Streifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus

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1 Copyright, Page 1 of 6 Streifzug durch die Welt der Biome ud darüber hiaus Die biomische Formel sid ützliche Istrumete, welche i viele Gebiete der Mathemati gewibriged eigesetzt werde öe. Dabei ist ei Biom (bi- ommt vom lat. bii = je zwei) eie Summe oder eie Differez vo je zwei Glieder a ud b, also etweder (a+b) oder (a-b). Die Qualitäte der biomische Formel eret ma isbesodere bei der Lösug vo Gleichuge ud dem Vereifache vo Brüche ud Wurzelterme. Die drei biomische Formel laute: biomische Formel: (a+b) = a +ab +b. biomische Formel: (a-b) = a -ab +b 3. biomische Formel: (a+b)(a-b) = a -b Beispiel: (a) Bereche vo (Zahle-)Quadrate: 98 = (100 -) = = = (b) Berechug vo Produte: 33 7 = (30+3)(30-3) = 30-3 = = 891. Dabei a ma die Biome bzw. die Terme a ud b durch ei eifaches lieares Gleichugssystem bestimme. Schließlich muss gelte (i) a+b=x ud (ii) a-b=y. Addiert ma (i) ud (ii), so erhält ma a= (x+y), also a= (x+y)/a. Mit Hilfe der Gleichug (i) oder (ii) a ma da de Term b bereche. 1 (c) Vereifache eies Ausdrucs mit Wurzel. Es sei gegebe. Wir erweiter diese Term i 3 1 Zähler ud Neer um jeweils 3 1, damit ergibt sich für de Neer: (3 1)(3 1) = ( 3-1) = (9-1) = 17. Isgesamt gilt also = = Die 1. ud. biomische Formel öe gemäß dem biomische Lehrsatz verallgemeiert werde. Dazu führe wir de Biomialoeffiziete ei: Defiitio: (Biomialoeffiziet) Für, mit 0, defiiert ma ( 1)( ) ( 1) := 13 Wir setze och :=1. 0 (sofer 1).

2 Copyright, Page of 6 Spezielle Werte der Biomialoeffiziete sid: 1 = 1 =. ( 1)( ) ( 1) = 13 =!! = 1. Mit Hilfe des Teilmegesatzes a ma die Biome (a-b) Poteze zweigliedriger Summe. mit a,b ud bereche, also Satz 1: (Der biomische Lehrsatz) Für a,b ud gilt (a+b) = a b. 0 Beispiel: Wir verifiziere de biomische Lehrsatz für die Fälle = ud =3 für folgedes Biom: Sei =, da gilt (1+x) = 1 x = x x 1 + = 1 + x + x. 10 x Sei =3, da gilt (1+x) 3 = 1 x = x x x x 3 = 1 + 3x + 3x + x 3. Korollar : (Der biomische Lehrsatz) Eie Mege M vo Elemete besitzt geau verschiedee Teilmege (il. M ud ). Beweis: Sei die Azahl der Teilmege (Mächtigeit). Da gilt. Dabei sid die eizele Biomialoeffiziete die Teilmege mit =0,, Elemete. 0 1 = = =. Wir setze a=b=1 ud erhalte a b = =(1+1) =().

3 Copyright, Page 3 of 6 Die im folgede Satz ethaltee Reursiosformel ermöglicht es, die Biomialoeffiziete i eifacher Weise ach ud ach zu bereche. Satz 3: (Pascalsche Dreiec ud die Biomialoeffiziete) Es seie, mit 0. Da gilt (i) (ii) (iii) =!!( )! = 1 = 1+ Bemerug: Dertige Gleichuge sollte immer mit Blic auf das Pascalsche Dreiec bewiese werde. Zu (i): Hier wird die Rechevorschrift aus der Defiitio ur umgeformt. =! ( 1)( ) ( 1) ( )! ( 1)( ) ( 1) = =!( )!! ( )!! Zu (ii): Hier wird gerade die Symmetrie des Pascalsche Dreiecs begrüdet. I jeder Zeile, sid das -te ud das (-)-te Elemet gleich. Zu (iii): Das ist gerade die reursive Bildugsvorschrift des Pascalsche Dreiecs. I der Graphi durch die Pfeile agedeutet. Die Summe des -te ud des (-1)-te Elemetes der -te Zeile wird das -te Elemet i der (+1) Zeile. Bemerug: Durch das Pascalsche Dreiec ist es z.b. möglich, das Biom (a+b) 5 diret iederzuschreibe. Dazu liest ma die etsprechede Koeffiziete eifach ab ud erhält (a+b) 5 = 1a 5 b 0 + 5a 4 b a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 +1b 5.

