Zahlenfolgen und Reihen

Transkript

1 Zahlefolge ud Reihe Was ist eie Zahlefolge Bildugsgesetz We wir z. B. vo der Mege N der atürliche Zahle spreche, so sehe wir sozusage eie Sack voller Zahle, es besteht keie Ordug. Wir wede us u dem Fall zu, daß Zahle i eier bestimmte Reihefolge vorliege, zum Beispiel, 3, 5, 7,... eie solche Folge ka eie edliche Mege umfasse, z. B., 3, 5, 7, 9, aber auch uedlich viele Zahle ethalte, also, 3, 5, 7,... Die Pukte symbolisiere eie uedliche Fortsetzug. Allgemei köe wir solche Mege als a,a 2,a 3,..., a,..., a N beziehugsweise als a,a 2,a 3,..., a,... schreibe. Dabei wird a als das te Glied bezeichet. Eie Zahlefolge liegt vor, we es möglich ist, eie Gesetzmäßigkeit für die Bildug der Reihefolge der Zahle zu fide, d. h. we eie Vorschrift besteht, ach der jedes Glied der Folge berechet werde ka. Betrachte wir die obige Zahle. Uschwer zu erkee ist, daß die Formel a =+2( ) das te Glied der Folge beschreibt. Diese Formel heißt Bildugsgesetz der Zahlefolge. Das Bildugsgesetz ka auch rekursiv, d. h. eie Aleitug sei, wie die Glieder aus de voragehede Glieder etstehe. Für user Beispiel lautet eie solche rekursive Defiitio a = a +2 a = Um die Schreibarbeit zu reduziere, schreibe wir für eie Folge a,a 2,a 3,... kurz {a }. Beispiele für Zahlefolge Die beide obige Zahlefolge sid Beispiele für eie arithmetische Folge. Eie solche liegt vor, we ei Glied durch Additio derselbe Kostate zum vorherige Folgeglied etsteht, d. h. die Folge a, a + d, a +2d, a +3d,...

2 lautet. Das Bildugsgesetz für eie arithmetische Folge hat deswege die Form Betrachte wir u eie adere Folge: a = a + d( )., 2, 4, 8, 6,... Der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder, etwa 2 : 4 =2, hat immer de gleiche kostate Wert, hier 2 also. Eie Folge mit dieser Eigeschaft ee wir geometrische Folge. Das Bildugsgesetz lautet ( ) a = 2 Allgemei gilt für geometrische Folge wobei x eie beliebige reelle Zahl ist. Grezwerte vo Folge a = c x Eie spezielle Folge ist die harmoische Folge { } :, 2, 3, 4,... We wir erhöhe, werde die Folgeglieder immer kleier ud ähersichfür gege uedlich a. Dies drücke wir i folgeder Form aus: ( ) =0 Der Ausdruck liks heißt Limes oder Grezwert der Folge. Die Folge besitzt das allgemeie Glied Hier erhalte wir für de Grezwert 2, 2 3, 3 4, 4 5,... a =. ( ) =. 2

3 Beide Folge besitze geau eie edliche Grezwert. Sie heiße koverget (sie kovergiere gege ihre Grezwert). Allgemei gilt: Eie Folge ist koverget, we sie geau eie edliche Grezwert besitzt. Aderfalls ist sie diverget. Ei Beispiel für eie divergete Folge ist die obige arithmetische Folge (Grezwert uedlich!): [a + d( )] = + d>0 Eie weitere Folge ist a =( ). Solche Folge, bei dee sich vo Glied zu Glied das Vorzeiche umkehrt, ee wir alterierede Folge. Wie wir a dieser Folge sehe, ka es also vorkomme, daß eie Folge zwar icht gege uedlich geht, jedoch mehrere sogeate Häufugswerte hat, hier also + ud -. Folge mit mehrere Häufugswerte sid ubestimmt diverget, währed Folge ohe Häufugswert bestimmt diverget sid. Eie mathematisch exaktere Defiito für die Kovergez eier Folge lautet: Eie Folge {a } ist koverget, we sich eie atürliche Zahl k fide läßt, so daß ab dem kte Folgeglied für alle Folgeglieder die Differez zwische eiem Folgeglied ud eier reelle Zahl A kleier als eie Greze ɛ wird. a A <ɛ für k A ist da gleich dem obe eigeführte Grezwert. Gibt es kei A mit dem sich obige Gleichug erfülle läßt, so heißt die Folge diverget. Dies wolle wir auf usere vorherige Beispielfolge a = awede. Mit der Wahl ɛ =0, 0 ud A = (der Wert de wir obe für de Grezwert erhalte habe) gilt: ( ) k < 0, 0 k < 00 k = 0, d. h. die Gleichug ist für alle a mit >00 erfüllt, die Folge ist koverget. Was ist eie Reihe Folge vo Partialsumme Eie wichtige Eigeschaft vo Zahlefolge sid die Summe ihrer erste Glieder. Sie heiße Partialsumme ud erhalte das Symbol S. Nehme wir wieder, 3, 5, 7,..., so addiere wir die erste, 2 oder 3 Glieder usw. Wir erhalte S =,S 2 =4,S 3 =9 usw. Ist die allgemeie Folge a,a 2,a 3,... gegebe, so gilt: S = a S 2 = a + a 2 3

