Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

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1 Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, Holger Witermayr I diesem Vortrag werde wir Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe erarbeite ud eie Vergleich zu Potezreihe ziehe. Ei weiteres Ziel dieses Vortrages ist es, Dirichlet-Reihe uter gewisse Voraussetzuge als Produkte darzustelle. Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe I diesem Abschitt beschäftige wir us mit der Kovergez vo Dirichlet-Reihe ud vergleiche diese mit der Kovergez vo Potezreihe.. Satz Sei a s eie Dirichletsche Reihe mit Kovergezabszisse σ 0 ud sei σ die Kovergezabszisse vo a s. Da gilt σ 0 σ σ 0 +. Beweis Sei σ R mit σ > σ. Da ist a σ absolut koverget ud es folgt, dass a σ kovergiert. Daher erhält ma aus der absolute Kovergez der Reihe die Kovergez ud es gilt σ 0 σ. Sei u s σ + it C mit σ, t R ud σ > σ 0 +. Wege σ > σ 0 kovergiert die Reihe a σ, also ist a σ+ N eie Nullfolge, das heißt für alle ε > 0 existiert ei 0 0 ε N mit a σ+ < ε für alle 0. Isbesodere existiert also ei C > 0 mit a σ+ < C für alle N zum Beispiel C : max{ a, a 2 2 σ+,..., a 0 0 σ+ } +.

2 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Weil die Riemasche Zetafuktio ζz für alle z σ + it C mit Rez > kovergiert, gelte für alle N N folgede Abschätzuge N a σ+ε N C N a σ ++ε N a σ+ +ε a σ+ +ε N +ε C ζ + ε <. C +ε C N +ε Damit kovergiert die Reihe a σ+ε absolut für alle σ > σ 0 + ud für alle ε > 0. Da σ if{σ R ; a σ kovergiert absolut} ist, folgt σ σ 0 + ud somit die Behauptug. Dieser Satz ist ur für gewöhliche Dirichlet-Reihe gültig. Ma betrachte dazu folgedes.2 Beispiel Die Reihe l s 2 kovergiert für alle s C, aber kovergiert für kei s C absolut. Beweis Zur absolute Kovergez: Für die absolute Kovergezabszisse σ der Reihe l s 2 gilt mit λ l l ud a ach [Z] Satz 2 N l 2 σ lim sup N ll N. Da x [x] für alle x R mit x 2 gilt, erhält ma die folgede Abschätzug N N+ N+ dx [x] dx x [ 2 x ] N+ 2 N

3 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Ma defiiere u die Fuktioe f : 2, R, x l 2 x ud g : 2, R, x llx. Die Fuktioe f ud g sid auf dem Itervall 2, differezierbar, mit der Ableitug g x /l x x 0 für alle x 2,, ud es gilt lim f x lim gx x x Daher ist der Satz vo L Hospital awedbar ud ma erhält für de Grezwert lim x f x gx lim x f x g x lim x 2 x+ 2 2 x+ l x x lim x l x x 2x x + l x x lim x x x+ lim l x x + x x+. Daraus folgt σ lim sup N l N 2 l l N lim sup N l2 N ll N. Deshalb kovergiert die Reihe für kei s C absolut. Zur bedigte Kovergez: Sei α < 0. Defiiere die Fuktio h : 0, R, x l x α x. Für jedes x e 2α gilt da h x l x α α x 3 2 l x 2 l x α x 3 2 l x α α x 2 3 2α l x α 2 x l x α x l x α x 3 2 0, 3

