Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1

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1 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl. Def. (Poteze mit türliche Expoete) =... [lso gleiche Fktore] heißt -te Potez vo. heißt Bsis, heißt Hochzhl oder Expoet ( N ). 1 =. 0 = 0. Stz ( "Potezgesetze" ); Seie, b R ; k, N. D gilt: Poteze mit ) k : = k - ( k > ) gleicher Bsis 3) ( k ) = k * 4) b = ( b) / b = ( / b) für b 0 Poteze mit gleichem Expoete 5) α + β = (α + β ) ; ur Summde mit gleiche Poteze köe zusmmegefsst werde + b z.b. bleibt stehe ( α, β R ) Bem.: 1) Alle Gesetze folge us der Defiitio, z.b. Gesetz : ( k Fktore ) =... ( k - Fktore, chdem m gekürzt... ( Fktore) ht ; k >!!). ) Poteze (mit türliche Hochzhle) sid Abkürzuge für Produkte. Dher muss m bei der Mipultio vo Summe, die Poteze ethlte, ufpsse (Gesetz 5). 3) Bechte Sie bei de Gesetze (1) (3) die Verschiebug der Recherte: us dem Produkt der Poteze wird im Ergebis die Summe der Expoete, usw..

2 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich : 10 = 104 ; Iformtik: 104 Bytes werde ls 1 KB bezeichet (großes K) ; ormlerweise steht die Vorsilbe Kilo (k) für 1000 = 10 3 ( 3 ) = 6 = ( ) = = 5 + b 5 stehe lsse!! Die obige Defiitio soll u uf icht-türliche Expoete verllgemeiert werde ud zwr so, dss die Potezgesetze ihre Gültigkeit behlte ( Permez-Prizip ). Dbei werde wir sehe, dss m d Eischräkuge bei der Bsis vorehme muss. Def. (Poteze mit icht-positive gzzhlige Expoete) Für 0 lege wir fest: 0 = 1 ; - = 1 / ( N ). Die Potez - wird lso ls Kehrwert vo defiiert. Die Defiitio ist sivoll, de: 1 = : = - = 0, we m ds Potezgesetz () eifch verllgemeiert. = 0 ist d verbote (keie Divisio durch Null). Ebeso: 1/ = 0 : = 0 - = -. Aus - = 1 / folgt umittelbr: 1/ - =. - = 1/ = 1/4 ; - -3 = -5 = 1/ 5 = 1 3 ( - ) -3 = 6 = 64 ; 1/ 10-3 = 10 3 Def. (Wurzel; Poteze mit Stmmbrüche 1/ ls Expoet) Die -te Wurzel us eier ichtegtive Zhl ist diejeige ichtegtive Zhl x, für die gilt: x =. M schreibt x =. heißt jetzt Rdikd. 0 = 0. M defiiert: = 1/. Poteze mit Stmmbrüche ls Expoet sid lso Wurzel.

3 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 3 Die Def. vo 1/ ls ist sivoll, de: ( 1/ ) = (1/) * = / =, we m die Potezgesetze uf gebrochee Expoete erweitert. Eie Zhl, dere -te Potez ergibt, ist lut Defiitio die -te Wurzel us. Bechte Sie, dss i dieser Defiitio vereibrt wird: (1) Rdikde sid stets ichtegtiv (d.h. 0), dmit m IMMER die Wurzel ziehe k. Aus egtive Zhle k m die -te Wurzel ie ziehe, we gerde ist. Viele Mthemtikbücher lsse die -te Wurzel us eier egtive Zhl zu, we ugerde ist. Ds ist völlig legitim, ABER: eie solche Wurzel k icht ls Potez mit gebrocheem Expoete geschriebe werde: die Potezgesetze gelte dfür icht mehr! Bspl: - wäre d 3 8 = (-8) 1 / 3 / = (-8) 6 1/ 6 = ((-8) ) = +, we m die Potezgesetze weiter wedet. Die Potezgesetze gelte ur für > 0 ueigeschräkt. We Wurzel mit Hilfe eies Computerprogrmms berechet werde solle, muss m sich für ei Vorgehe etscheide ud dieses kosequet beibehlte. () Wurzel sid stets ichtegtiv, dmit ds Ergebis EINDEUTIG ist. De sost köte m z.b. für 4 whlweise oder - ehme, de beide Zhle ergebe qudriert wieder 4. We m d z.b bestimme soll, hätte m scho vier Möglichkeite ud ds sid drei zuviel. ) 4 16 =, de 4 = 16. Die Gleichug x 4 = 16 ht ber ZWEI Lösuge, ämlich x 1 = 4 16 =, x = = -! 4 16 ist icht defiiert. 3 8 ist (ch obiger Defiitio) icht defiiert, ber die Gleichug x 3 = - 8 ht geu eie Lösug, ämlich x = - = - 3 8!