4 S 3 = a + a 2 + a 3. S = a + a a = a k Diese Summe bilde wiederum eie Folge S,S 2,S 3,..., eie solche Folge heißt Reihe. Der Begriff Reihe wird allerdigs auch für die Summe der Terme selber beutzt, d. h. die Summe S = a k = a + a 2 + a a wird als edliche Reihe bezeichet. Etspreched heißt a k = a + a 2 + a uedliche Reihe. We die Folge der Partialsumme {S } kovergiert, so ist die Reihe koverget, sost diverget. Habe wir eie kovergete Reihe, so köe wir de Grezwert bilde, ( ) S = S = a k Diese Grezwert S bezeiche wir als Summe der Reihe ud wir schreibe: S = a k oder S = a + a 2 + a Aus der arithmetische Folge a = a + d( ) etsteht demgemäß die arithmetische Reihe mit de eizele Folgeglieder: S = a + d(k ) = a +[a + d]+[a +2d]+[a +3d]+...+[a +( )d] Die Summatio führe wir mit eiem vom Schulkabe Gauß gefudee Trick durch. Für gerade addiere wir das erste zum te Glied, das zweite zum ( )te ud so weiter, ud erhalte dadurch /2 idetische Terme [2a +( )d]. Für S gilt also: S = [2a +( )d] 2 Für die geometrische Reihe, die wir etspreched aus der geometrische Folge erhalte, gilt S = ax k = a + ax + ax 2 + ax ax k=0 4

5 Zur Durchführug der Summatio multipliziere wir S mit x ud ziehe beide Reihe voeiader ab: Durch eifache Umformug etsteht daraus xs = ax + ax 2 + ax ax S xs = a ax = a( x ). S = a x, (x ) x Für a = ergibt sich die Gleichug +x + x 2 + x x = x x, wir köe also eierseits die geometrische Reihe durch de Bruch ( x )/( x) bereche, adererseits läßt sich der Bruch durch eie Potezreihe ausdrücke. Etwas ähliches wolle wir mit dem Term ( + x) probiere. Für die Partialsumme gilt: S 0 = (+x) 0 = S = (+x) =+x S 2 = (+x) 2 =+2x + x 2 S 3 = (+x) 3 =+3x + x 2 + x 3. S = (+x) =+x + ( ) x 2 ( )( 2) x 2! 3! Diese Reihe habe wir bereits im Kapitel keegelert, sie heißt Biomialreihe. Der Faktor vor x k ( )( 2)...( k +) x k k! ist der Biomialkoeffiziet ud wird ( k ) = ( )( 2)...( k +) x k = k!! k!( k)! 5

6 geschriebe. Der Biomialkoeffiziet hat eie wichtige Rolle i der Kombiatorik (Kapitel 8). I eier allgemeiere Form lautet die Biomialreihe (x + y) = ( k k=0 ) x k y k. Dies ist der sogeate Biomische Satz, der für alle reelle Zahle x, y ud alle atürliche Zahle gilt. Die Werte der Biomialkoeffiziete bilde dabei jeweils eie Zeile im Pascalsche Dreieck. = Differezemethode Die Summatio läßt sich mituter durch eie weitere Trick vereifache. Dies verdeutlicht das folgede Beispiel: S = k(k +) = ( +). De allgemeie Term der Summe köe wir, we wir ih us etwas äher aschaue, i eie Differez vo zwei Terme umforme k(k +) = k k +. S ist also gleich eier Differez vo zwei Teilsumme k(k +) = k k +. Weiter ist erkebar, daß ur der erste Term der erste Summe ud der letzte Term der zweite Summe übrigbleibe, alle adere hebe sich gegeseitig weg. Daher gilt k(k +) = + = +. 6