4 Copyright, Page 4 of 6 Die 3.biomische Formel geht icht ohe weiteres aus dem biomische Lehrsatz hervor. Offesichtlich gilt jedoch a -b = (a-b)(a+b) a 3 -b 3 = (a-b)(a +ab+b ) a -b? (a-b)(a -1 b 0 +a - b a 1 b - + a 0 b -1 ) (*) Im Folgede werde wir (*) auf verschiedeste Arte beweise. 1.Beweis: Es sei zuächst f: mit f(a)=(a -b ) ei (omplexwertiges) Polyom. Offesichtlich ist b 0 eie -fache Nullstelle des Polyoms f, de es gilt f(b) = b - b = 0. Durch Polyomdivisio bzw. durch das Horer-Schema öe wir das gegebee Polyom vollstädig fatorisiere. Bei Polyomdivisio vo f mit (a-b) erhält ma schließlich die Gleichheit vo (a - b ) = (a -1 b 0 + a - b a 1 b 0 + a 0 b -1 )(a b)..beweis: Nu beweise wir (*) mit Hilfe der (edliche) geometrische Reihe vorgegebe 1x 1 x für x 1. Dazu sei 1x 0 a b ab a 1 b a = a1 b a 1 b a = a -1 1b a 1 = a -1 b a da isg. Terme zu berücsichtige sid! 0 = a b b [ a a + b ] a = a -1 b 0 + a - b 1 + +a 1 b -1 +a 0 b -1 a -b = (a-b)(a -1 b 0 +a - b a 1 b - + a 0 b -1 ) 3.Beweis: Zum Schluss u der für die meiste wohl aheliegedste Beweis durch vollstädige Idutio. Die Idutiosveraerug folgt umittelbar mit Hilfe der dritte biomische Formel. Es gelte also die Idutiosvoraussetzug für (beliebig aber fest). Wir zeige de Idutiosschritt vo auf +1. Es gilt also ach Idutiosvoraussetzug a -b = (a-b)(a -1 b 0 +a - b a 1 b - + a 0 b -1 ) ud wir müsse zeige, dass gilt a +1 -b +1 = (a-b)(a b 0 +a -1 b 1 +a - b + + a 1 b -1 + a 0 b ). Dazu setze wir atürlich a: a +1 -b +1 = aa -b +1 = a(a -b )+ab -b +1 = a(a -b )+b (a -b) = a((a-b)(a -1 b 0 +a - b a 1 b - + a 0 b -1 )) +b (a-b) = (a-b) [a(a -1 b 0 +a - b a 1 b - + a 0 b -1 )+b ] = (a-b) [a b 0 +a -1 b a b - + a 1 b -1 +a 0 b ], ud damit habe wir de Idutiosschritt ud somit auch die Behauptug achgewiese.

5 Copyright, Page 5 of 6 I dem berühmte Wer vo Leohard Euler Vollstädige Aleitug zur Algebra wird beschriebe, wie eie vermischte quadratische Gleichug ax ± bx ± c = 0 allgemei (auf-)gelöst wird. Um diese Auflösug achvollziehe zu öe beötigt der Leser Ketisse über die eifache biomische Formel. Auch hier a ma wiederrum eree, dass die biomische Formel sehr bedeuted ud elemetar für die gesamte Mathemati sid. Durch Additio bzw. Subtratio a jede beliebige Gleichug auf die folgede Form gebracht werde ax ± bx ± c = 0 x ± b/ax ± c/a = 0 x ± px ± q = 0 durch Substitutio p:=(b/a), q:=(c/a) x ± px = ± q (*) Es gilt allgemei (x+) = x +x+, ud zuächst scheit diese Eretis hier icht awedbar, da schließlich die Auflösug des echte Quadrats eie dreitermige Gleichug gebiert. Betrachte wir jedoch das echte Quadrat (x+½p), so wäre px das doppelte Produt beider Teile ud x der quadrierte erste Teil. Schließe wir also die Lüce durch Additio des Quadrates des zweite Teils, d.h. Additio vo ¼p, so fide wir auf der lie Seite folgeder Gleichug ei echtes Quadrat. Es sei och agemert, dass wir im Folgede das Vorzeiche ur mehr eifach berücsichtige. x +px+¼p = q+¼p Additio vo ¼p (x+½p) = q+¼p echtes Quadrat bilde (x+½p) = x = -½p + q+¼p Wurzel ziehe q+¼p Wurzel ziehe Ud da jede Quadratwurzel sowohl positiv als auch egativ sei a, folgt damit die allgemeie Lösug: x 1, = -½p ± ¼p + q. I dieser Formel ist u die Regel ethalte, ach welcher alle Quadratgleichuge aufgelöst werde öe, ud damit ma icht immer ötig habe, das obige Verfahre vo euem azustelle, empfiehlt es sich, dass ma de Ihalt dieser Formel dem Gedächtisse wohl eiprägt. Diese obe geate Formel a auf die Form x 1, = ± a b b 4ac gebracht werde. Dem Ede dieses Doumetes ist der quadratische Ergäzug, welche i obigem Beweis bereit Verwedug fad, gewidmet. Eie quadratische Ausdruc ax ± bx ± c a ma durch diese Operatio i eie eier biomiale Formel etsprechede Ateil ud eie Rest r aufspalte: Beispiel: ax +bx+c = b a ax + + r = ax +bx + b a = ax +bx+c., mit r= c - b a + c - b a 4a +8ab+b = (a+b) +b 4b = (a+b) 3b.

6 Copyright, Page 6 of 6 Hiweis: Habe Sie eie Fehler oder eie Ustimmigeit i diesem Doumet etdect? Helfe Sie mit die Qualität der Mausripte zu verbesser. Sede Sie bitte eie a Alexader@mathemati-etz.de. Viel Spaß mit der Mathemati!