b) Alle ganzen Zahlen die auf 0 enden sind durch 5 teilbar Spezialisierung: 120 endet auf ist durch 5 teilbar

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1 d) Die Beweismethode der vollstädige Iduktio Der Übergag vo allgemeie zu spezielle Aussage heisst Deduktio Beispiele: a) Allgemeie Aussage: Spezialisierug: Schluss: Alle Mesche sid sterblich Sokrates ist ei Mesch Sokrates ist sterblich b) Allgemeie Aussage: Alle gaze Zahle die auf 0 ede sid durch 5 teilbar Spezialisierug: 0 edet auf 0 Schluss: 0 ist durch 5 teilbar Der Übergag vo spezielle zu allgemeie Aussage heisst Iduktio. Im Gegesatz zur Deduktio ka die Iduktio zu falsche Folgeruge führe. Beispiele: a) Vermutug: 4 erzeugt für alle atürliche Zahle Primzahle (Euler) Die Vermutug ist falsch, de 684 b) Auf eier Kreisliie werde wie i Abbildug agegebe,,, 4, 5, 6, Pukte agebracht. Wird jeder dieser Pukte mit jedem ader verbude, so wird die Kreisfläche i Gebiete zerlegt. Die agegebee Glieder der Folge lasse vermute, dass sich mit jedem eue Pukt die Azahl der Teilgebiete verdoppelt. Es zeigt sich aber dass sechs Pukte de Kreis i maximal Teilgebiete zerlege. Die Folge ist uter Name Moserfolge bekat ud ihre erste Glieder laute,, 4, 8, 6,, 57, 99, 6, 56, 86, vollst_id.docx :7:00

2 Damit stellt sich die Frage, wie i der Mathematik die Iduktio azuwede ist, damit ma richtige Folgeruge erhält? Die Beweisidee ka a folgedem Experimet illustriert werde: Wir stelle Domiosteie so auf, dass mit jedem Stei auch der ächste umkippt. Stösst ma u de erste Stei um, da werde alle Steie falle: Der Beweis, dass eie Aussage für alle atürliche Zahle gilt, besteht aus zwei Schritte:. Iduktiosverakerug: Es ist zu zeige, dass die Aussage für richtig ist.. Iduktiosschluss: Es ist zu zeige, dass sich die Richtigkeit der Aussage vererbt: Immer da, we eie Aussage für eie Stufe richtig ist, ist sie auch für die ächste Stufe richtig. Der italieische Mathematiker G. Peao hat 889 die atürliche Zahle durch 5 Axiome charakterisiert. Das füfte Axiom lautet: Eie Eigeschaft, die der Zahl zukommt ud mit jeder atürliche Zahl auch ihrem Nachfolger, kommt alle atürliche Zahle zu. Beispiele: a) Beweise die explizite Formel für das -te Glied eier geometrische Folge. Behauptug:. Iduktiosverakerug für = :. Iduktiosschluss: Aahme: Die Behauptug ist richtig für die Stufe : () () Nachweis vo.: Gemäss Defiitio der geometrische Folge gilt: Bemerkug: Nach dem Mathematiker Paul Halmos wird das Ede eies Beweises mit eiem ausgefüllte Quadrat, Halmos geat, bezeichet. Die bereits erwähte Potezgesetze oder die Formel i de Abschitte arithmetische oder geometrische Folge köe ebefalls mit vollstädiger Iduktio bewiese werde. vollst_id.docx :7:00

3 b) Bereche Sie für eiige atürliche Zahle die Werte der folgede Summe, stelle Sie eie Vermutug für die Summeformel auf ud beweise Sie diese. Tipp: Allefalls sid die Brüche zu kürze oder zu erweiter. Vermutug:. Iduktiosverakerug für = :. Iduktiosschluss: Aahme: Die Behauptug ist richtig für die Stufe : () () () ( + ) s+ = s + = + = + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) + = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + () ach Defiitio vo () ach der Iduktiosvoraussetzug () mit erweitert. Übugsaufgabe: Beweise Sie: k= k = ( + ) ( + ) 6 Bemerkug: Daraus folgt umittelbar, dass der Zähler i der Summeformel durch 6 teilbar ist (was i c) mit vollstädiger Iduktio bewiese wird). vollst_id.docx :7:00

4 4 c) Beweise: z = + + = ( + ) ( + ) ist für alle atürliche Zahle durch 6 teilbar.. Iduktiosverakerug für : 6 ist durch 6 teilbar. Iduktiosschluss: Aahme: Die Behauptug ist richtig für die Stufe : ist durch 6 teilbar ist durch 6 teilbar. z = ( + ) + ( + ) = = ( + + ) + ( ) = z + 6 ( + + ) Nach Iduktiosvoraussetzug ist der erste Summad durch 6 teilbar, der zweite Summad ethält de Faktor 6, damit ist auch die Summe also durch 6 teilbar, womit die Vererbug achgewiese ist. Übugsaufgabe: Beweise Sie: 8 ist durch 7 teilbar Direkter Beweis: Vergleiche die Formel für die geometrische Reihe. d) Beweis der Ugleichug vo Beroulli: ( + x) > + x N,, x > -, x 0. Iduktiosverakerug für = : ( + x) = + x + x > + x (da >0. Iduktiosschluss: Aahme: Die Behauptug ist richtig für die Stufe : ( + x) > + x + ( + x) > + ( + ) x Die Iduktiosaahme wird mit dem positive Faktor multipliziert: ( + x) ( + x) > ( + x) ( + x) = + ( + ) x + x > + ( + ) x (da >0) ach Vor.) vollst_id.docx :7:00

5 5 e) Beweise Sie de Satz: Gerade i allgemeier Lage zerlege die Ebee i g ( + = + ) () Gebiete. 4 = + = vollst_id.docx :7:00

6 6 Durch iduktives Schliesse vermutet ma mit Berücksichtigug der arithmetische Summeformel die folgede explizite Formel: = + ( ) = + ( + ) = ( + + ) g Für die Azahl der Gebiete gilt die folgede Rekursiosformel: g + = g + ( + ) Kommt ämlich z.b. zu Gerade eie weitere dazu, so scheidet sie die bisherige Gerade i Pukte, welche die eue Gerade i 4 Teile zerlege. Jede dieser Teile zerlegt ei bisheriges Gebiet i Teile, d.h. es komme Gebiete dazu. Beweis vo () mit vollstädiger Iduktio:. Iduktiosverakerug für : g ( = + + ). Iduktiosschluss: Aahme: g ( = + ) = (( + ) + ( + ) + ) = ( + 4) g + + Wege der Rekursiosformel ud der Iduktiosvoraussetzug gilt: g = g + ( + ) = ( + + ) + + = ( ) = ( ) Übugsaufgabe: Gesucht ist eie Rekursiosformel für die Azahl der Gebiete, i welche Kreise allgemeier Lage die Ebee teile. Beweise Sie die explizite Formel: g = ( ) + Beispiel: Tip: Es gilt die Rekursiosformel: g = g = g + + Bemerkug: Es ist zu beachte, dass beide Schritte eies Iduktiosbeweises wesetlich sid. Es folgt ei Beispiel eier Aussage, dere Richtigkeit sich vererbe würde. Die Aussage ist aber falsch, de sie lässt sich icht veraker. s = = + 8 ( ) Obwohl die Aussage falsch ist, gilt tatsächlich: vollst_id.docx :7:00