Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Transkript

1 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie Folge ist eie Fuktio mit der Defiitiosmege Bemerkug We es wesetlich ist, ob die Null zur Defiitiosmege gehört oder icht, schreibt m oder dzu Beispiel Die Folge ( ) = = 4, 3 3 = 3 = 9, = ( ) der Qudrtzhle ht die Folgeglieder = =, Jede Folge besitzt (jedeflls im Prizip) eie explizite Drstellug, d h Agbe vo = Term i, ud eie rekursive Drstellug, d h Agbe des Afgswerts (bzw ) ud der Rekursiosgleichug = + Term i oder = Term i Die eifchste Folge sid kostte Folge, zum Beispiel die Folge ( ) mit = 5 für lle Defiitio Eie Folge heißt rithmetisch, we die Differez ufeider folgeder Folgeglieder kostt ist Beispiel Die rithmetische Folge, 3, 5, ht für die explizite Drstellug = + ; rekursive Drstellug = ud = + + (oder = + ) Defiitio Eie Folge heißt geometrisch, we lle Folgeglieder ugleich sid ud der Quotiet ufeider folgeder Folgeglieder kostt ist Beispiel Die geometrische Folge 3, 6,, ht für die explizite Drstellug 3 = ; rekursive Drstellug = 3 ud = + (oder = ) Defiitio Eie Folge heißt lteriered, we ds Vorzeiche der Folgeglieder bwechseld positiv ud egtiv ist Beispiel ( ) = ( ) zus_folgeudkovergez /8

2 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Beschräkte Folge Defiitio Eie reelle Zhl S (bzw s) heißt eie obere Schrke (bzw utere Schrke) eier Folge ( ), we für lle Folgeglieder gilt S (bzw s) Eie Folge heißt ch obe beschräkt (bzw ch ute beschräkt), we sie eie obere Schrke (bzw utere Schrke) ht Eie Folge heißt beschräkt, we sie ch obe ud ch ute beschräkt ist Bemerkug We eie Folge eie obere Schrke S ht, d ist uch jede reelle Zhl S mit S > S eie obere Schrke der Folge Eie ch obe beschräke Folge ht lso uedlich viele obere Schrke, ber geu eie kleiste obere Schrke Etspreched ht eie ch ute beschräkte Folge uedlich viele utere Schrke, ber geu eie größte utere Schrke Beispiele ) Die Folge ( ) ( ) = ist weder ch obe och ch ute beschräkt b) Die Folge ( ) = ( ) ist beschräkt Die kleiste obere Schrke ist, ud die größte utere Schrke ist Bemerkug Die größte utere Schrke wird icht geomme, d h es gibt kei Folgeglied mit = Feststellug Eie Folge ( ) ist geu d beschräkt, we es eie reelle Zhl K gibt, so dss K für lle Kovergez vo Folge Merke Der Abstd zweier reeller Zhle ud b uf der Zhlegerde ist b Defiitio Gegebe ist eie Folge ( ) ud eie reelle Zhl g Die Folge ( ) (oder Die Folge ( ) ht de Grezwert g), we es zu jeder reelle Zhl > eie türliche Zhl gibt mit der Eigeschft g < für lle kovergiert gege g Schreibweise lim = g oder g für Bemerkuge Eie Folge ( ) kovergiert geu d gege eie Zhl g, we es zu jedem vorgegebee (och so kleie) Höchstbstd eie Folgeidex gibt, b dem lle Folgeglieder um weiger ls vo g etfert sid Die Defiitio sgt ichts drüber, wie m de Grezwert eier Folge bestimmt Beispiel Folge, die gege 3 kovergiere, sid zum Beispiel die Folge ( ) mit ( ) = 3 oder = 3 + oder = 3 oder = 3 + oder zus_folgeudkovergez /8