4 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe also ist h auf [e 2α, mooto falled. Daher kovergiert l α 2 [e 2α ] 2 l α + h, [e 2α ]+ da der erste Summad eie edliche Summe ud der zweite Summad wege h 0 für Potezreihe wachse scheller als Poteze vo Logarithme ud der gerade bewiesee Mootoie eie Leibizreihe ist. Mit [Z] Satz folgt, dass die Reihe 2 /2 l s für alle s C mit Res > α kovergiert, ud da α < 0 beliebig gewählt war, erhält ma die Kovergez dieser Reihe auf gaz C. Es gibt zwei große Uterschiede zwische der Theorie der Dirichlet-Reihe ud der der Potezreihe..3 Bemerkug a Der erste Uterschied zwische Dirichlet-Reihe ud Potezreihe zeigt sich i Satz.. Falls eie Dirichlet-Reihe absolut kovergiert, muss die Kovergezabszisse σ 0 icht mit der absolute Kovergezabszisse σ übereistimme. Dagege stimmt der Kovergezradius R eier Potezreihe mit dem absolute Kovergezradius der Reihe überei. Dies folgt aufgud des Satzes vo Cauchy- Hadamard über de Kovergezradius R eier Potezreihe, der besagt, dass R lim sup a, gilt. b Ei weiterer wichtiger Uterschied zwische Dirichlet-Reihe ud Potezreihe liegt dari, dass sich der Kovergezradius eier Potezreihe auch durch das Verhalte der aalytische Fuktio der Reihe bestimme lässt. So ka der Kovergezradius eier Potezreihe als maximaler Abstad vom Etwicklugspukt zum ächstgelegee Pukt, i dem die Reihe icht mehr fortsetzbar ist, festgelegt werde. Für Dirichlet-Reihe stimmt das icht. Die Riemasche Zetafuktio ζs kovergiert für alle s C mit Res >. 4

5 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Für die aalytische Fuktio der Reihe s gilt ψs s s 2 s 22 s 2 s 2 s s. Wege N { 0, falls N gerade, falls N ugerade divergiert N ud ma erhält für die Kovergezabszisse σ 0 ach [Z] Satz 2 N l l σ 0 lim sup lim sup l l 0. Daher kovergiert die Reihe s für alle s C mit Res > 0. Nach [Z] 4 später lässt sich ζs auf C \ {} holomorph fortsetze. Auf K /2 kovergiert 2 s ζs ach [Z] Satz gleichmäßig. Daher darf ma die Summe mit dem Grezwert vertausche ud es folgt lim ψs lim s s 2 s ζs lim 2 s s s lim s 2 s s lim s 2 s s 0. Somit lässt sich ψs s 2 s ζs auf C holomorph fortsetze..4 Satz Sei a s eie gewöhliche Dirichlet-Reihe mit Kovergezabszisse σ 0 ud ichtegative reelle Koeffiziete. Da hat die durch Ds a s für alle s C mit Res > σ 0 defiierte Fuktio keie hebbare Sigularität a der Stelle s σ 0, das heißt, es existiert kei Kreis um σ 0, i dem ma Ds holomorph fortsetze ka. 5

6 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Beweis Sei ohe Eischräkug σ 0 0. Aderfalls ersetze a durch a s 0 sowie s durch s s 0 mit s 0 σ 0 + it 0 C, wodurch ma erhält. a s a s 0+s 0 s a s 0 s 0 s a s 0 s s 0 Ageomme D sei i s 0 holomorph fortsetzbar. Da existiert ei δ > 0, so dass D i K δ 0 holomorph ist. Da σ 0 0 ist, ist D isbesodere i s holomorph ud besitzt weil D auf K δ 0 holomorph ist eie Taylor-Etwicklug um s mit eiem Kovergezradius R >. Für ε : +δ 2 2 erhält ma K +2ε K δ 0 {z C; Rez > 0}, de die kritische Pukte ±iδ habe vo de Abstad iδ + δ 2 + 2ε. Damit ist D holomorph auf K +2ε ud i s ε i eie Potezreihe etwickelbar. Nu folgt mit de Ableituge vo D aus [Z] Satz D ε k0 k0 k! Dk ε k k0 k! k l k k a ε k k! k0 l k a ε k l k a ε + k. k! Da alle Terme positiv ud reell vorliege, dürfe die Summade vertauscht werde. Dadurch ergibt sich k0 l k a ε + k k! k0 a a l k a ε + k k! l ε + k k! k0 a e l ε+ a ε+ a ε a ε <. k0 k ε + k l k! a ε+ el Aus der Kovergez der Reihe D ε a ε folgt da der Widerspruch zu σ

