Lösungen zur Präsenzübung 6

Transkript

1 Lösuge zur Präsezübug 6 Mirko Getzi Uiversität Bielefeld Fakultät für Mathematik. Dezember 203 Ich gebe keie Gewähr auf eie vollstädige Richtigkeit der Lösuge zu de Übugsaufgabe. Das Dokumet hat jedoch de Aspruch, eie möglichst vollstädige Lösug der sechste Präsezübug der aktuelle Aalysis I Vorlesug zu sei. Eie Veröffetlichug oder Vervielfältigug ist ur ach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokumets erlaubt. Die Lösuge sid zum Teil a de Musterlösuge vo Simo Michel ageleht, die wir Tutore wöchetlich erhalte. Mirko.Getzi@ui-bielefeld.de Tutor der Aalysis I im WiSe 3/4

2 Mirko Getzi 2 Lösuge zur Präsezübug 6 Diese Woche befasst sich die Präsezübug hauptsächlich mit dem Umgag mit Reihe, d.h. mit dere Eigeschafte, Kovergezkriterie, Beweismethode ud sogar mit ihre Aweduge. Zuächst eimal ist es wichtig, dass ma versteht was eie Reihe ist. Hierfür ehme wir us zuächst eie Folge (a ) N. Nu defiiere wir die k-te Partialsumme der Folge (a ) als folgede Summe: S k := Wir summiere also vo = 0 bis = k alle Folgeglieder a auf ud ee S k da die k-te Partialsumme. Nu köe wir weitergehed die Folge der Partialsumme (S k ) k N defiiere. Dies ist jee Folge, dere Folgeglieder aus de jeweilige obige Partialsumme bestehe. Als Beispiel ehme wir mal a = + N. Da hat S k folgede Form für alle k N: S k := =0 a = =0 Somit erhalte wir die Folge der Partialsumme: a =0 + (S k ) k N = ( 0+, , ,...) = (, 3 2, 6,...) Nu köe wir darüber hiaus uedliche Reihe defiiere. Wir bezeiche als uedliche Reihe de Grezwert der k-te Partialsumme für k, falls die Folge der Partialsumme koverget ist: a := lim =0 Aufgabe (Awedugsbeispiel Reihe) a k =0 Die betrachtete Schecke wird als puktförmig ageomme, damit wir ihre eigee Größe icht berücksichtige müsse. Die Schecke bewegt sich mit eier kostate Geschwidigkeit vo 0, 05 m h. Stüdlich wird das Gummibad, auf dem sich die Schecke bewegt, um m gedeht. Bei dieser Dehug wird atürlich auch die Schecke fortbewegt, ämlich um deselbe Streckfaktor, um de das Gummibad am Ede jeder Stude gedeht wird. Bestimmug des Streckfaktors: Am Ede jeder Stude soll sich das Gummibad um m dehe. Beispielhaft betrachte wir das Ede der vierte Stude ( = 4). Vor der Dehug hat das Gummibad eie Läge vo 3m, wir löse also 3 x = 4 ud erhalte 4 3 als Lösug für de Streckfaktor. Probiere wir dies sukzessive für weitere aus, so komme wir auf de allgemeie Streckfaktor um de das Gummibad am Ede der -te Stude gedeht wird. Bestimmug der Fortbewegug der Schecke: Wir defiiere us u eie Folge (S ) N, welche die zurückgelegte Strecke der Schecke am Ede der -te Stude darstellt. Hierzu werde wir us bewusst, dass diese Strecke immer vo 2 Bewegugskompoete abhägt: i) Zurückgelegte Strecke bis zum Ede der vorherige Stude multipliziert mit dem Streckfaktor, da die Schecke durch die Dehug ebefalls voraschreitet ii) Strecke, die die Schecke aufgrud ihrer kostate Geschwidigkeit ohehi zurücklegt

3 3 Uter Berücksichtigug dieser beide Bewegugskompoete erhalte wir, dass S := 0, 05 ud für alle weitere N\{0, } defiiere wir rekursiv S = S. Nu utze wir diese rekursive Vorschrift aus ud ersetze diese sukzessive ud erhalte: S Rekursio = (S 2 2 S = S ausmult. = S 2 2 Rekursioe =... = S 2 = 0, 05( k= k ) ) +... Wir habe u eie Formel gefude, die us die zurückgelegte Strecke zu beliebiger Stude berechet. Erreicht die Schecke das Ede? Damit die Strecke das Ede des Gummibades erreicht, muss ei N existiere, so dass gilt: 0, 05( k= k ) ( k ) 20 k= Nu wisse wir bereits aus der Vorlesug, dass die Folge ( k= k ) N divergiert (harmoische Reihe). Isbesodere ist für ei geüged groß gewähltes also auch der Wert 20 überschritte. Wir folger, dass ei N existiert, so dass die Schecke am Ede des Gummibads akommt. Amerkug: Ma ka mit Hilfe vo adere Recheverfahre (bspw. Differetialgleichuge) sogar bestimme, wa die Schecke das Ede erreicht. Rechet ma dies durch, so erhält ma als Ergebis mehrere taused Jahre. Ob puktförmige Schecke tatsächlich so lage lebe oder icht, darum dürfe sich die Biologe uter euch da kümmer!

