4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

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1 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = Edliche Dezimalzahle sid ur solche Zahle, die als Bruch mit eier Zeherpotez im Neer geschriebe werde köe. Dies trifft etwa auf die ratioalezahl 3 icht zu; die Etwicklug = 0, = 0, 3 () 3 bedeutet, daß für alle N gilt 0, < 0, ( Ziffer). (2) Mit J := [0,3...33,0,3...34] ( Ziffer) gilt also = J = { 3 }. b) Nach dem Satz des Pythagoras sollte x R mit x > 0 ud x 2 = 2 existiere (vgl..8). Ma hat 2 < 2 < 2 2 x [,2].4 2 < 2 <.5 2 x [.4,.5].4 2 < 2 <.42 2 x [.4,.42].44 2 < 2 <.45 2 x [.44,.45] usw. Wie i a) erhält ma eie Folge kompakter Itervalle mit J J 2... J J +... mit J = 0 ud x = J, eie Itervallschachtelug für x. Die Existez vo x = 2 ergibt sich u aus dem folgede Axiom für R, das die Vollstädigkeit oder Lückelosigkeit der Zahlegerade präzisiert: 4.2 Axiom I (Itervallschachtelugsprizip). Es sei (J := [a,b ]) eie Folge kompakter Itervalle mit J J 2... J J (3) Da existiert eie Zahl x R mit x J für alle N. 4.3 Nullfolge. a) Für eie Itervallschachtelug (3) bilde die Itervalläge l := J eie mooto fallede Folge. Gibt es u zwei verschiedee Zahle im Durchschitt der Itervalle J, etwa x < y, so gilt mit ε := y x > 0 die Aussage ε > 0 N : l ε. (4) Die Negatio (5) vo (4) impliziert also, daß es geau eie Zahl im Durchschitt der Itervalle J gibt:

2 4 Kovergete Folge 2 b) Eie mooto fallede Folge (l ) R positiver Zahle heißt Nullfolge, falls folgedes gilt: ε > 0 N : l < ε. (5) c) Bedigug (5) bedeutet also, daß es zu jeder och so kleie, aber positive Zahl ε > 0 eie Idex N gibt, für de 0 l < ε ist. Wege der Mootoie der Folge gilt da sogar 0 l k < ε für alle Idizes k. d) Für eie beliebige Folge (a ) positiver Zahle muß diese Eigeschaft eifach zusätzlich gefordert werde: ε > 0 0 N 0 : a < ε. e) Eie Folge (a ) i R, die positive ud egative Werte aehme ka, heißt Nullfolge, falls ( a ) eie Nullfolge ist, falls also gilt: ε > 0 0 N 0 : a < ε. (6) f) Schließlich heißt eie Folge (a ) i R koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls (a a) eie Nullfolge ist: 4.4 Defiitio. Eie Folge (a ) i R heißt koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls folgedes gilt: ε > 0 0 N 0 : a a < ε. (7) Ma schreibt a = lim a oder a a. Nicht kovergete Folge heiße diverget. 4.5 Beispiele ud Bemerkuge. a) Die Kovergez a a bedeutet also, daß für jedes gegebee ε > 0 ab eiem gewisse Idex 0 N alle Folgeglieder i dem Itervall mit Läge 2ε um a liege müsse. Der Idex 0 = 0 (ε) N hägt atürlich vo ε (ud vo der Folge) ab. b) Die Folge (( ) ) ist diverget: Für jedes a R gilt ja a ( ) für alle gerade oder für alle ugerade. 4.6 Das Axiom des Archimedes. Als erstes Beispiel für Kovergez bietet sich atürlich 0 a. Da diese Folge mooto fällt, bedeutet dies ach (5) ε > 0 N : < ε oder, mit C = ε, C > 0 N : > C. Es gilt also 0 geau da, we N ubeschräkt ist. Sicher hat N keie obere Schrake i Q, doch läßt sich mit Hilfe der bisherige Axiome icht beweise, daß es auch i R keie solche obere Schrake gibt. Es wird daher das Axiom des Archimedes postuliert: Axiom A N ist ubeschräkt. Damit ist da also ( ) wirklich eie Nullfolge.

