ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel

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1 ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow

2 Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete Die Potezgesetze gelte uch hier Poteze mit Bruchexpoete Umwdlug vo Bruchexpoete > We die Bsis selbst eie Potez ist... We der Expoet egtiv ist... Ud zum Schluß Ugeehmes Wurzelreche. Multipliktio vo gleichrtige Wurzel. Divisio vo gleichrtige Wurzel. Poteziere vo Wurzel. Verschchtel vo Wurzel. Multipliktio verschiedertiger Wurzel. Divisio verschiedertiger Wurzel 9. Teilweises Ziehe vo Wurzel 9. Additio vo Vielfche gleichrtiger Wurzel 0 9. Rtiolmche des Neers Aufgbe dzu

3 Poteze ud Wurzel Grudlge Poteze mit türliche Expoete Defiitio:... Fktore Beispiele: heißt die Bsis, der Expoet oder die Hochzhl. 00 ( ) Vereibrug: Um Klmmer zu spre gelte die Vorschrift:. Pukt vor Strich. Potez vo Pukt Beispiele: bedeutet 0 ud icht 0 000!!!! POTENZGESETZE. Multipliktio vo Poteze mit gleicher Bsis: m m + z.b.. Divisio vo Poteze mit gleicher Bsis: m m flls m> flls m < m flls m Folgerug: Der. Fll liefert für m : Dher ist folgede Defiitio sivoll: m mm m 0 o

4 Poteze ud Wurzel Grudlge. Multipliktio vo Poteze mit gleiche Expoete: b b z.b.. Divisio vo Poteze mit gleiche Expoete: b b z.b.. I dieser Rechug wurde ds. Potezgesetzt gleich zweiml gewdt: Beim erste ud beim dritte Gleichheitszeiche.. Poteziere vo Poteze: m ( ) m z.b.: Poteze mit egtive gze Expoete Ds zweite Potezgesetz mchte bisher eie Flluterscheidug, de die Aufgbe ud verlgte verschiedee Rechewege. Um dies zu umgehe, ht m folgede Überlegug gestellt: We m uch die zweite Aufgbe geuso löst, wie die erste, lso so rechet: erhält m eie Potez, die bisher silos wr, de der Expoet gb die Azhl der Fktore. Aber - Fktore gibt es icht. Also gibt m diesem Ausdruck - die Bedeutug, die m bei der erste Berechugsmöglichkeit erhält:. Defiitio: für N - ist lso der Kehrwert vo Beispiele: Achtug: ; 9 Merke: 9 9

5 Poteze ud Wurzel Grudlge Die Potezgesetze gelte uch für egtive gze Hochzhle Wir bereche Beispiele uf verschiedee Weise. Potezgesetz: Beispiele: oder so: + oder so:. Potezgesetz: + oder so: oder so: +. Potezgesetz: oder so. Potezgesetz: oder so:. Potezgesetz: () () () () oder so: ( ) ( ) oder so: ( ) 0 ( ) ( ) oder so: ; ; ; ; ; ; ; Aufgbe ; ; 9 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) 0

6 Poteze ud Wurzel Grudlge Poteze mit Bruch-Expoete Die Atwort uf die Frge, wrum ist, muß lute: Dies wurde so defiiert! Ntürlich muß eie Defiitio sivoll sei. Ud dies läßt sich schö überprüfe: Eiserseits gilt, ud dsselbe gilt uch hier:. Defiitio: Für 0 sei,, Expoete dürfe ber uch dere Brüche sei. Beispiele: ) 9 Adererseits gilt uch Wir stelle lso fest: Allgemei gilt: m m m b) c) d) f) g)

7 Poteze ud Wurzel Grudlge Umwdlug vo Bruch-Expoete größer ls : ) oder hilft icht viel weiter. Folgede Methode wird empfohle: M zerlege de Expoete i "Gze plus Restbruch": + b) c) d) We die Bsis selbst eie Potez ist, k m mehr erreiche: + oder so: + oder so: f)!!!! Viel besser so!! g) + h) 9 + i) + We der Expoet egtiv ist... j) + Nu gibt es die Spielregel, dß m de Neer rtiol mche soll, d.h. m erweitert so, dß die Neerwurzel verschwidet. Hier lso mit :. + Dies geht viel elegter, we m gleich m Afg der Umformug erweitert:!!!!!!

8 Poteze ud Wurzel Grudlge k) l) m) 9 Hier ist die Bsiszhl jedoch selbst wieder eie Potez, dher sollte m dies usütze ud Tempo gewie: ) o) p) q) 9 9 Ud zum Schluß Ugeehmes r) 9+ + s) oder m Ede so:.

9 Poteze ud Wurzel Grudlge Wurzelreche D m Wurzel i Poteze umschreibe k, lsse sich uch die Potezgesetze uf Wurzel umschreibe. Dies wolle wir us sehe:. Multipliktio vo gleichrtige Wurzel: usw. Wir beobchte: Beweis: b b b b b b. Divisio vo gleichrtige Wurzel: Wir beobchte: Beweis: b b b b b b. Poteziere vo Wurzel: 9 + Ds letzte Beispiel wr ds Ziehe der dritte Wurzel us eier Qudrtwurzel:

