37. Österreichische Mathematik Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene 27. April 2006

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1 7. Österreichische athemati Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittee 7. April 006 ) Es seie 0 < < y reelle Zahle. H y, G y y, A y, Q y das harmoische, geometrische, arithmetische ud quadratische ittel vo ud y. Beatermaße gilt H<G<A<Q. a orde die Itervalle [H,G], [G,A] ud [A,Q] aufsteiged ach ihrer Läge. ) Sei > eie atürliche Zahl ud a eie reelle Zahl. a bestimme alle reelle Lösuge (,,., ) des folgede Gleichugssystems: a 0 a a a a ) Im icht gleichschelige Dreiec ABC sei w die Symmetrale der Außewiel bei C. (äußere Wielsymmetrale vo Gamma) Der Schittput vo w mit der Verlägerug vo AB sei D. Sei u A der Umreis des Dreiecs ADC ud aalog B der Umreis des Dreiecs BDC. Sei t A die Tagete a A i A ud aalog t B die Tagete a B i B. Sei P der Schittput dieser beide Tagete. Gegebe sid u die Pute A ud B. a bestimme die ege der Pute P(C) über alle Pute C, sodass ABC ei icht gleichscheliges, spitzwieliges Dreiec ist..) Es sei < h > N eie harmoische Folge positiver ratioaler Zahle, (d.h. jedes h ist das harmoische ittel der beide Nachbar:. h. h h ) h h a zeige: Ethält die Folge ei Glied h j, das das Quadrat eier ratioale Zahl is so ethält sie uedlich viele Glieder h, die Quadrate ratioaler Zahle sid.

2 Gebietswettbewerb für Fortschrittee - LÖSUNGEN 7. April 006. Aufgabe: Es seie 0 < < y reelle Zahle. H y, G y y, A y, Q y das harmoische, geometrische, arithmetische ud quadratische ittel vo ud y. Beatermaße gilt H<G<A<Q. a orde die Itervalle [H,G], [G,A] ud [A,Q] aufsteiged ach ihrer Läge. Lösug: LÖSUNG: a wähle geschicte Werte für ud y, z.b. ud y 00, da folgt: H,98.., G 0, A 50,5 ud Q 70,7 ud für die Läge l[h,g] 8,0, l [G,A] 0,5 ud l[a,q] 0,. Daraus ergibt sich die Vermutug: l[h,g] < l[a,q] < l[g,a] Zeige zuerst die rechte Ugleichug: y y y y > bzw. y y > y y y Da alle Werte positiv sid, a quadriert werde: ( y) > y.. y ( y) y ( y) y Ud durch umforme: ( y) >.. y bzw. >.. y. Ei ( y) weiteres al quadriere liefert: >.( y y ) ud ( y) > 8. y 8y ud schließlich ( y) > 0, womit die rechte Ugleichug bewiese ist. Aalog geht ma mit der lie Ugleichug y y y > y vor: y y y y y >. Wege Q>G ud A >H sid die Differeze positiv ud öe y y y ( y) y quadriert werde: y... y > y ud weiter: ( y) ( y). y ( y).. y > ( y) y y y y >. ( y) y y ( y) y y ud schließlich. Für die lie Seite gilt wege A>G: ( y) y y ( y)..( y y ) y y >.. ( y).( y) (8 Pute)

3 . Aufgabe: Sei > eie atürliche Zahl ud a eie reelle Zahl. a bestimme alle reelle Lösuge (,,., ) des folgede Gleichugssystems: a 0 a a a a Lösug:. Beispiel: : a a 0 a 0 0 lässt eree, dass a ; a. a. ud i der. Gleichug folgt: a. a. a..( a ) 0. Damit ergebe sich Fälle: a beliebig mit a <>; a ud a -, die zu uterscheide sid. Das. Beispiel: führt zu letzte Gleichug.( a ) 0 ud damit eret ma für beliebige aus N mittels der Summeformel vo Gauß für die Poteze vo a die erste Gleichug der.( ) Form:.[ ( ). a ] 0 Fall : a<> liefert für die ecige Klammer iemals 0 ud so gibt es ur die triviale Lösug:.. 0 Fall; a u ist zu uterscheide :.( ) ( t... t) () gerade: so folgt:.[ ] 0 L ud somit ist t R { }.( ) () ugerade: so folgt:.[ ] 0 L ud somit ist 0 (0,0,0,0...,0) { } frei wählbar ud wieder triviale Lösug Fall; a - u ist zu uterscheide : () gerade: so folgt für,6,0, m-.[ )] 0 somit ist 0, 0,..., also L {(0,0,0,...,0)}, we aber 0 mod da gilt:.[ )] 0 ud es folgt: L {(..., )} t.( ) () ugerade: so folgt für,,7, m-:.[ ] 0 ud somit ist 0 L (0,0,0,0...,0), aber we mod da gilt:.[ )] 0 triviale Lösug { } es folgt: L {(... )} (8 Pute) t wieder die ud