3 22 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4.7 Feststellug. E seie a R sowie (a ) ud (b ) Folge i R mit C > 0 N : a a C b. (8) Aus b 0 folgt da a a. Beweis. Zu ε > 0 gibt es 0 N mit 0 b < ε C für 0. Da folgt sofort a a C b < ε für diese. 4.8 Wurzel. a) Es sei c > 0 gegebe. Wie i 4.b) fidet ma eie Folge kompakter Itervalle J = [a,b ] mit a 2 c b 2 ud J = 0 J 0 C 0 (vgl. 3.2f)). Nach Axiom I ud 4.3a) gibt es geau eie Zahl x J. b) Auch die Itervalle I := [a 2,b2 ] bilde eie Itervallschachtelug, ud offebar liege sowohl x 2 wie auch c im Durchschitt aller I. Wege b 2 a 2 = (b +a )(b a ) 2b J gilt auch I 0. Folglich ka ur eie Zahl im Durchschitt aller I liege, ud das impliziert u x 2 = c. Somit gilt: c) Zu jeder reelle Zahl c 0 gibt es eie eideutig bestimmte Zahl x 0 mit x 2 = c. Diese heißt Quadratwurzel, kurz Wurzel vo c, Notatio: x = c. d) Die Eideutigkeit folgt sofort aus der strege Mootoie der Potezfuktio p 2 : [0, ) [0, ). Diese ist also bijektiv. Ihre Umkehrfuktio ist die auf [0, ) defiierte Wurzelfuktio w 2 : x x. Nach Satz 3.6b) ist auch die Wurzelfuktio streg mooto wachsed. e) Aalog zu a)-d) ka ma auch m-te Wurzel für alle m N kostruiere, vgl. dazu auch Aussage über kovergete Folge. a) Eie Folge (a ) i R hat höchstes eie Limes, Grezwerte sid stets eideutig bestimmt. b) Kovergete Folgea a sid beschräkt. DieUmkehrug gilt atürlich icht, wie etwa das Beispiel (a ) = (( ) ) zeigt. c) Aus a a ud b b folgt stets auch a +b a+b ud a b a b. Ist b 0, so gilt auch b 0 für große, ud ma hat a b a b. d) Aus a a folgt stets auch a a. e) Aus 0 a a folgt stets auch a a. f) Es seie (a ), (b ) Folge mit a b ab eiem 0 N. Aus a a ud b b folgt da a b. Das Beispiel a := < b := + zeigt, daß diese Aussage für < icht richtig ist. 4.0 Beispiele.a)Fürq R betrachtewirdiefolge(q ). Fürq = giltq, für q = ist (q ) = (( ) ) diverget. Für q > schreibt ma q = +h mit h > 0. Es folgt q = q +h ach der Beroullische Ugleichug; (q ) ist also ubeschräkt ud somit diverget. b) Für q < ist, wiederum ach der Beroullische Ugleichug, die Folge( q ) beschräkt (vgl. Beispiel 3.2f)). Ma hat also q C, ud ach Axiom A ud =

4 4 Kovergete Folge ist (q ) eie Nullfolge. c) Allgemeier wird u gezeigt (vgl. [K], 5.7 für eie adere Beweis): k N 0 q (,) : lim k q = 0. (9) Ma hat = +h mit h > 0. Für 2k + gilt die Abschätzug q ) h k+ = ( ) ( k) ud daraus folgt (+h) ( k+ (k+)! h k+ ( hk+ )k+, 2 (k+)! k q = k (+h) 2k+ (k +)! h k+ 0 für. d) Für alle a R gilt lim ud erhält für alle > l: a a! = a a 2 a l! = 0. Zum Beweis wählt ma l N mit l a a l+ a l+2 e) Wege 4.9e) folgt aus 0 auch 0. a a l l! a 0. f) Zur Berechug eies Grezwertes vo Brüche kürzt ma durch de am schellste gege strebede Term: = = ( 2 3) = 3 7, si+5! = (7 ) si+5! = 0. = 0, g) ImFalla = b = 0 kakeie allgemeie Aussage über dasverhalteder Quotiete a / b gemacht werde. Als Beispiel diee etwa b = / 2 0. Für a = / 3 gilt a /b = / 0, für a = c / 2 gilt a /b = c c, ud für a = / ist ( a / b = ) diverget. h) Ma hat = = 2. i) Die Folge (a = ) ist ubeschräkt. Trotzdem gilt für die Differeze der Folgeglieder 0 a + a = + = (+) j) = = = k) Die Folge (si) ist beschräkt ud oszilliert zwische ud i uübersichtlicher Weise. Ma ka zeige, daß die Folgeglieder jeder Zahl x [, ] beliebig ahe komme, d.h. zu jeder Zahl x [,] ud ε > 0 gibt es N mit x si < ε (vgl. dazu [K], Satz 7.5*).