10 Poteze ud Wurzel Grudlge. Verschchtel vo Wurzel: Wir beobchte: Beweis: m m m m m m m m de m m. ud m m m m m m Also k m i Zukuft gleich so reche.. Multipliktio vo verschiedertige Wurzel: ) b) c)? Wir müsse i so eiem Fll i Poteze umwdel. I dieser Aufgbe muß m erkee, dß es geligt, die gleich Bsis zu erreiche, weil die Bse ud Poteze der gemeisme Bsis sid. Jetzt köe wir gemäß dem erste Potezgesetz die Expoete ddiere: Hier wurde der Bruchexpoet wieder zerlegt, weil er größer ls wr. Nu der Fll, dß die beide Rdikde keie gemeisme Bsis hbe: d) 0 Wir müsse so lge umforme, bis beide dieselbe Bruchhochzhl hbe, Dzu werde die Bruch-Expoete uf de Hupteer gebrcht, d klmmert m de Neer ls Stmmbruch us. D ist ds dritte Potezgesetz wedbr ud m k ds Ergebis wieder i eie Wurzel umforme, dies muß ds Ziel sei. 00

11 Poteze ud Wurzel Grudlge 9. Divisio vo verschiedertige Wurzel: f) g) h) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) Jetzt muß m die 0 i Primfktore zerlege, ei Trick, der meist weiter helfe k: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Teilweises Ziehe vo Wurzel: Die Multipliktiosregel für Wurzel: b b k m uch vo rechts ch liks wede ud ei Produkt im Rdikde i eie Produkt zweier Wurzel zerlege: b b. Beispiel:. Dieses Beispiel mcht jedoch icht viel Si. Aders dgege ds folgede:!!!! 0 Hier ht m 0 so i Fktore zerlegt, dß m us dem eie Fktor die Wurzel ziehe kote. Dies geht icht ur bei Qudrtwurzel: 0 Um hier gut rbeite zu köe, sollte m die wichtigste dritte Wurzel kee: Weitere Beispiele: ; ; ; ; ; Merke: ; ; ;

12 Poteze ud Wurzel Grudlge 0. Additio / Subtrktio vo Vielfche gleichrtiger Wurzel: ) + ( + ) 9 Zusmmefsse bedeutet Ausklmmer der Wurzel Dher k m solche Summe icht weiter zusmmefsse: +. Hier muß m oft teilweise die Wurzel ziehe! b) c) Rtiolmche des Neers: Mthemtiker hbe die Spielregel vereibrt, i der Regel eie Bruch so umzuforme, dß im Neer keie Wurzel mehr steht. Dies geschieht durch Erweiter.. Fll: Qudrtwurzel im Neer: ) b) Merke: c) Jetzt k m umstädlich vorgehe ud mit erweiter. Die Empfehlug heißt jedoch: Also: d) Zerlege de Rdikde i Primfktore ud erweitere d i i l Im Neer tuchte hier uf. Ds wurde im Poteze umgeschriebe, ws immer weiter hilft. Es geht uch so: 9 usw.

13 Poteze ud Wurzel Grudlge Fll: Dritte Wurzel im Neer: f) g) 9 9 Diese Regel sieht llgemei so us: 9 9 Ud llgemei: 9 h) i) j) k) Hier steckt eiiges dri: Im Neer muß m i Primfktore zerlege ud so etsteht zuächst. Um eie dritte Wurzel ziehe zu köe muß u der Expoet eie Dreierzhl werde, lso wird so erweitert, dß die Hochzhl etsteht. M sieht dies och besser, we m die Neerumrechug gz mit Poteze mcht: Fll: Vierte Wurzel im Neer: l) m) ) bc bc bc bc b c bc b c b c 0 0 b c b c bc b c bc b M erket, dß m hier immer so erweiter muß, dß die Expoete im Rdikde stets Vielfche vo sid, dmit m die vierte Wurzel uch ziehe k, de die vierte Wurzel bedeutet j hoch!

14 Poteze ud Wurzel Grudlge. Fll: Ei Bruch ls Rdikd: o) M erweitert jetzt de Bruch so, dß - bei eier Qudrtwurzel im Neer ei gerder Expoet etsteht, d.h. eie Qudrtzhl, - bei eier dritte Wurzel im Neer eie Dreierzhl ls Expoet etsteht, d.h. eie Kubikzhl steht, - bei eier vierte Wurzel die Neerzhl eie Expote ht, der ei Vielfches vo ist usw Hier gilt wieder die Empfehlug: Zerlege i Primfktore p) q) r) s) t) b c d b c d bcd bcd bcd b c d bcd bcd. Fll: Eie Summe / Differez im Neer: u) v) ( ) ( + )( ) ( ) ( ) + Der Trick hierbei die Awedug der dritte biomische Formel: ( b)( b) b + + oder oder ( b)( + b) b usw. + b b b b Nur uf diese Weise flle die Wurzel im Neer weg!!!!! ( + ) ( )( + ) Achtug: Bei ( + ) muß m die. Biomische Formel wede: b b b d.h. + b + b + b + b+ b

15 Poteze ud Wurzel Grudlge ) Poteze mit Bruchexpoete. ) b) Übugsufgbe c) d) f) g) ) Umwdel vo Bruch-Expoete größer ls ) b) f) ) Schwerere Aufgbe dzu ) b) 9 c) g) d) h) 9 h) c) d) f) 0 g) 9 h) ) Multipliktio, Divisio ud Potezierug vo gleichrtige Wurzel Zerlege vor der Multipliktio i Primfktore!!! ) b) f) i) ( ) j) m) ) c) g) 9 k) d) h) 0 l) o) p) q) r) s) t) ) Multipliktio ud Divisio vo verschiedertige Wurzel ) b) 9 f) c) g) d) h) 9 b b i) j) k) l)

16 Poteze ud Wurzel Grudlge ) Neer rtiol mche (zuerst de Neer i Primfktore zerlege!) ) i) m) q) 0 bc b c b) f) j) ) r) ( bc) bc c) g) k) o) s) 00 0 bc bc d) h) l) p) t) ( bc) bc ) Neer rtiol mche ) b) + c) + d) 0 Lösuge i der Dtei 00 - Aufgbesmmlug