7 Auf diesem Weg ist es oft möglich, die Summe eier Reihe zu bereche. Voraussetzug ist, daß der allgemeie Term a k sich als Differez zweier Terme zu um eis verschiedee Idizes schreibe läßt: a k = b k b k. Da gilt a k = b k b k = (b + b b + b ) (b 0 + b b ) = b b 0 Uedliche Reihe Kovergezkriterie Betrachte wir zuächst die harmoische Reihe S = Auf de erste Blick mag es so scheie, als ob die Reihe kovergiert, da die Reiheglieder ja immer kleier werde. Um die Frage ach der Kovergez beatworte zu köe, zerlege wir die Reihe i eie Summe vo Partialsumme S = + ( ) + 4 = s + s 2 + s ( ) + ( ) Jede Partialsumme s ethält 2 Terme, die alle grösserodergleich/2 + sid. Daraus folgt, daß für jede Partialsumme s 2 2 = + 2 gilt. Damit ist die Summe der Partialsumme also die Reihe diverget. S Wie köe wir allgemei feststelle, ob die Folge der Partialsumme kovergiert, eie Reihe also eie Grezwert für gege uedlich besitzt? Eie otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe 7

8 a k = a + a ist, daß die Folge {a k } der Reiheglieder gege 0 kovergiert: r= a i 0 für r Ist diese Bedigug erfüllt, so müsse wir im ächste Schritt die Kovergez der Reihe durch Awedug eies vo mehrere Tests prüfe, da icht alle Reihe, für die obige Bedigug gilt, ubedigt koverget sid (siehe harmoische Reihe). Erfüllt eie Reihe die Kriterie eies dieser Tests, so ist dies eie hireichede Bedigug für ihre Kovergez. Test durch Vergleich (Majorate ud Mioratekriterium) Zur harmoische Reihe köe wir eie zweite Reihe schreibe, dere Terme jeweils kleier gleich de Terme der harmoische Reihe sid: }{{}}{{} Da die utere Reihe divergiert, muß auch die harmoische Reihe divergiere. Allgemei kostruiere wir us zur betrachtete Reihe A = a + a 2 + a eie zweite Reihe B = b + b 2 + b so, daß für alle i gilt: a i b i. B ist da eie Majorate zu A. Kovergiert die Reihe B so gilt, daß auch die Reihe A kovergiert. Adersherum köe wir B auch so kostruiere, das für alle i gilt: a i b i. B ist da eie Miorate zu A. Divergiert die Reihe B so muß auch A divergiere. Quotietekriterium vo D Alembert: Eie Reihe a k kovergiert, we a + a <. 8

9 Sie divergiert, we a + a >. Wurzelkriterium vo Cauchy: Eie Reihe a k kovergiert, we a <. Sie divergiert, we a >. Auf die harmoische Reihe k agewadt ergibt das Quotietekriterium: Das Wurzelkriterium liefert ebefalls : + = = = Beide Kovergezkriterie sid icht erfüllt, d. h. wir müsse die Kovergezeigeschafte auf eie adere Weise bestimme (zum Beispiel durch die Vergleichsmethode, siehe obe). Betrachte wir och eie weitere Reihe k! =+! + 2! + 3! k=0 Zuächst ermittel wir de Grezwert der Folge der Reiheglieder:! =0 Die Reihe erfüllt also die otwedige Bedigug für Kovergez. Im zweite Schritt wede wir das Quotietekriterium a (ethalte die Reiheglieder Fakultäte, ist dies meist ratsam):! ( +)! = Die Reihe ist somit koverget. Ihre Summe k! ist gleich der Zahl e =2, ,. 9 + =0<

