise, dass ( + ) f + α α gilt, we α R mit α > ud α 0, ℵ, > Lösug : IA : : ( + α) + α + α ² f + α : Die Behauptug ist für A() wahr. + ( + α) ( + IS : + ( + ) α + α) ( + α) > ( + α )( + α) α ² > + ( + ) α Somit ist die Ugleichug für + bewiese. Beispiel 0 (optioal) Aufgabe : Beweis der Differezierugsregel für Moome : ( x )' x für ℵ Beat sei die Produtregel (fg) f g + fg x + ε x Lösug : IA : es ist x)' x ( lim lim ε 0 : Die Behauptug ist für A() wahr ε ε 0 für + IS : ( x )' ( x x) ( x )' x + x ( x)' x x + x ( + ) x Damit ist die Formel für + bewiese.

6 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite 6 vo Häufige Fehler Beim Beweis durch Idutio trete zwei Fehler besoders häufig auf. Der Idutiosschritt futioiert zwar, die Behauptug gilt für die Afagsbedigug aber icht. Ma öte z.b. behaupte, dass ( + ) Falls diese Behauptug für ei gelte würde, da würde sie auch für + gelte! Da sie aber für icht gilt, ist sie falsch! Der Idutiosschritt ist icht für alle gültig, d.h. es gibt midestes ei ( 0 der Veraerug), für das er icht awedbar ist. Hier ei Beispiel für so eie falsche Beweis: Behauptug: Alle Zahle sid gleich. Beweis: Wir vergleiche Mege vo Zahle, dabei sei die Azahl der Elemete der Mege. Idutiosbegi: Für sid alle Elemete der Mege gleich, es gibt ja ur eies! Idutiosvoraussetzug: Ageomme, i eier Mege mit Zahle sid stets alle Zahle gleich Idutiosschluss: Da sid auch alle Zahle i eier Mege mit + Zahle gleich, de: Etfert ma aus der + -elemetige Mege eie Zahl x, da erhalte wir eie -elemetige Mege, i der ach Voraussetzug alle Zahle gleich sid. Füge wir x wieder hizu ud etfere eie adere Zahl y, da sid wieder alle Zahle der Restmege gleich. Es folgt, dass x y gelte muss, also sid alle Zahle der Mege gleich. Der Fehler liegt dari, dass ma ur da verschiedee Zahle x ud y etfere a, we die Mege midestes Elemete hat ( ). Der Schluss vo auf + ist also ur für > orret! Dass die Behauptug für richtig ist hilft us icht, da auf diese Fall der Idutiosschritt überhaupt icht awedbar ist! Beweis für fast alle atürliche Zahle Der Idutiosbeweis ist auch für Aussage möglich, die icht für alle atürliche Zahle, soder ur für alle Zahle ab eiem gewisse Startwert gelte. So lässt sich beispielsweise für die Ugleichug ² der Idutiosschritt für 3 durchführe: + ² laut Idutiosvoraussetzug, ² f + + ( + ) für 3. Die Ugleichug ist allerdigs für 3 falsch, gilt aber für 4; der Idutiosbeweis zeigt also die Gültigeit der Ugleichug für 4. Die edlich viele Fälle, die durch de Idutiosbeweis icht abgedect sid, öe eizel utersucht werde. Ameruge a) Aus rechetechische Grüde wird oft als Idutiosschritt icht vo auf + geschlosse soder vo auf. Dies ist allerdigs lediglich eie Notatiosäderug, die machmal die Umformuge vereifacht, macht aber asoste eie Uterschied b) Machmal ist es otwedig, für de Beweis der Aussage für + die Gültigeit sowohl für als auch für (oder für och mehr Vorgäger) vorauszusetze. Der Idutiosafag muss da allerdigs für mehrere Startwerte (also z.b. 0 ud ) durchgeführt werde, da ja beispielsweise für de Idutiosschritt für auch die Voraussetzug für beötigt würde. Ei Beispiel wäre der Beweis der Formel vo Biet f ( a b ) mit a ud b 5 für die Fiboacci-Folge f.

7 Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite 7 vo Literaturagabe Frau Dr. Griberg : Mathematisches Problemlöse für Schüler, Lehrer ud Studete Herder : Aussagelogi, Mege, Relatioe Borstei : Taschebuch der Mathemati Wiipedia