7 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Wir beede de Paragraphe mit eiem Satz über die Eideutigkeit der Koeffiziete eier Dirichlet-Reihe..5 Satz Sei G C ei Gebiet sowie a e λ s ud b e λ s zwei Dirichlet-Reihe, die auf G kovergiere ud dort die gleiche Fuktio D a : s a e λ s ud D b : s b e λ s defiiere. Da gilt a b für alle N. Beweis Sei s σ + i t G mit σ, t R. Sei W : {s C; arg s σ π/4} der Wikelbereich mit Spitze σ. Nach [Z] Satz kovergiere damit D a ud D b gleichmäßig i W ud sid dari auch holomorph. Da G als Gebiet offe ist, existiert ei δ > 0 mit K δ s G. Weil K δ s W icht leer ud icht diskret ist, folgt mit dem Idetitätssatz D a s D b s für alle s W. Ageomme, die komplexe Folge a ud b sid icht idetisch. Wähle m N miimal mit der Eigeschaft a m b m. Für alle σ > σ folgt da 0 e λ mσ e λ mσ a e λσ a m e λ mσ + b e λ σ a e λσ b m e λmσ m+ b e λ σ, m+ da a b ach Wahl vo m für alle < m gilt. Weil beide Reihe kovergiere, darf ma sie zusammefasse: 0 e λ mσ a m e λmσ + a e λσ b m e λmσ b e λ σ m+ m+ a m b m + e λ mσ a m b m + a m b m + a m b m + a e λσ e λ mσ b e λ σ m+ m+ a e λ λ m σ b e λ λ m σ m+ m+ m+ a e λ λ m σ b e λ λ m σ a b e λ λ m σ. m+ 7

8 Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe Wie scho erwäht, kovergiere D a ud D b gleichmäßig i W. Somit darf ma de Limes mit der Reihe vertausche ud ma erhält 0 lim σ a m b m + a m b m + lim σ a m b m + lim a m b m + m+ N lim N m+ N N lim σ m+ m+ lim σ a b e λ λ m σ a b e λ λ m σ a b e λ λ m σ a b e λ λ m σ. Da es sich um Dirichlet-Reihe hadelt, ist λ N eie streg mooto steigede reelle Folge, ud es gilt λ λ m < 0 für alle > m. Das bedeutet, dass der Summad für σ verschwidet, we ma die Stetigkeit der Expoetialfuktio beachtet. Daher folgt 0 a m b m + a m b m + a m b m + m+ lim σ a b e λ λ m σ a b lim e λ λ m σ σ m+ a b 0 a m b m, m+ ud es ergibt sich a m b m als Widerspruch zur Wahl vo m. Somit gilt a b für alle N. 8

9 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe Nachdem wir die Kovergez vo Dirichlet-Reihe besproche habe, wolle wir erläuter, wie ma mit solche Reihe umgeht. I diesem Abschitt lere wir die Multiplikatio zweier Dirichlet-Reihe kee. Des Weitere führe wir multiplikative Folge ei, da sich ihre Dirichlet-Reihe besoders schö als Produkt darstelle lasse. Die Summe vo zwei Dirichlet-Reihe ist die Reihe, dere Koeffiziete die Summe der beide etsprechede Koeffiziete der eizele Reihe ist. Für das Produkt zweier Dirichlet-Reihe gilt das 2. Lemma Seie Fs a s ud Gs m b mm s zwei i eier offee Umgebug U durch absolut kovergete gewöhliche Dirichlet-Reihe gegebee Fuktioe. Da gilt für alle s U, wobei Fs Gs c k : a s m b m m s a b m m s c k k s,m k,m mk a b m a b k/ N, k die Faltug der Koeffizietefolge a N ud b m N geat wird. Das Produkt kovergiert dabei absolut auf U. Beweis Wege der absolute Kovergez beider Dirichlet-Reihe, kovergiert das Produkt auch absolut ud ma darf die Summade beliebig umordee. Daher gilt 9