3 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Stdrdufgbe Gegebe ist eie Folge ( ) ud eie reelle Zhl g Zeige mithilfe der Defiitio, dss die Folge ( ) gege g kovergiert Lösug Setze i die Ugleichug g < de Term vo ud die Zhl g ei Vereifche de Term i dem Betrg so weit wie möglich 3 Schreibe die Ugleichug ohe Betrg 4 Löse die Ugleichug ch uf M erhält > Term i e 5 Notiere Wähle ls die kleiste türliche Zhl mit > Term i e Bemerkug Bei der Lösug muss eie Ugleichug äquivlet umgeformt werde Wedet m eie Fuktio uf beide Seite der Ugleichug, d ist ds geu d eie Äquivlezumformug, we die Fuktio streg mooto wchsed ist Beispiel Die Fuktio f f ( x) = x ist für x > streg mooto wchsed Sid lso beide Seite eier Ugleichug positiv, d ist ds Qudriere beider Seite der Ugleichug eie Äquivlezumformug Defiitio Eie Folge, die gege kovergiert, heißt eie Nullfolge Stdrdbeispiele für Nullfolge (Beweis siehe Aufschrieb) = ( α > ) ist eie Nullfolge Die Folge ( ) Die Folge ( ) = q ( ) Feststellug Ist ( ) eie Nullfolge ud ( ) ( b ) eie Nullfolge q < ist eie Nullfolge b eie Folge mit b für lle, d ist uch Beweis Sei > D ( ) eie Nullfolge ist, gibt es eie türliche Zhl, so dss < für lle Also gilt für lle b = b = < Also ist uch ( b ) eie Nullfolge qed Defiitio Ht eie Folge eie Grezwert, d heißt die Folge koverget; derflls heißt sie diverget Feststellug Die i der Defiitio vo Kovergez uftretede Ugleichug g < ist äquivlet zu g < < g + zus_folgeudkovergez 3/8

4 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Aschulich bedeutet ds Der Abstd eies Folgeglieds zu g ist geu d kleier ls, we zwische g ud g + liegt Diese offesichtlich richtige Aussge k uch forml bewiese werde, siehe Für Experte Feststellug Eie kovergete lterierede Folge ist eie Nullfolge Beweis Nimm, eie lterierede Folge ( ) ht eie Grezwert g Fll g > Wähle = g D gibt es eie türliche Zhl, so dss g < für lle Also gilt für lle g < < g +, lso isbesodere > g = g g = Ds ist ei Widerspruch dzu, dss jedes zweite Folgeglied egtiv ist De Fll g < beweist m log mit = g qed Awedugsbeispiel Zeige, dss die Folge ( ) ( ) Lösug Die Folge ( ) Folge diverget = diverget ist ist lteriered ud wege = für lle keie Nullfolge Also ist die Defiitio Ds Mximum (bzw Miimum) eier edliche Mege { x x x } ist die größte (bzw kleiste) Zhl der Mege Schreibweise ( x x x ) bzw ( x x x ) mx,,, mi,,, Feststellug Eie Folge ht höchstes eie Grezwert,,, reeller Zhle Beweis Nimm, eie Folge ( ) ht zwei verschiedee Grezwerte Sei g der kleiere ud g der größere Grezwert Wähle = ( ) g g D gibt es eie türliche Zhl, so dss g < für lle, ud es gibt eie türliche Zhl, so dss g < für lle Sei = mx (, ) D gilt für lle g <, lso g < < g +, lso isbesodere < g + = g + ( g g) = g + g g = g + g = ( g + g), ud zus_folgeudkovergez 4/8

5 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 g <, lso g < < g +, lso isbesodere > g = g ( g g) = g g + g = g + g = ( g + g) Ds ist ei Widerspruch qed Stz Eie kovergete Folge ist beschräkt Beweis Sei ( ) eie Folge mit dem Grezwert g Wähle = D gibt es eie türliche Zhl, so dss für lle gilt g < g < g < < g + S = mx,,,, g + Also ist ( ) eie obere Schrke ud s = mi (,,,, g ) eie utere Schrke vo ( ) qed Defiitio Eie Folge ( ) heißt eie Cuchy-Folge, we gilt Für jede reelle Zhl > gibt es eie türliche Zhl mit der Eigeschft m < für lle m, Stz Jede kovergete Folge ist eie Cuchy-Folge Beweis Sei ( ) eie Folge mit dem Grezwert g Sei > D ist uch > Also gibt es eie türliche Zhl, so dss g < für lle Also gilt für lle m, -Ugl - = - g + g - = - g + g - - g + g - = - g + -g < + = ( ) ( ) m m m m m Für Experte D vollstädig ist, gilt uch die Umkehrug des Stzes, d h es gilt Jede Cuchy- Folge ist koverget Stdrdufgbe Zeige, dss eie Folge icht koverget ist Lösug Zeige, dss die Folge ubeschräkt ist oder dss die Folge keie Cuchy-Folge ist qed zus_folgeudkovergez 5/8