10 Die sogeate Leibitz-Reihe ( ) k k ist die alterierede harmoische Reihe. Zur Beurteilug der Kovergez köe wir das Leibitz-Kriterium für alterierede Reihe awede: Hireiched für die Kovergez eier alterierede Reihe ( )k a k mit a k > 0ist a k = 0 ud a k a k+ für alle k. k Für user Beispiel gilt = 0 ud a k = k k + = a k+ Daher ist die alterierede harmoische Reihe koverget. Regel für das Reche mit Reihe Es stellt sich mituter die Frage, wie sich das Kovergezverhalte eier Reihe ädert, we wir die Reihe maipuliere. Multipliziere wir z. B. alle Glieder eier Reihe mit eiem Faktor c so ädert sich das Kovergezverhalte der Reihe icht, ud es gilt ach de Recheregel für Summe: c a k = c a k = c S. Habe wir zwei kovergete Reihe, so köe wir sie gliedweise subtrahiere oder addiere. Ist also S = u k ud T = v k, so erhalte wir u k ± v k = (u k ± v k )=S ± T Für eie weitere Regel müsse wir zuächst de Begriff der absolute Kovergez kee lere. Absolut koverget ist eie Reihe a k, we die aus de Beträge der Glieder gebildete Reihe a k koverget ist. Ist dagege die Reihe selbst koverget, jedoch a k diverget, so heißt die Reihe bedigt koverget. Habe wir zwei absolut kovergete Reihe, so köe wir sie wie zwei Polyome miteiader multipliziere ud wir erhalte wieder eie kovergete Reihe. Sid S = u k ud T = 0 v k

11 absolut koverget, so gilt: W = w k = ST i=k mit w k = u k v + u k v 2 + u k v Ausserdem gilt für absolut kovergete Reihe, daß sich die Summe der Reihe bei beliebige Vertauschuge der Reihefolge der Glieder icht ädert. Dagege ka die Summe eier bedigt kovergete Reihe durch geeigete Umstellug der Summeglieder jede beliebige Wert aehme (Riemascher Uordugssatz). germa,epsfig Zufallsfolge Wir betrachte u de Fall vo Zahlefolge, die im strege Si der Defiitio eigetlich keie Zahlefolge sid. Dafür zuächst ei Beispiel. Wir werfe eie Würfel N-mal ud schreibe die N Augezahle als Zahlefolge : r =2, 5, 6,, 3, 4,...,3 }{{} N Werte Da beim Würfel die Augezahl icht vorhersagbar ist, also zufällig eiederwerte,...,6 aimmt, bezeiche wir r als Zufallsfolge. Also folgt: r + ist icht aus r k mit k ableitbar! Aders ausgedrückt: Für die Zahlefolge r existiert kei Bildugsgesetz. Folglich ist r im streg mathematische Sie keie Zahlefolge. Deoch ist es üblich, solche Folge zufälliger Zahle als Zufallsfolge zu bezeiche. Dies ist erlaubt, we wir de eigags erwähte Begriff Bildugsgesetz durch Bildugsprozeß ersetze. Bei der arithmetische Folge lautet das Bildugsgesetz a = a + d der etsprechede Bildugsprozeß ist die Aktio Nimm a ud addiere d um a zu erhalte.. I diesem Sie ist da auch r eie Zahlefolge, de es existiert der Bildugsprozeß Notiere die Augezahl des -te Wurfes des Würfels ud setze sie gleich r. Allgemei sage wir: Ei Zufallsprozeß ergibt eie Zufallsfolge. Der Würfel ist ei spezielles Beispiel für reguläre Polyeder, d.h. Körper, die durch kogruete reguläre Vielecke begrezt sid ud kogruete reguläre Ecke besitze. Der Zufallsprozeß mit z.b. eiem Dodekaeder liefert also eie Zufallsfolge der Zahle, 2,...,, 2. Eigeschafte vo Zufallsfolge Mittelwert Schätzwert: µ N = N N + a N