5 24 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Aussage (9) bedeutet, daß für jede Zahl a > ud jede Potez k N die Folge (a ) scheller gege strebt als die Folge ( k ) ; i der Tat gilt ja k 0. Nach a 4.0d) strebt die Folge (!) och scheller gege. Die soebe verwedete bequeme Sprechweise für gewisse divergete Folge präzisiere wir so: 4. Defiitio. a) Eie Folge (a ) R strebt gege +, falls a > 0 ab eiem 0 N ist ud a 0 gilt. Ist dies der Fall, so schreibe wir a +. b) Eie Folge (a ) R strebt gege, Notatio a, falls die Folge ( a ) gege + strebt. 4.2 Die Symbole ± sid keie reelle Zahle. Machmal ist es jedoch bequem, R durch sie zur Mege R := R {+, } (0) zu erweiter. Da solle eiige eileuchtede Regel gelte, etwa x < x < +, x± = ±, = 0 für x R, ± x ± = ± für x > 0, x ± = für x < 0. Ma beachte, daß eiige Ausdrücke, wie etwa 0,, oder icht defiiert sid. 4.3 Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge. Es ist für die Aalysis sehr wichtig, die Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge a + zu erfasse. Eie Folge (b ) strebt scheller gege + als (a ), falls a b 0 gilt. I der folgede Liste strebt jede Folge scheller ach + als die vorhergehede: a) ( k ), k N; b) (a ), a > ; c) (!); d) ( ); e) 2 2. Die beide erste Behauptuge gelte ach 4.0. Weiter hat ma offebar! = 2 0 sowie = ( ) ach (9) Satz. Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Der etwas techische Beweis basiert auf de Axiome A ud I (vgl. [K], 6.2). Es ist leicht eizusehe, daß auch umgekehrt Theorem 4.4 diese Axiome impliziert. A Stelle der Axiome A ud I ka ma also auch Satz 4.4 als Formulierug der Vollstädigkeit vo R betrachte. 4.5 Uedliche Reihe. a) Wege 4.9c) ud 4.0b) ergibt sich aus der geometrische Summeformel (2.5) die wichtige Aussage q k := lim k=0 k=0 q k q + = lim q =, q <. () q Die Aufsummierug uedlich vieler positiver Zahle liefert hier also eie edliche Wert, die Summe der geometrische Reihe q k. k=0