10 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe Fs Gs a s m a s b m m s a b m m s.,m m b m m s Mit der Idexsubstitutio m k/ für alle ud m mit m k erhält ma a b m m s,m k N, k c k k s. k a b k/ k s 2.2 Bemerkug Die additive Faltug, die die Multiplikatio vo Potezreihe beschreibt, ämlich a k k0 k0 b k k k0 j0 a j b k j, wird somit i der Theorie der Dirichlet-Reihe durch die multiplikative Faltug ersetzt. Diese Tatsache ist veratwortlich für die große Bedeutug der Dirichlet- Reihe i der Zahletheorie. Für de Fall, dass icht beide Reihe absolut kovergiere, ka ma zum Beispiel zeige, dass das Produkt midestes da kovergiert, we beide Reihe kovergiere ud eie davo absolut koverget ist. 2.3 Defiitio Seie, l, k N. Defiiere d : {l N; l teilt } als die Azahl der positive Teiler vo, weiter l N, l 0

11 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe τ : l l N, l als die Summe der positive Teiler vo ud allgemeier σ k : l k l N, l als die Summe der k-te Poteze der positive Teiler vo für k N 0. Damit erhält ma σ τ sowie σ 0 d. 2.4 Beispiel a Für alle s C mit Res > gilt d s ζs 2, de mit der multiplikative Faltug folgt ζs 2 s k N, k m m s k s dk k k s. m m s b Sei k N 0. Für alle s C mit Res > k + kovergiere ζs ud ζs k absolut. Ma darf wieder die multiplikative Faltug awede ud erhält ζs ζs k s l m N, m l m m s k m k l s σ k l l l s. s m m k m s Damit gilt σ k s ζs ζs k für alle k N 0.

12 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe 2.5 Beispiel Es gilt das heißt es existiert ei C > 0, so dass d ON +ε für alle ε > 0, N d C N +ε N für alle N N gilt. Beweis Da die Reihe d divergiert, gilt für die Kovergezabszisse σ 0 der Dirichlet- Reihe d s ach [Z] Satz 2 σ 0 lim sup N l N d l N if{α > 0; N d ON α }. Zeige zuächst, dass σ 0 gilt. Für σ + ε mit ε > 0 beliebig folgt mit der Gleichug aus Beispiel 2.4 d +ε ζ + ε2 <, da die Kovergezabszisse vo ζ gleich ist. Aus der Defiitio der Kovergezabszisse σ 0 if{σ R ; d σ kovergiert} folgt σ 0. Ageomme es gilt σ 0 <. Da kovergiert die Reihe d/ ud ma erhält d < als Widerspruch dazu, dass ζ i s keie hebbare Sigularität besitzt. Damit folgt die Behauptug σ 0. Ma erhält somit σ 0 if{α > 0; N d ON α }. Aus der Defiitio des Ifimums folgt u isbesodere d ON +ε. N 2

13 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe 2.6 Defiitio Eie komplexe Folge f : N C, die icht idetisch verschwidet, heißt multiplikativ, we f m f f m für alle, m N mit ggtm, gilt. Erfüllt die komplexe Folge f m f f m für alle, m N, so heißt sie streg multiplikativ. 2.7 Bemerkug a Weil für eie multiplikative Folge stets f f f f f 2 gilt, folgt f, de wäre f 0 so würde f f f f f 0 0 für alle N gelte ud f damit idetisch verschwide. Dies wäre ei Widerspruch zur Voraussetzug. b Ma ka jedes N stets als edliches Produkt vo Primzahle schreibe. Sei also k p r j j mit p j P ud r j N für alle j k, j wobei P die Mege der Primzahle sei. Ist f multiplikativ, so gilt damit isbesodere k f f p r k j j f p r j j. j j 2.8 Beispiel Die Folge σ k ist multiplikativ für alle k N 0. Seie J p r j j ud m j I i mit p j, q i P, r j, s i N sowie p j q i für alle j J ud für alle i I. Da ist ggt, m. Es gilt J d m d p r j j j q s i i I q s i i i 3

