Lösungen 7.Übungsblatt

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1 Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe: a) (x 2) b) x2 c) 3 (4 + ( ) ) 2 x d) Für welche x R kovergiere die Reihe? Lösug: 2 x a) Sei a : +5 für N. Es gilt de a + 5, / / ( N) ud lim 6 / /. Also ist der Kovergezradius ρ ud die Potezreihe kovergiert für x (, 3) ud divergiert für x < oder x > 3. Für x kovergiert die Reihe ach dem Leibizkriterium, da (a ) mooto falled ist, für x 3 divergiert die Reihe ach dem Mioratekriterium, da a +5 : b > 0 ud b divergiert. b) Sei { m2 m, falls m 2 für ei m N a : 0, sost. Da gilt a m 2 am 2 (m2 m ) m 2 m m 2 2 m, de m m 2 m m ud die rechte Seite kovergiert ach Vorlesug gege für m. Also lautet der Kovergezradius ρ ud die Reihe kovergiert für x < ud divergiert für x >. Für x kovergiert die Reihe ach dem Wurzelkriterium, de a m0 m2 m ud m m2 m 2 < für m.

2 c) Sei a : (4+( ) ) 2. Es gilt a (4 + ( ) ) 2 9, d.h. der Kovergezradius ist ρ 9; daher liegt Kovergez für x < 9 ud Divergez für x > 9 vor. Im Falle x 9 ist die Reihe 3 a x diverget, de a x a 9 ( 3 ) ( ) d) Sei a : 2. Da ist die Folge ( a ) ( ) ach obe ubeschräkt ud es folgt ρ 0. Daher liegt Kovergez ausschlieÿlich im Pukt x 0 vor. Aufgabe 26 (K) a) Bestimme Sie das Cauchy-Produkt der Reihe 2 ud 3 ud bereche Sie desse Wert. b) Sei a 0 : 0 ud a : ( ) + für N. Zeige Sie, dass die Reihe a kovergiert ud das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert. Warum ist der Satz aus der Vorlesug über die Kovergez des Cauchy-Produkts icht awedbar? Lösug: a) Sei a : 2, b : 3 für N 0, sei c : a k b k 2 k 3 k 3 (3 2 ) k 3 ( ) Da die geometrische Reihe absolut kovergiere, kovergiert auch ihr Cauchy- Produkt c ud der Reihewert ist c a b b) Die Folge ( ) ist mooto falled gege 0, sodass a ach dem Leibizkriterium kovergiert. Die Reihe kovergiert icht absolut, de a für. Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst kovergiert icht, de c a k a k

3 ( ) k+ ( ) k+ k k k k k k( k) 2 2( ) ud dies ist keie Nullfolge. Daher kovergiert das Cauchy-Produkt mit sich selbst icht. Der Satz aus der Vorlsug ist icht awedbar, da a icht absolut kovergiert. Aufgabe 27 a) Beweise Sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts die Additiostheoreme: si(x + y) si(x) cos(y) + cos(x) si(y) cos(x + y) cos(x) cos(y) si(x) si(y) (x, y R), (x, y R). b) Beweise Sie mit Hilfe der Additiostheoreme die folgede Formel: cos(2x) 2 si 2 (x) 2 cos 2 (x) cos(x) + cos(y) 2 cos ( x + y ) (x y ) cos 2 2 (x R), (x, y R). Lösug: a) Wir wede de Satz über die Kovergez des Cauchy-Produkts auf si, cos a: si(x) cos(y) + cos(x) si(y) ( ( ) x2+ )( ( ) y2 ) (2 + )! (2)! ( + ( ) x2 )( ( ) y2+ ) (2)! (2 + )! ( ) k x 2k+ (2k + )! y 2 2k ( ) k (2 2k)!

4 + ( ) ( ) ( ) k x2k ( ) 2+ y 2+ 2k (2k)! ( ) k (2 + 2k)! x 2k+ y 2 2k (2k + )!(2 2k)! + ( ) x 2k y 2+ 2k (2k)!(2 + 2k)! ( x 2k+ y 2+ (2k+) (2k + )!(2 + (2k + ))! + x 2k y 2+ 2k ) (2k)!(2 + 2k)! ( ) (2 + )! (x + y)2+ ( ) (2 + )! si(x + y). x k y 2+ k k!(2 + k)! 2+ ( 2 + k ) x k y 2+ k Aalog zeigt ma die adere Gleichug. Wir habe verwedet, dass aus der Kovergez vo a, b die Gleichug (a + b ) a + b folgt (siehe Vorlesug). b) Aus a) folgt mit cos(x) 2 + si(x) 2 für x R cos(2x) cos(x) 2 si(x) 2 2 si(x) 2 2 cos(x) 2. Hieraus folgt wiederum 2 cos ( x + y ) (x y ) ( x cos 2 cos( ) cos(y 2 ) si(x 2 ) si(y 2 ))( cos( x 2 ) cos(y 2 ) + si(x 2 ) si(y 2 )) 2 ( cos( x 2 )2 cos( y 2 )2 si( x 2 )2 si( y 2 )2) 2 ( ( si( x 2 )2 ) cos( y 2 )2 si( x 2 )2 si( y 2 )2) 2 cos( y 2 )2 2 si( x 2 )2 (cos(y) + ) ( cos(x)) cos(y) + cos(x) Aufgabe 28 Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe: ( ) 2 3 a) (x + 3) b) 2 x

5 c) 0 (!) 2 (2)! (x + ) d) Für welche x R kovergiere die Reihe? ( ) x a) Sei a : ( +3) 2 3. Da a ( + 3 ) 3 ( 3 ) +3 ( 3 ) 6 e 3 e Der Kovergezradius ist daher ρ e 3. Daher liegt Kovergez für x ( 3 e 3, 3 + e 3 ) vor ud Divergez für x < 3 e 3 oder x > 3 + e 3. Im Falle x + 3 e 3 divergiert die Reihe, de für N gilt b) Sei WAHR ( + 3 ) e 3 ( + 3 ) ( ) 3 e ( ) 3e a (x + 3). Also ist (a (x + 3) ) keie Nullfolge, sodass die Reihe a (x + 3) divergiert. Da a : { 2 m, falls m 2 für ei m N 0, sost. a m 2 am 2 2 /m ud der Kovergezradius ist. Da (a ) keie Nullfolge ist, erhalte wir Kovergez der Reihe für x < ud Divergez für x. c) Es gilt (siehe Groÿe Übug Nr. 7) (!) 2 (2)! (! ) 2 ( 2 (2)!! 2 (2)! 2 ) 2 (e 2 e ) Der Kovergezradius ist demach ρ 4 ud die Reihe kovergiert für x + < 4 ud divergiert für x + > 4. Im Fall x + 4 divergiert die Reihe (!) 2 0 (2)! (x + ), de für b : (!)2 (2)! (x + ) > 0 gilt sodass (b ) keie Nullfolge sei ka. b + b 2( + ) 2 +,

6 d) Es gilt ud darum Der Kovergezradius ist daher ρ. Da ( ) keie Nullfolge ist, erhalte wir Kovergez der Reihe für x < ud Divergez für x.