12 Es gilt = N (N +N N 6 6) = µ N = 6 N k N k = 6 h k (N)k Häufigkeit Augezahl k h k (N) := N k N 6 h k (N) == N N da N k = N Für die Mittelwerte der erste 3, 4, 5 Würfe ergibt sich: µ 3 = 3 (2+5+6)= 3 3 =4, 3 µ 4 = 4 (3 + ) = 4 4 =3, 5 µ 5 = 7 (4 + 3) = 5 5 =3, 4. k Für N erhalte wir µ := N µ N 6 p k k Dabei steht p k für die Wahrscheilichekit der Augezahl k ud ist wie folgt defiiert: p k = N h k(n) Für eie ideale Würfel gilt, daß alle Seite gleichwahrscheilich sid, p k für alle Augezahle also gleich groß ist! p k = 6 µ = ( ) 6 = 2 6 =3, 5 Verteilug Trage wir die Werte vo p k über k auf, zum Beispiel als Strichdiagramm, so erhalte wir daraus ei sogeates Histogramm. 2

13 A der Form des Histogramms erkee wir, daß im Falle des ideale Würfels eie sogeate Gleichverteilug vorliegt, also alle Augezahle gleichhäufig auftrete. Verwede wir eie gezikte Würfel, bei dem zum Beispiel der Schwerpukt ahe der 6 liegt ud daher die öfter auftritt als die adere Zahle, so etsteht: pk = p = 4 p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = 6 p 6 = 2 Trage wir wieder die Wahrscheilichkeit auf, so ergibt sich das folgede Histogramm: Awedug vo Zufallsfolge Zufallsfolge fide heute vielfältige Aweduge, zum Beispiel bei Rechuge zur Simulatio atürlicher Prozesse. Ei eifaches Beispiel ist die Ermittlug der Zahl π. Dafür verwede wir eie Zufallsprozeß, der eie Folge gleich verteilter reeller Zufallszahle r [0, ] erzeugt. Aus 2Nr -Werte kostruiere wir x,y-koordiate gemäß x m = r 2m y m = r 2m m =, 2,...,N ud zeiche die N-Wertepaare (x m,y m ) als Pukte m i eiem x,y-koordiatesystem: 3

14 Da zeiche wir mit eiem Zirkel de Viertelkreis i das Begrezugsquadrat mit de Ecke (0,0), (0,) ud (,) ei. Die Zahl der Pukte N v im Viertelkreis ist proportioal der Fläche πr2 = π (da r =),alson 4 4 v = α( π ), etspreched gilt für die Gesamtzahl der 4 Pukte N = α =α. Also folgt Nv = π Nv oder π =4 ( ). Für N =0.000 erhält ma N 4 N so de Näherugswert 3,356. Die Geauigkeit der Methode ist proportioal N.Diese π-bestimmug ist eies vo viele Beispiele eier Verfahresweise, die als Mote-Carlo- Methode bezeichet wird. Autokorrelatio eier Zufallsfolge Die beschriebee π-bestimmug fuktioiert ur da korrekt, we eie echte Zufallsfolge {r } vorliegt. Dies ist bei eier gegebee Zahlefolge {x } icht ohe weiters erkebar. Hier hilft die sogeate Autokorrelatio der Folge {x }, =, 2,...,N, die defiiert ist durch: ρ m := N x N x + m m =0,, 2,...,M = Damit alle ρ m -Werte gleiche Mittelugsgeauigkeitebesitze, muß N =N-M gewählt werde. Hohe Geauigkeit bedigt M N, d.h.ρ m ka ur für kleie Werte der maximale Verschiebugszahl M bestimmt werde. Die Autokorrelatio eier Zufallsfolge wird wie folgt berechet:. Schritt: Mittelwert abziehe x = 2, 5, 6,, 3, 4 N =6 b = x 3, 5 {b } = { 3 2, 3 2, 5 2, 5 2, 2, 2 } Die Wahrscheilichkeite p k bleibe gleich für k 3, 5. Für de ideale Würfel sieht das Histogramm ach dem erste Schritt so aus: 4

15 2. Schritt: Produkte mittel ρ 0 = 4 (b b + b 2 b )= 4 4 ρ = 4 (b b 2 + b 2 b )= 4 4 ρ 3 = 4 (b b 3 + b 2 b )= ( )= 6 = 7 4 ( ) = 4 6 ( ) = 40 6 Für N besitzt die Autokorrelatio eier echte Zufallsfolge folgede Werte: { > 0 m =0 ρ m = 0 m 0 Das Beispiel zeigt, daß wesetlich mehr als vier Mitteiluge erforderlich sid, um diese Werte für de Würfel zu erhalte. 5