4 4 Aufgabe 2 (Kovergez ud Divergez) a) Nutze Quotietekriterium. Es sei a :=! N\{0}. Da gilt für alle : a + a = (+)!! (+) + = (+) (+) + = ( + ) = (+ ) 2 =: θ < Bei der Abschätzug zu 2 geht die Abschätzug aus Blatt 4 Zusatzaufgabe 3 ei. Da wir ei θ (0, ) fide mit a + a θ N, liefert us das Quotietekriterium die absolute Kovergez (ud isbesodere die Kovergez) der gegebee Reihe. b) Betrachte die Partialsumme zur gegebee Reihe. Wir tu dies, damit wir die Summe zuächst eimal bedekelos auseiaderziehe köe, ohe absolute Kovergez forder zu müsse. = + 2 = = ( + ) 2 2 = = diverget Da bereits ei Teil der Partialsumme diverget ist (als harmoische Reihe), ist die gesamte Partialsumme diverget. Der formale Beweis fuktioiert sehr elegat über Bemerkug (iii) auf S. 53 im Skript. Hierzu wähle a := + ud c 2 :=. Da gilt für alle N\{0}: a c 0. Außerdem ist die Folge der Partialsumme über die a die harmoische Reihe ud somit ach Beispiel 7.4 (i) diverget. Das Divergezkriterium (auch Mioratekriterium geat) liefert da die Divergez der gegebee Reihe. + = 2

5 5 Aufgabe 3 (Eigeschafte icht absolut kovergeter, kovergeter Reihe) a) Sei die gegebee Folge der Partialsumme über die a koverget, aber icht absolut koverget. Wir utze eie Widerspruchsbeweis. Wir ehme also außerdem Œ a, dass es ur edlich viele egative Folgeglieder vo (a ) gäbe. Ist dies der Fall, so existiert ei 0 N, so dass a 0 0. Nu betrachte wir die edliche Summe vo eiem beliebige 0 ud eiem beliebige m N ud es gilt für diese offebar (da alle Folgeglieder a 0): m m a = a k= Da aber die Folge der Partialsumme bereits koverget ist, muss sie ach obiger Gleichug ud Defiitio 7.6 (absolute Kovergez) auch absolut koverget sei. Dies liefert us de Widerspruch, da ach Voraussetzug die Folge der Partialsumme icht absolut koverget sei sollte. Folglich gibt es uedlich viele egative ud uedlich viele positive Folgeglieder. q.e.d. Amerkug: Ei Beweis über edlich viele positive Folgeglieder fuktioiert aalog, daher köe wir die obige Aahme Œ tätige. b) Es sei (a k ) k N die Teilfolge vo (a ), die alle positive Folgeglieder beihaltet, ud (a l ) l N jee Teilfolge, die alle egative Folgeglieder vo (a ) beihaltet. Außerdem kovergiere die Reihe über die a. Zu zeige: a k = a l = Beweis: Wir wolle im Edeffekt zeige, dass die Reihe über die obige Teilfolge divergiere. Wir führe also im Folgede eie Falluterscheidug aus, bei der wir zuächst aehme, dass beide Teilfolge koverget sid ud im ächste Fall ur eie vo beide Folge koverget ist. Diese Aahme führe wir jedoch zum Widerspruch, so dass die Teilfolge diverget sei müsse. Fall : Seie beide Reihe koverget. Da gilt (uter aderem per Defiitio des Betrages): a = < =0 a k < k= a l < Dies ist ei Widerspruch zu der Voraussetzug, dass die Reihe icht absolut koverget sei soll (vgl. Defiitio 7.6 [absolute Kovergez]). Wir folger also, dass keie Reihe oder höchstes eie Reihe koverget sei darf. Fall 2: Nu sei ur eie der beide Reihe koverget. Œ ehme wir also a, dass die Reihe der positive Folgeglieder divergiert ud die Reihe der egative Folgeglieder kovergiert ud als Grezwert eie reelle Zahl b besitzt, d.h.: a k = a l = b < Gehe u zur Partialsumme über ud es gilt für alle N k : N a a i + a l = =0 i=0 i=0 a i für k b

6 6 Also gilt folglich auch lim N =0 N a =, dies ist jedoch ei Widerspruch zur getätigte Aahme, dass die Reihe koverget sei. Wir folger aus Fall 2 zuächst ur, dass etweder beide oder keie Reihe koverget sid. Da wir i Fall jedoch bereits ausgeschlosse habe, dass beide Reihe koverget sid, habe wir somit gezeigt, dass keie der Reihe über die Teilfolge koverget ist uter de gegebee Voraussetzuge. Somit divergiere die Reihe ud es gilt: q.e.d. a k = a l =