4 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 4 b) Die sog. Wurzelgesetze sid die Potezgesetze für gebrochee Expoete: 3 = 1/ 1/3 (gleiche Bsis!) = 1/ + 1/3 = 5/6 5 1/6 6 = ( ) = 5. llgemei: k = 1/k * 1/ = 1/k + 1/ k = + k = k k + 3 = 1/ 3 1/ (gleicher Expoet!) = 6 ; llgemei: * b = 1/ * b 1/ = (*b) 1/ = (b). c) 0.4 = 4/10 = /5 = 5. d) + b, + b, + b uverädert stehe lsse!!! e) x = x ur für x 0 : Qudriere ud Qudrtwurzelziehe sid Umkehruge voeider, solge m im Bereich ichtegtiver Zhle bleibt. Bem. 1) Poteze mit egtive gebrochee Expoete erhält wieder über de etsprechede Kehrwert: -1/ = 1 / 1/ = 1/ ) Für > 0 köe uch Poteze x mit beliebige reelle Expoete defiiert werde, z.b.. Die Potezgesetze gelte für > 0 ueigeschräkt. * = ; ( ) = ; ( e x ) = e x ; e x = e x x x = ( e x ) ; ( ) 1 / 1/ = ; = -x = 1/ x

5 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 5 Reche mit Logrithme Eiführedes : x = 3 ; x wird durch Ausreche der Potez ermittelt, x = 8. x 3 = 8 ; x wird durch Wurzelziehe ermittelt, x = 3 8 =. x = 8 ; x wird durch Logrithmiere ermittelt, x = log 8 = 3. Verllgemeierug: x = b x = log b. Def. (Logrithmus) We x = b, d heißt x der Logrithmus vo b zur Bsis. M schreibt: x = log (b). I Worte: Derjeige Expoet, mit dem m poteziere muss, um b zu erhlte, heißt Logrithmus vo b zur Bsis. b heißt i diesem Zusmmehg uch Numerus. Für die Bsis wird vorusgesetzt: > 0, 1 ; für de Numerus: b > 0. Begrüdug der Eischräkuge für Bsis ud Numerus: ch de Überleguge im Rhme der Potezrechug schließe wir ichtpositive Bse us. = 1 schließt m us, d 1 x = 1 für lle x. Ist die Bsis positiv, k uch die Potez (hier Numerus b get) ur positiv sei. log 5 (5) =, de 5 = 5 log 9 (3) = 1/, de 9 1/ = 3 log 10 (0.01) = -, de 10 - = 0.01 log 0.01 (10) = - 1/, de / = (10 - ) (-1/) = 10 log (1) = 0, de 0 = 1 log 10 (3) log e (b) log 3 (10) 10 = 3 ; e = b ; 3 = 10