14 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe mit 0 r j, s i N 0 ud 0 r j r j, 0 s i s i für alle j J ud für alle i I. Weil σ k m eie edliche Summe ist, darf ma sie beliebig umorde, ud es folgt σ k m d k d m 0 r j r j, 0 j J 0 r j r j, 0 j J 0 r j r j, 0 j J 0 s i s i, 0 i I 0 s i s i, 0 i I 0 s i s i, 0 i I 0 s i s i, 0 i I J p r jk j j J p r j j j J p r jk j j 0 s i s i, 0 i I k I q s i i i I q s ik i i I q s ik i i I J q s ik i p r jk j i 0 r j r j, 0 j J j I q s i i i k 0 r j r j, 0 j J J k p r j j j σ k mσ k σ k σ k m. Damit ist σ k multiplikativ für alle k N 0. Mit k 0 ud k folgt also auch, dass d ud τ multiplikativ sid. Für de ächste Satz defiiere wir zuächst die Kovergez vo Produkte. 2.9 Defiitio Sei a k k eie Folge komplexer Zahle. a Ma sagt, dass das Produkt k a k kovergiert, we es ei m N gibt, so dass i a k 0 für alle k m gilt ud ii die Folge km a k m gege eie vo 0 verschiedee Wert i C kovergiert, de wir mit km a k bezeiche. Wir setze da m a k a k k k km a k C. 4

15 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe b Ma sagt, dass das Produkt k + a k absolut kovergiert, we das Produkt k + a k kovergiert. Eie Satz beötige wir och, um Dirichlet-Reihe multiplikativer Folge als Produkt darstelle zu köe. 2.0 Satz Sei a k k eie Folge komplexer Zahle ud + a k 0 für alle k N. Da sid äquivalet: i ii + a k kovergiert absolut. k a k kovergiert absolut. k I diesem Fall ist k + a k auch koverget ud jede Umordug des Produktes kovergiert gege deselbe Wert. Beweis A. Krieg, Skript Höhere Fuktioetheorie I 2007, Kapitel XXVI Satz Satz Sei f : N C eie Folge, so dass die absolute Kovergezabszisse σ vo Fs f s edlich ist. Die komplexe Folge f ist geau da multiplikativ, we Fs f s die für Res σ > σ absolut kovergete Produktdarstellug Fs f s f p l p ls besitzt. Ei derartiges Produkt et ma Euler-Produkt der Dirichlet-Reihe. Beweis Es gilt f p l p ls l l f p l p ls f p l p l σ l f p l p lσ f σ <. 2 5

16 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe Isbesodere ist f pl p ls eie Nullfolge ud f pl p ls kovergiert demach gege. Daher ist die Summe f pl p ls ab eier gewisse Primzahl stets ugleich Null. Folglich kovergiert das Produkt ach Satz 2.0 absolut. f p l p ls Sei f multiplikativ. Defiiere P N : p N f p l p ls mit N N. Weiter sei {p,..., p r } {p P; p N}. Da ma ei edliches Produkt absolut kovergeter Reihe beliebig umorde darf, erhält ma P N p N f p l p ls f p l p ls f p l... f p l r r p l s... p l rs r l,...,l r 0 f p l... p l r r l,...,l r 0... p l s... p l r r f s, A f p l r p ls r wobei A : { N; k j pν j j, p j P, ν j N 0 mit p j N für alle j,..., k} ist. Das heißt A besteht aus alle N, dere Primteiler höchstes gleich N sid. Mit der Mege B : N \ A {N +, N + 2,...} gilt da f s P N B f s f σ B f σ. N+ Die Reihe N+ f σ kovergiert für N gege 0. Damit folgt f s lim P N N f p l p ls. 6