6 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Grezwertsätze für Folge Stz (Summe kovergeter Folge) Kovergiere die Folge ( ) ud ( b ) uch die Summefolge ( + b), ud es gilt lim ( + b ) = lim + lim b Beweis Sei = lim ud b = lim b Sei > D ist uch > ( ) ( ) ( ) ( ) < + =, d kovergiert Also gibt es eie türliche Zhl, so dss < für lle, ud es gibt eie türliche Zhl, so dss b b < für lle Sei = mx (, ) D gilt für lle -Ugl + b - + b = + b -- b = - + b - b = - + b -b - + b -b Stz (Differez, Produkt ud Quotiet kovergeter Folge; ohe Beweis) Kovergiere die b ud die Folge ( ) ud ( b ), d kovergiere uch die Differezefolge ( ) Produktfolge ( b), ud es gilt lim ( b ) = lim lim b ud ( ) lim b = lim lim b Ist ußerdem lim b, d kovergiert uch die Quotietefolge lim lim = b lim b b, ud es gilt Stdrdufgbe Bestimme de Grezwert eies Bruchterms mithilfe der Grezwertsätze qed Lösug Klmmere im Zähler ud im Neer jeweils de m schellste wchsede Term us ud kürze Zur Erspris vo Schreibrbeit bei der Lösug dieser Stdrdufgbe diet die Feststellug (Beweis siehe Aufschrieb) Sid c, c,, ck reelle Zhle ud sidα, α,, αk positive reelle Zhle, d gilt c c ck lim c c = α α αk zus_folgeudkovergez 6/8

7 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Beispiel lim + = 3 Stdrdufgbe Bereche de Grezwert der Differez zweier Wurzelterme Lösug Erweitere mit der Summe der Wurzelterme ud verwede die dritte biomische Formel Zur Erspris vo Schreibrbeit bei der Lösug dieser Stdrdufgbe diee die folgede beide Feststelluge Feststellug Ist eie reelle Zhl ud ( b ) eie Folge, die gege strebt, d gilt lim = b Für eie Defiitio vo strebt gege ud eie Beweis der Feststellug siehe Für Experte Beispiel lim = + 3 Feststellug (Wurzel eier kovergete Folge; ohe Beweis) Kovergiert die Folge ( ) ud gilt für lle, d kovergiert uch die Folge ( ), ud es gilt lim ( ) = lim Beispiel 5 5 lim 4 + = lim 4 + = 4 = D eie kovergete lterierede Folge eie Nullfolge ist, gibt es für ds Grezverhlte eier lterierede Folge zwei Möglichkeite Etweder ist die Folge eie Nullfolge, oder sie ist diverget Drus ud us der Ttsche, dss eie Folge geu d eie Nullfolge ist, we die Folge der Beträge eie Nullfolge ist, ergibt sich die Lösug der Stdrdufgbe Utersuche eie lterierede Folge uf Kovergez Lösug Utersuche die Folge der Beträge Ist die Folge der Beträge eie Nullfolge, d ist uch die eigetliche Folge eie Nullfolge Aderflls, we lso die Folge der Beträge diverget ist oder gege eie vo verschiedee Zhl kovergiert, ist die eigetliche Folge diverget Für Experte Beweis der Feststellug Sid ud g reelle Zhle ud ist eie positive reelle Zhl, d ist g < äquivlet zu g < < g + Beweis Zeige zuerst Aus g < folgt g < < g + Fll g D ist g = g Also gilt zus_folgeudkovergez 7/8

8 LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 g < < g + Wege g ist g Drus ud us > folgt > g Also gilt g < < g + Fll g < D ist g ( g) g = = Also gilt g < ( ) < g + > g Wege g < ist < g Drus ud us > folgt < g + Also gilt g < < g + Zeige u Aus g < < g + folgt g < Aus < g + folgt g < Außerdem gilt > g ( ) g > g < Aus g < ud g < folgt g < qed Defiitio Eie Folge ( ) strebt gege, we es zu jeder reelle Zhl C eie türliche Zhl gibt mit der Eigeschft > C für lle Eie Folge strebt lso geu d gege, we es zu jeder vorgegebee (och so große) Zhl C eie Folgeidex gibt, b dem lle Folgeglieder größer ls C sid Beweis der Feststellug Ist eie reelle Zhl ud ( b ) eie Folge, die gege strebt, d gilt lim = b Beweis Im Fll = ist ichts zu zeige Sei u Sei > vorgegebe Wähle C = D gibt es eie türliche Zhl mit b > C für lle Also gilt für lle b > C > ud = = = < = = b b b b C Also gilt lim = qed b zus_folgeudkovergez 8/8