6 4 Kovergete Folge 25 b) Für eie Folge (a k ) i R betrachtet ma die uedliche Reihe, kurz: Reihe a k = a +a 2 +a 3 +. (2) k Diese heißt koverget, falls die Folge der Partialsumme (s := a k ) kovergiert. I diesem Fall heißt k= a k := s := lim s (3) die Summe der Reihe. Nicht kovergete Reihe heiße diverget. c) Offebar gilt s s = a, (mit s 0 := 0). (4) Somit ka jede Folge (s ) als Folge der Partialsumme eier Reihe aufgefaßt werde; dazu muß ma ur (a ) gemäß (4) defiiere. d) Ist die Reihe a k koverget, so folgt mit (4) sofort k a = s s s s = 0. (5) Es ist also a k 0 eie otwedige Bedigug für die Kovergez der Reihe. e) Diese Bedigug ist jedoch icht hireiched: Die harmoische Reihe diverget, obwohl k k= 0 gilt. Dies ergibt sich aus der Abschätzug k= k ist k + m für 2 m. (6) k 2 f) Dagege hat ma für alle N die Abschätzug k= k 2 2; (7) ach Satz 4.4 ist daher die Reihe k koverget. k 2 g) Die Etwicklug () = 0, = 0, 3 bedeutet = 3 0 k ; all- 3 3 gemeier bedeutet eie Dezimaletwicklug x = x 0, x x 2 x m mit Ziffer x k {0,,...,9} gerade x = x k 0 m k. (8) k=0 Die Kovergez eier solche Reihe ergibt sich aus a) ud Satz Das babyloische Wurzelziehe. a) Es folgt ei schell kovergetes Verfahre zur Berechug vo Quadratwurzel, das Hero-Verfahre oder Babyloische Wurzelziehe. Dieses ka geometrisch motiviert werde: b) Zu a > 0 wird ei Quadrat mit Seiteläge x > 0 ud Flächeihalt x 2 = a gesucht. Ma startet mit eiem Rechteck R 0 mit Flächeihalt a ud Seiteläge x 0 > 0 ud y 0 = a x 0. Die Seiteläge des gesuchte Quadrats ist das geometrische k=

7 26 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Mittel x 0 y 0 = a = x vo x 0 ud y 0. Da ma dieses icht (ohe weiteres) bereche ka, berechet ma statt desse das arithmetische Mittel x = 2 (x 0+y 0 ) vo x 0 ud y 0 ud damit das Rechteck R mit de Seiteläge x ud y = a x. c) Nu hofft ma, daß R eie bessere Aäherug a das gesuchte Quadrat ist als R 0. Dies ist i der Tat der Fall, ud die Iteratio der Methode aus b) führt zum Hero-Verfahre. Das geometrische Mittel ist höchstes so groß wie das arithmetische Mittel: 4.7 Feststellug. Für x,y 0 gilt xy 2 (x+y). Beweis. Aus 0 (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 ergibt sich durch Additio vo 4xy sofort 4xy x 2 +2xy +y 2 = (x+y) 2 ud somit xy ( 2 (x+y)) 2. (9) Der Beweis (vgl. [K], 6.5) des folgede Satzes über das Hero-Verfahre liefert auch eie vo 4.8 uabhägige Beweis für die Existez der Quadratwurzel positiver Zahle, da die Ugleichug i Feststellug 4.7 zwische arithmetischem ud geometrischem Mittel ur i der Form (9) verwedet wird. 4.8 Satz. Es sei a > 0 gegebe. Für eie beliebige Startwert x 0 > 0 wird durch x + := (x + a ) (20) 2 x rekursiv eie Folge (x ) i (0, ) defiiert. Die Folge (x ) N ist mooto falled, ud für de Grezwert x := lim x gilt x 2 = a. 4.9 Quadratische Kovergez. Die i (20) defiierte Folge (x ) kovergiert sehr schell gege a. Für a = 2 etwa ergebe sich folgede Werte mit dem Startwert x 0 = 2: x,5 2, , , , , Ma erhält mit jedem Iteratiosschritt etwa doppelt soviele gültige Stelle wie zuvor, d.h. der Fehler d := x a fällt quadratisch. Dies läßt sich auch allgemei beweise: d + = (x + a ) a = ( ) x 2 2 x 2x +a 2x a = ( x a ) 2 2x 2 ( x a ) 2, also a d + 2 a d2. (2)

8 4 Kovergete Folge 27 Ma spricht vo quadratischer Kovergez. Für a (aderfalls berechet ma zuerst / a ) fällt der Fehler sehr schell gege 0, sobald d < erreicht ist (dies ist um so eher der Fall, je äher der Startwert a a lag). Da x 0 > 0 beliebig wählbar ist, spiele evetuelle Rudugsfehler (vgl. Abschitt 9) bei der Rechug keie Rolle. Ist a Q ud wählt ma x 0 Q, so gilt auch x Q für alle N, d. h. ma ka ratioal reche. Aufgabe:. Ist die Reihe k k koverget? k 2. Versuche Sie, das babyloische Wurzelziehe auf die Berechug dritter Wurzel zu erweiter.

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