6 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 6 Bem. 1) Ds vorhergehede Beispiel zeigt, dss Logrithmiere ud Expoiere zur selbe Bsis sich ufhebe, sie sid Umkehruge zueider. Dies folgt umittelbr us der Defiitio: we x = b (1), d gilt x = log (b) (). log (b) Ersetzt m i (1) ds x gemäß (), erhält m: = b ) Der Ausdruck log (b) k uch ls Hdlugsvorschrift ufgefsst werde: logrithmiere b zur Bsis, geu so wie der Ausdruck (b) ls Hdlugsvorschrift ufgefsst werde k: qudriere b. Keiesflls drf log (b) ls Produkt vo log ud b missverstde werde. 3) x x We 1 = = b folgt : x1 = x = x, ämlich x = log (b). Diese Eigeschft heißt Umkehrbrkeit oder Eieideutigkeit der Expoetilfuktio. We x = log (b 1 ) = log (b ) folgt : b 1 = b = b, ämlich b = x. Diese Eigeschft heißt Umkehrbrkeit oder Eieideutigkeit des Logrithmus, geuer gesgt der Logrithmusfuktio. Ds ist icht selbstverstädlich: so folgt z.b. us ( b 1 ) = ( b ) NICHT: b 1 = b, soder: b 1 = b ODER b 1 = - b!! Die Begriffe Fuktio, Eideutigkeit ud Eieideutigkeit werde i eiem etsprechede Kpitel der Vorlesug Mthemtik 1 behdelt werde. 4) Oft lässt m die Klmmer um de Numerus weg: log b

7 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 7 Stz ( Logrithmegesetze) 1) log (u v) = log (u) + log (v) ) log (u / v) = log (u) - log (v) 3) log ( u v ) = v log (u) Bechte Sie uch hier die Verschiebug der Recherte. Beweis: D die Logrithme uch ur Expoete sid, folge die Logrithmegesetze us de Potezgesetze. (1) Sei x = log (u) u = x (Defiitio des Log.). Ebeso: y = log (v) v = y. D: u v = x y = x+y (Potezgesetz) x + y = log (u v) (Def. des Log.: mit x+y muss m poteziere, um u D x + y = log (u) + log (v), ergibt sich die Behuptug. v zu erhlte). (3) Sei x = log u u = x v x v x v. D gilt: u = ( ) = (Potezgesetz) x v = log (u v ). (Def. des Log.: mit x v muss m poteziere, um u v zu erhlte). Mit x = log (u) folgt die Behuptug. () log (u / v) = log ( u v -1 ) = log (u) + log (v -1 ) (Log. - Gesetz 1) = log (u) - log (v) (Log. - Gesetz 3)

8 Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 8 Def. ( Spezielle Bse ) log 10 (b) =: lg (b) heißt dekdischer Logrithmus ( Zeherlogrithmus ) vo b. log e (b) =: l (b) heißt türlicher Logrithmus vo b ; e : Euler sche Zhl. log (b) =: lb ( b ) heißt Zweierlogrithmus vo b (biärer Log.). Oft wird log sowohl für lg (eiige Tscherecher) ls uch für l merikischer Litertur) geomme; lb hieß früher ld (log. dulis ). (z.b. i Awedug: Auflöse eier Expoetilgleichug : 7 x = 8 (lut Def.) x = log 7 (8). Um diese Logrithmus (zur Bsis 7) mit eiem Tscherecher umerisch zu bestimme, muss m uf de Logrithmus zur Bsis 10 bzw. e umforme (es sei de, der Recher k uch Logrithme zur Bsis 7). Dzu k m zur Ausggsgleichug zurückkehre ud beide Seite logrithmiere, z.b. zur Bsis 10 lg(7 x ) = lg(8) (Log. - Gesetz 3) x lg(7) = lg(8) x = lg(8) / lg(7). (Hiweis: Logrithmiere vo beide Seite eier Gleichug ist erlubt wege der Eieideutigkeit des Logrithmus) Awedug: Auflöse eier Logrithmegleichug : lg(x) = (lut Def.) x = 10 oder lg(x) lg(x) = (Expoiere zur Bsis 10) 10 = 10 x = 10 (Hiweis: Expoiere vo beide Seite eier Gleichug ist erlubt wege der Eieideutigkeit der Expoetilfuktio)