4 . LÖSUNG: Zuächst eiige triviale Vorutersuchuge: a 0: K 0 Wir betrachte ab u: a 0: 0 : K K 0 Erstes Resultat: ( ) ist immer Lösug! Wir werde sehe, häufig die Eizige! Wir betrachte u ur och:, 0, K, 0 0 Das Gleichugssystem lässt sich umforme zu: a. a. a. Das Produt aller Gleichuge lautet: ( a) K a. a.( ) ( ). a a. Sei a ist gerade K L {(t -t t -t t -t) t R} eie Gerade im R Sei a : Da gibt es zwei Fälle zu utersuche:.( ) ist gerade ( ).( ) a ist gerade teilt Wir erhalte: K L {(t t -t -t t t -t -t t t -t -t) t R} wiederum eie Gerade im R.( ) ist ugerade ( ).( ) a ist ugerade ( ) ist ugerade.l mod Wir erhalte: K L {(t t -t -t t t -t -t t t -t -t t) t R} auch eie Gerade im R Lösugsübersicht: a a ud ugerade L {( )} a ud oder mod a ud gerade a ud 0 mod a ud mod L {(t -t t -t t -t) t R} L {(t t -t -t t t -t -t t t -t -t) t R} L {(t t -t -t t t -t -t t t -t -t t) t R}

5 . Aufgabe: Im icht gleichschelige Dreiec ABC sei w die Symmetrale der Außewiel bei C. (äußere Wielsymmetrale vo Gamma) Der Schittput vo w mit der Verlägerug vo AB sei D. Sei u A der Umreis des Dreiecs ADC ud aalog B der Umreis des Dreiecs BDC. Sei t A die Tagete a A i A ud aalog t B die Tagete a B i B. Sei P der Schittput dieser beide Tagete. Gegebe sid u die Pute A ud B. a bestimme die ege der Pute P(C) über alle Pute C, sodass ABC ei icht gleichscheliges, spitzwieliges Dreiec ist.eie reelle Lösuge (,y)? LÖSUNG: a zeichet die Figur (siehe Sizze) so, dass C rechts vo der ittelserechte s AB vo AB liegt ud das Dreiec spitzwielig aber icht gleichscheelig ist. Da ergibt sich die Vermutug, dass P auf dieser ittelserechte vo AB liegt. Beweis: Der Wiel ACD 90 γ/ ist supplemetärer Peripheriewiel im Umreis A zum Peripheriewiel 90 -γ/. Wege des Sehe-Tagetewielsatzes gilt: DAP BAP 90 -γ/. Aalog ist der Wiel DCB 90 -γ/ Peripheriewiel im Kreis B über der Sehe BD. Damit schließt die Tagete t B ebefalls mit DB, bzw. mit AB de Wiel 90 -γ/ ei. Damit ist das Dreiec ABP gleichschelig mit dem Wiel APB γ. Damit liegt P tatsächlich auf der ittelserechte s AB ud außerdem auf dem Umreis ( Peripheriereis!) vo ABC. Da ABC spitzwielig is liegt P außerhalb des Thalesreises über AB, aber immer auf der ittelserechte. (8 Pute). Aufgabe: Es sei < h > N eie harmoische Folge positiver ratioaler Zahle, (d.h. jedes h ist das harmoische ittel der beide Nachbar:. h. h h ) h h a zeige: Ethält die Folge ei Glied h j, das das Quadrat eier ratioale Zahl is so ethält sie uedlich viele Glieder h, die Quadrate ratioaler Zahle sid. Lösug: Beispiel: Die eifache harmoische Folge h / erfüllt die Bedigug ud ethält uedlich viele Quadratzahle der Form. a eret dabei, dass die Kehrwertfolge arithmetisch ist; dies. h. h h h ergibt sich aus der Defiitio: h h h bzw.. Die h h h Kehrwertfolge bildet also eie arithmetische Folge a a. d 0 mit ratioalem a 0 ud h e d. f

6 p Sei u ei a j eie ratioale Quadratzahl der Form. a defiiere u ei y m der q Form: y m q. f.. d mit d e/f ud eie beliebige atürliche Zahl. Da gilt: y ( q. f.. d).. q. f.. d q. f.. d (. p. f. q f d). d a... m j Weiter: y m a0 ( j pf q² f ² ². d). d a0 N. d, wobei N jpfq²f.².e eie atürliche Zahl ist. Somit ist die Quadratzahl y m ei arithmetisches Folgeglied i userer Folge a N a0 N. d. Somit liege auch ihre Reziprowerte, ebefalls Quadrate ratioaler Zahle, i der harmoische Folge. q.e.d. (8 Pute)