17 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe Für N N sei {p,..., p r } {p P; p N}. Idem ma jedes N durch seie Primfaktorzerlegug darstellt, erhält ma sowie p N N f s p ν... p ν r r N f p l p ls p ν... p ν r r N + f p ν... pν r r p ν... pν r s r, p ν... p ν r r >N f p ν... f pν r r p ν... pν r s r f p ν... f pν r r p ν... pν r s r, we ma wieder beachtet, dass ma ei edliches Produkt absolut kovergeter Reihe beliebig umorde darf. Zusamme mit der Voraussetzug erhält ma u N 0 lim f s N p N lim N p ν... p ν r r N p ν... p ν r r >N f p l p ls [ f p ν... pν r r f p ν... f pν r r ] p ν... pν r r s f p ν... f pν r r p ν... pν r r s. Da p ν... p ν r r >N f p ν... f pν r r p ν... pν r r s für N gege 0 kovergiert, folgt r [ f p ν... pν r r f p ν... f pν r r ] p ν... pν r r s 0 ν,...,ν r N 0 für alle s C mit Res σ > σ. Nach dem Satz.5 sid alle Koeffiziete 0. Daher ist f multiplikativ. 7

18 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe 2.2 Beispiel a Sei s C mit Res >. Für ζs sid alle Koeffiziete aus der Darstellug als Dirichlet-Reihe gleich. Daher gilt für das Euler-Produkt ζs s p ls p s l. Da p s < für alle p P ud für alle s C mit Res > gilt, kovergiert die geometrische Reihe ud ma erhält ζs p s l p s. b Sei k N 0 ud s C mit Res > k +. Da σ k ach Beispiel 2.8 für alle k N 0 multiplikativ ist, folgt mit Satz 2. σ k s σ k p l p ls, sowie mit k 0 d s dp l p ls. 2.3 Bemerkug Ma ka die Aussage aus Beispiel 2.2 b auch mit Hilfe vo Beispiel 2.4 ud Beispiel 2.2 a zeige. a Sei s C mit Res >. Aus Beispiel 2.4 ud Beispiel 2.2 a folgt d s ζs 2 p s 2 p s 2 2 p s l, 8

19 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe we ma im letzte Schritt die geometrische Reihe eisetzt. Dies ist erlaubt, da p s < für alle p P ud für alle s C mit Res > gilt. Weil die geometrische Reihe absolut kovergiert, ka ma das Cauchy-Produkt awede. Aus A. Krieg, Aalysis I, 2005, Kapitel IV Beispiel 4. b folgt 2 z z für alle z C mit z <. Da p s < für alle p P ud für alle s C mit Res > gilt, erhält ma p s l 2 l + p s l dp l p ls, l + p ls we ma dp l l + für alle p P ud für alle l N 0 beachtet. Die letzte Aussage gilt, weil für jede Primzahl p q p l q p i für i {0,,..., l} gilt. Somit erhält ma d s dp l p ls. b Sei k N 0 ud s C mit Res > k +. Aus Beispiel 2.4 ud Beispiel 2.2 a folgt σ k s ζs ζs k p s p s k p s p s k p s l p s k l. Im letzte Schritt wurde wieder die geometrische Reihe verwedet, wobei diese Umformug aufgrud vo p s < ud p s k < für alle p P ud für alle 9

20 2 Formale Eigeschafte vo Dirichlet-Reihe s C mit Res > k + erlaubt ist. Mit derselbe Begrüdug ist das Cauchy- Produkt awedbar, ud es folgt p s l p s k l p s l l p ki p s l i0 σ k p l p s l σ k p l p ls, p kl p s l we ma och σ k p l i0 l pki für alle p P ud für alle l N 0 beachtet. Damit erhält ma σ k σ k p l s p ls. 20